КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
 
Роман Уфимцев
10 января 2012 года, Калининград
Мы продолжаем исследовать свойства когнитивных фракталов на примере самоподобной социально-географической организации стран и провинций, проявляющейся в соответствии ранговых распределений городов по населению закону Зипфа.
В предыдущем прологе мы получили в своё распоряжение полезный математический инструмент, с помощью которого мы можем рассчитывать структурные характеристики идеальных когнитивных фракталов, в частности, коэффициент стройности k и коэффициент дробления N. В этом прологе мы познакомимся с особенностями расчета структурных параметров стохастических когнитивных фракталов.
Структурные параметры стохастических фракталов
Мы будем называть дробление континуума, которое приводит к кускам одинакового размера однородным дроблением. Фракталы однородного дробления – самые простые для математического анализа, и именно для такого рода фракталов мы вывели формулы для расчёта структурных параметров. Такие фракталы обладают характерными ступенчатыми ранговыми распределениями.
Однако, все рассмотренные нами до сих пор натуральные ранговые распределения имеют гладкий вид - популяционные распределения, распределения частотности слов и т.д. Такими распределениями обладают фракталы, получающиеся в результате неоднородного дробления континуума, когда дробление происходит на куски разного размера. Пример такого фрактала - знакомая нам гармоническая берёза:
В ней каждая ветвь порождает три других ветви, длины которых соотносятся в пропорции 1/2 : 1/3 : 1/6 – то есть, дробление неоднородное.
Если дробление происходит на куски случайного размера, мы имеем дело со стохастическими фракталами. Например, в следующем "берёзообразном" фрактале суммарная длина ветвей на каждом следующем каскаде точно равна сумме длин на предыдущем, а дробление происходит строго с коэффициентом 3 (то есть, на каждой ветви вырастает по три других веточки), но пропорции дробления случайно меняются:
Далее мы будем рассматривать именно такие стохастические фракталы: дробление кусков происходит каждый раз в случайной пропорции, но коэффициент дробления N и коэффициент стройности k остаются при этом неизменными.
Для расчёта структурных параметров такого рода стохастических фракталов следует использовать уравнения, несколько отличающиеся от уравнений для идеальных фракталов однородного дробления. Например, имеется разница в уравнении, связывающем β и коэффициенты N и k:
(Уравнение приближенное, настоящее несколько сложнее. Вообще, чтобы не загромождать повествование, я не буду тут приводить точных уравнений для расчёта параметров стохастических фракталов.) Появление дополнительного компонента ln(3) в уравнении - важное отличие стохастического дробления от однородного. Его появление связано со свойствами так называемых дробных симметрий, которые мы со временем тоже обсудим. Число ln(3)≈1,099 довольно близко к единице и поэтому вклад этого компонента может показаться незначительным. Однако, как мы выяснили, даже небольшие вариации β приводят к существенному различию в результатах расчета структурных параметров фракталов.
Соответственно, различаются и уравнения, численное решение которых на практике позволяет вычислять структурные параметры. В конце этого пролога приведён калькулятор, который рассчитывает структурные параметры стохастических фракталов на основе приближенных вариантов этих уравнений.
Итак, проведем опыт: попробуем рассчитать параметры модельного стохастического фрактала, полученного алгоритмом каскадного дробления континуума. Используя при генерации фрактала коэффициент дробления N=5 и коэффициент стройности k=0,8, мы получили следующее ранговое распределение (усечено до первых 1000 элементов):
Исходные данные для расчета таковы: β=1,167, S0 = 1716855 (фактическая площадь первого куска), Sg=6133665 (фактическая суммарная площадь всех кусков в распределении), Ng=1000 (число кусков в распределении).
Используем для расчета структурных параметров калькулятор. Решение даёт значение коэффициента N = 4,93, что хорошо соответствует действительному значению 5. Расчётный коэффициент стройности k = 0,79, что также близко настоящему значению 0,8. С учётом стохастического, случайного дробления в исследуемом фрактале, мы получили очень хороший результат. Естественно, что иногда результаты расчета параметров стохастических фракталов сильно отличаются от истинных значений, но в целом, как показывают опыты, в большинстве случаев мы получаем вполне удовлетворительное совпадение расчетных и истинных параметров N и k.
Параметры когнитивного фрактала Польши
Чтобы апробировать наш способ расчета на практике, займёмся структурными характеристиками когнитивного фрактала Польши, для начала найдем N и k. На очень полезном веб-сайте www.citypopulation.de мы берём данные по населению городов Польши и строим соответствующее ранговое распределение:
Из имеющихся в статистике 230 городов мы принимаем в расчеты только первые 130 городов, потому что далее распределение чуть-чуть отклоняется вниз от главной линии. Если учесть все города, это приведет к некоторой небольшой, но не нужной ошибке в расчете β и других параметров. Далее мы увидим ясно, что после первой сотни начинается все более усиливающееся отклонение от главной линии). Исходные данные таковы:
β = 0,814
Население крупнейшего города Польши S0 = 1716855
Число городов в распределении Ng = 130
Суммарное население учтенных в распределении 130 городов Sg = 16000985
Исходя из этого, мы получим следующий результат:
N = 3,11
k = 1,21
Проверим, получим ли мы распределение, похожее на популяционное распределение Польши, если сгенерируем модельный ряд с похожими структурными параметрами. Для этого возьмем коэффициент дробления N = 3, а коэффициент стройности k = 1,2:
Мы действительно получили распределение, довольно похожее на натуральное популяционное распределение Польши.
Теперь, когда мы знаем N и k, мы можем вычислить этажность когнитивного фрактала Польши L и толщину волокон V. Однако, если мы будем вычислять эти параметры только для 130 городов, мы получим существенно заниженное число этажей и значительно завышенную толщину волокон. Причины понятны - нижние этажи польского социально-географического фрактала, на которых существуют малые города, попросту не попали в наше распределение, не были нами учтены. Следовательно, чтобы оценить L и V достоверно, нам нужно использовать максимально полную статистику.
Поиски более полной статистики для Польши увенчиваются успехом, и на каком-то польском справочном сайте мы находим данные по всем населённым пунктам с числом жителей более 1000. Вот соответствующее ранговое распределение:
Мы видим важную вещь: закон Зипфа для маленьких населенных пунктов перестает выполняться, распределение плавно закругляется вниз. Мы этого не могли ясно видеть, пока рассматривали только города с населением более 20 тыс. Можно заметить, что отклонение становится заметным примерно после города с рангом 100.
Вообще, такая форма хвостов популяционных распределений является типичной, однако, чтобы увидеть эти хвосты, нужно иметь достаточно полную статистику. Загиб "популяционных хвостов" находит элегантное объяснение, если считать страны социально-географическими фракталами каскадного дробления континуума. Взглянем на результаты моделирования популяционного распределения на основе алгоритма каскадного дробления:
Загиб хвоста происходит из-за случайного, а не идеального дробления континуума: дробление происходит на куски не равного, а случайного размера. Из-за этого иногда случайно появляются аномально маленькие куски, они и образуют загибающийся хвост распределения. Но их недостаточно, чтобы распределение оставалось ровным. Вообще, такие хвосты появляются всякий раз, когда число каскадов случайно дробящегося континуума не велико (данное модельное распределение получено при 7 каскадах дробления - обратим внимание, что именно при таком числе каскадов сходство между модельным и натуральным польским распределением макисмальное).
Наличие таких хвостов у популяционных распределений является веским свидетельством в пользу того, что страны и провинции действительно представляют собой фракталы каскадного дробления континуума, то есть, когнитивные фракталы.
Хотя в нашем распоряжении теперь гораздо более полная статистика, тем не менее, и она недостаточна, чтобы мы могли достоверно рассчитать этажность польского когнитивного фрактала L и толщину его волокон V. Это становится ясным, если мы сравним суммарное население 908 крупнейших населенных пунктов Польши, включенных в новое распределение, с общим населением Польши: 23,3 млн.чел. против 38,2 млн.чел. Фактически, более трети всех жителей Польши, которые живут в населенных пунктах с числом жителей менее 1000 окзываются неучтёнными. Естественно, это приведет к занижению этажности L и завышению толщины волокон V. Поэтому параметры L и V следует рассчитывать исходя не из суммарного населения городов, представленных в распределении, а исходя из известного общего населения исследуемой страны. Обозначим эту величину Sf:
Такой подход позволяет нам рассчитывать этажность и толщину волокон в тех случаях, когда имеющаяся у нас статистика заведомо не полная - а как правило, так и бывает на практике.
Конечно, использование величины полного населения страны Sf для расчета полной этажности социально-географического фрактала основано на упрощении, что каскадное дробление идеальное и однородное, что приводит к ступенчатым распределениям:
В реальности популяционные распределения гладкие, что обусловлено стохастическими, случайными механизмами дробления. Тем не менее, если мы установили N и k, с помощью формул для идеальных фракталов можно вычислять этажность L и толщину волокон V и для стохастических фракталов.
Итак, общее население Польши в 2010 году составляло около 38,2 млн. человек, Sf = 38187000. Отсюда мы получаем:
Этажность L = 9,1
Толщина волокон V = 840
Этот результат, конечно, зависит от точности статистики по полному населению Польши. И тут есть один осложняющий фактор - информация о населении отдельных городов и информация об общем населении стран не всегда хорошо стыкуются. В более полном рассмотренном нами распределении присутствует 908 польских городов с 23,3 млн. жителей в совокупности. И для расчета этажности и толщины волокон мы предполагаем, что остальные все живут в городах, не попавших в распределение, так что в общей сложности получается 38,2 млн.чел. Однако, судя по всему, это не верное предположение. Об этом говорит изгиб распределения:
Если этот загиб продолжается и дальше, за пределы имеющейся у нас статистики - а это можно утверждать почти наверняка - то в неучтенном хвосте из малых населенных пунктов просто нет места для того, чтобы добрать население страны до 38,2 млн.чел. Это значит, что полная статистика по населению страны завышена или, что вероятнее, перепись населения в конкретных городах упускает 10-15% жителей каждого города. В любом случае получается, что в реальности в Польше не 9 этажей, а около 7. Выше мы приводили модельное распределение, которое даже по форме и местоположению отклоняющегося хвоста сходно с натуральным польским - оно было получено как раз при 7 каскадах дробления континуума.
Эти проблемы с точностью исходных данных, однако, не влияют на точность оценки важнейших структурных параметров - коэффициента дробления N и коэффициента стройности k. Что касается этажности, то мы просто будем иметь в виду, что из-за особенности статистического учета в разных странах расчетная этажность L может быть завышенной по сравнению с реальной примерно на 10-20%. Соответственно, оказывается заниженной толщина волокон V. Нам следовало обсудить этот момент, но далее мы для простоты и определенности будем считать, что статистика, имеющаяся в открытом доступе по населению разных стран и городов достаточно точна и достоверна.
Итак, мы получили первый "чистовой" расчёт структурных параметров натурального когнитивного фрактала, конкретно, социально-географического фрактала Польши. В следующем прологе мы рассчитаем параметры социально-географического фрактала России, других стран и порассуждаем о смысле сходств и различий соответствующих структурных параметров.
Расчёт структурных характеристик социально-географических и прочих натуральных стохастических фракталов
β* = 
S0
Ng
Sg
Sf
* Дробные значения писать следует через точку.
** Если калькулятор вообще выводит отрицательные значения или "NaN", значит уравнения структурных параметров не имеют решения и мы, вероятно, имеем дело с бифрактальным распределением. Пояснения в следующих прологах.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER