КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 25. Гармониум
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 25. Гармониум
 
Роман Уфимцев
14 января 2012 года, Калининград
Мы продолжаем исследовать когнитивный порядок в различных природных и социальных натуральных феноменах. В предыдущем прологе мы завершили экскурс в тему популяционных распределений стран и провинций, которые часто соответствуют закону Зипфа. Мы подробно обсудили гипотезу, в соответствии с которой страны и провинции представляют собой социально-географические фракталы, относящиеся к типу когнитивных фракталов, возникающих в результате каскадного дробления континуума. Именно для таких фракталов характерны ранговые распределения, соответствующие закону Зипфа.
В этом прологе мы отвлекемся от наглядного, но частного примера социально-географических фракталов, чтобы получить более общее и универсальное понимание природы когнитивного порядка. Мы познакомимся с понятием гармониума и связанной с ним простой математикой.
Когнитивные фракталы и "частицы сознания"
Посвятив немало внимания социально-географическим фракталам, мы пока не касались центрального вопроса: почему население стран и провинций организуется во фрактальные структуры? Модель каскадного дробления континуума позволяет понять "механику", лежащую в основе социально-географической фрактальной организации, но не может прояснить нам, почему странам вообще необходима эта организация. Проще говоря, она отвечает на вопрос "как", но не отвечает на вопрос "почему". Этот же вопрос возникает и в связи с прочими феноменами, которые могут быть описаны как когнитивные фракталы.
Чтобы ответить на этот вопрос, нам придётся обратиться к метафизике когнитивного порядка.
Мы уже говорили, что закономерности когнитивного порядка происходят из свойств сознания, в отличие от порядка физического, который обусловлен свойствами материи. Ключевая особенность существ и феноменов, наделенных сознанием - осознание своего "Я". Эта особенность, казалось бы, может быть интересна только с точки зрения философских спекуляций. Однако, это не так. Присутствие сознания у существ или действие сознания в каком-то натуральном феномене приводит к объективно наблюдаемым и повторяющимся последствиям. Они даже могут быть предметом числового анализа, который позволяет пролить некоторый свет на природу сознания. Совокупность этих объективно наблюдаемых следов присутствия и действия сознания мы и называем когнитивным порядком.
О том, как именно осознание своего "Я" меняет характерное поведение феноменов на микро-уровне, мы будем говорить особо. Пока же в качестве аксиомы нам следует принять следующее: взаимодействуя с материей, сознание организует её в макроскопические самоподобные структуры, которые мы именуем когнитивными фракталами. Такие фракталы образуются в результате каскадного дробления континуума и обычно их структуры соответствуют закону Зипфа, то есть, имеют β, близкое к единице. Это статистическое свойство, а также генерация структурами шума со спектром 1/f - а такие шумы, как мы увидим далее, характерны для когнитивных фракталов - являются объективно наблюдаемыми результатами взаимодействия сознания и материи, сигнатурами когнитивного порядка. Таким образом, главным предметом нашего интереса оказываются именно когнитивные фракталы.
Уточним: когнитивные фракталы - это не просто косвенные следы действия сознания, в них сознание существует, их структура - это и есть структура сознания. Тут очень удобно сравнение с традиционным метафизическим описанием отношений души и тела: сознание человека, его "Я" несет душа, но душа может взаимодействовать с материальным миром только посредством тела. При этом принято считать, что душа сама по себе проста и не обладает структурой, она есть лишь "искра духа". Но, чтобы взаимодействовать с видимым миром, душа принимает структуру тела. Так видимая структура тела оказывается отражением невидимой структуры души.
Опираясь на этот образ, можно сказать, что когнитивные фракталы - это тела, материальные оболочки, в которых существуют в видимом мире "частицы сознания", "искры духа".
Такой "частицей сознания" может быть сознание отдельного человека. Такой частицей может быть и коллективное сознание представителей целой страны. Взаимодействие коллективного сознания обитателей какой-либо страны или провинции, коллективного "Я", с соответствующей географической, материальной средой и является фундаментальной причиной развития социально-географических фракталов. При этом структурные параметры этих фракталов, исчислять которые мы научились, отражают структуру самого коллективного сознания стран и провинций.
Гармониум - прафеномен когнитивного фрактала
Как мы знаем, чаще всего когнитивные фракталы развиваются в структуры, статистика которых соответствует закону Зипфа, то есть, для которых β = 1. Мы уже говорили, что идеально такой статистике соответствует гармонический ряд:
Для него уравнение рангового распределения выглядит красиво, просто и, конечно, имеет β точно равное 1:
Если бы мы встретили натуральный феномен, структура которого обладала бы статистикой, точно соответствующей гармоническому ряду, мы могли бы счесть его прототипом, идеальным примером всех остальных когнитивных фракталов. Или, в терминах Гёте, их прафеноменом, глубинным прототипом, прообразом.
Мы будем именовать такие прототипические когнитивные фракталы гармониумами, понимая их как матрицы, шаблоны, на основе которых развиваются все натуральные когнитивные фракталы. Прибегая к биологическому сравнению, гармониум – это образ идеального организма, наиболее общего представителя своего биологического вида.
(На этом названии автор остановился не сразу. Вообще-то так именуется музыкальный инструмент, похожий на помесь гармони и клавесина. Но в качестве термина он для нас имеет три важных преимущества: во-первых, в самом названии имеется прямое указание на гармонический ряд, во-вторых, оно перекликается со словом "гармоничный", что подчеркивает его первичность, прототипичность, в-третьих, это слово созвучно слову "континуум", который воспринимается нами как нечто универсальное и бесконечное. Идеальный гармонический ряд тоже бесконечен и универсален.)
Поскольку когнитивные фракталы вообще отражают формы, в которые облекаются "частицы сознания", а гармониум - идеальный когнитивный фрактал, то можно сказать, что гармониум есть отражение идеальной, прототипической формы или структуры сознания.
Если так, то для нас будет весьма интересно исследовать структурные параметры гармонического ряда, потому что эти параметры характеризуют базовую структуру сознания и его видимых проявлений.
Какими же структурными параметрами обладает когнитивный фрактал, статистика которого точно соответствует гармоническому ряду?
Поскольку этажность L и толщина волокон V зависит от длины рассматриваемого ряда (а гормонический ряд в идеале бесконечен), а коэффициент стройности для гармонического ряда равен 1 (ведь для него β = 1), наибольший интерес тут для нас представляет коэффициент дробления N. Значение N, которое мы получим, в некотором смысле будет прототипическим, наиболее фундаментальным коэффициентом дробления, свойственным гармониумам.
Для расчета обратимся к уравнению, которое мы использовали для расчета параметров коэффициента дробления идеальных фракталов в случае, если β = 1:
Применительно к теме популяционных распределений, S0 - это размер крупнейшего города, Ng - число городов в распределении, а Sg - общее население во всех Ng городах (далее для простоты мы будем обозначать рассматриваемое число членов распределения просто буквой g). Прилагая это уравнение к гармоническому ряду, мы получим:
Тут Hg - так называемое гармоническое число. Оно равно сумме первых g членов гармонического ряда:
Таким образом, мы можем записать:
Гармоническими рядами и гармоническими числами много занимался великий Леонард Эйлер, и ему же принадлежит уравнение, позволяющее вычислять гармонические числа при больших значениях g (то есть, при длиннных рядах):
Тут γ - это постоянная, которую называют постоянной Эйлера. Из этого мы можем получить следующее уравнение, которое точно выполняется при больших g (при g, стремящемся к бесконечности):
Преобразуя его, мы получим:
Чтобы g стремилась к бесконечности, необходимо, чтобы к бесконечности стремился показатель степени в этом уравнении:
Из этого получим:
И, следовательно:
Таким образом, коэффициент дробления гармонического ряда равен одной из важнейших математических констант, основанию натуральных логарифмов e.
Это весьма примечательный факт. Обратим внимание, что он близок к 3 и при этом не является целым числом. В предыдущем прологе мы кратко затрагивали тему не-целочисленных коэффициентов дробления и пришли к их пониманию как показателей дробления на части разного размера. В частности, коэффициент дробления несколько меньше 3 соответствует дроблению на 3 части разного размера:
И именно таким, неоднородным, является стохастическое дробление. Иными словами, в основе максимально близких к гармоническому ряду распределений лежит неоднородное или стохастическое дробление континуума на 3 части, трихотомия, а значит именно трихотомию мы должны рассматривать как наиболее фундаментальное, прототипическое дробление в когнитивных фракталах. Гармониумы порождаются трихотомией.
Таким образом, феномены сознания оказываются глубоко привязанными к трихотомии, делению на три части. Но, как показали наши расчеты параметров социально-географических фракталов разных стран, далеко не всегда коэффициент дробления в них оказывается близок 3. В чём же дело?
Разберёмся в этом.
Гармоническая плотность
Возьмем сдвоенный гармонический ряд, который образован двукратным повторением каждого члена обычного гармонического ряда:
Нетрудно догадаться, что уравнение рангового распределения такого ряда будет при больших рангах соответствовать закону Зипфа также, как и нормальный гармонический ряд:
То есть, сдвоенный гармоничеcкий ряд также имеет β = 1, и мы можем рассчитывать его коэффициент дробления N на основе того же уравнения, что и для обычного гармонического ряда.
Далее, если всего в таком сдвоенном ряду g членов, то, используя приведенную выше формулу Эйлера, его сумма при больших g равна:
Из чего мы получаем равенство:
И далее следуя той же логике, что и в случае обычного гармонического ряда, мы установим коэффициент дробления для сдвоенного ряда:
Или, с поправкой на стохастичность дробления:
Результат интересный, но контринтуитивный: можно было бы подумать, что удвоение гармонического ряда не изменит его коэффициент дробления или увеличит его. Но в действительности, сдвоенный гармонический ряд имеет меньший коэффициент дробления, нежели исходный, и по своему значению напоминает коэффициент дробления для фракталов таких стран как Россия (N = 1,8), Германия (N = 1,7) или Украина (N = 1,9).
Далее, мы могли бы точно также рассмотреть строенный гармонический ряд, счетверенный гармонический ряд и т.д., и установить, что, вообще, если обозначить количество повторов каждого члена гармонического ряда как ψ ("пси"), то для таких рядов коэффициент однородного дробления:
Коэффициент стохастического дробления:
Отсюда мы получаем и обратное соотношение, позволяющее вычислить ψ на основе известного коэффициента стохастического дробления N:
Например, для России, имеющей коэффициент дробления N = 1,8, мы получим ψ = 1,87 ≈ 2. То есть, популяционное распределение России по характеристикам изоморфно удвоенному гармоническому ряду. Иначе говоря, социально-географический фрактал России может рассматриваться как сдвоенный гармониум (к слову, в этом свете российский герб с двуглавым орлом приобретает новый неожиданный смысл).
Можно сказать и иначе: Россия - это гармониум двойной плотности. Поэтому мы будем далее именовать параметр ψ гармонической плотностью. Например, исходный гармонический ряд обладает единичной гармонической плотностью ψ = 1, а сдвоенный ряд - удвоенной плотностью ψ = 2.
А существуют ли "разряженные" ряды, имеющие гармоническую плотность меньше 1? Да, и вот простейший пример:
Он получен из обычного гармонического ряда изъятием каждого второго члена. Легко увидеть, что такой разряженный вдвое гармонический ряд тоже отвечает закону Зипфа и его распределение примерно соответствует уравнению:
Легко выяснить, что для такого ряда половинной плотности и ещё более "разряженных" рядов выполняются те же уравнения связи между гармонической плотностью ψ и коэффициентом дробления N, что и для рядов повышенной плотности. При этом ряды с гармонической плотностью менее 1 соответствуют коэффициентам стохастического дробления более 3. Например, для Испании, имеющей N = 9 мы получаем значение гармонической плотности ψ = 0,5. То есть, социально-географический фрактал Испании может рассматриваться как "разряженный" вдвое гармониум.
Эта картина позволяет нам понять, почему натуральные когнитивные фракталы, имея своим прототипом гармониум, могут иметь коэффициенты стохастического дробления, отличные от 3. Дело в различной гармонической плотности, которую можно образно назвать "плотностью сознания".
Результаты расчета гармонической плотности ψ для различных стран можно увидеть в соответствующей колонке уже знакомой нам таблицы.
1
А вы Правило Тициуса-Боде не рассматривали? 
http://avmol51.narod.ru/Pravilo_Ticiusa_Bode.html
" расстояния между орбитами планет и орбитой Меркурия возрастают по закону геометрической прогрессии со знаменателем, примерно равным двойке "
К вопросу о Создателе :)
Грибник gribnik.su@yandex.ru (21.09.2017 16:15)
2
Тут не степенная зависимость
Тут геометрическая прогрессия. Говоря просто, геометрическая зависимость это некоторое постоянное число в равномерно прирастающей степени, а степенная - наоборот, равномерно прирастающее число в постоянной степени. Тициус-Боде - это геометрическая зависимость.
Роман Уфимцев (24.09.2017 23:34)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER