КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
 
Роман Уфимцев
26 апреля 2012 года, Калининград
Мы продолжаем разбирать основные типы причинности, которые выступают организующей силой натуральных хронологий различной природы. В предыдущем прологе мы познакомились с генеративными моделями трёх основных типов причинности: 1) физической эндогенной, 2-3) физической и когнитивной экзогенной причинности. Остался последний, четвёртый тип причинности - когнитивная эндогенная, она же формальная в терминах метафизики Аристотеля - её генеративную модель мы будем исследовать последней, поскольку вообще этот тип причинности, пожалуй, является самым интригующим, и может быть, важнейшим для феноменов когнитивного порядка.
Однако, прежде, чем мы приступим к формальной причинности, мы посвятим ещё некоторое время генеративным моделям первых трех типов причинности. Нам это будет полезно по двум соображениям. Во-первых, эти генеративные модели действительно важны для нас: они дают возможность увидеть суть различных типов причинности в предельно ясном, чистом, концентрированном виде. Они позволяют за бесконечным разнообразием причинно-следственных связей в явлениях мира увидеть одни и те же простейшие механизмы. Так мы достигаем того уровня обобщения, который вообще требуется, чтобы вырваться из плена частных примеров, частных явлений - а именно это стало тупиком для многих и многих нынешних учёных, занимающихся сложными системами различной природы.
Во-вторых, мы рассмотрим генеративные модели в "предельных режимах", при экстремальных значениях их параметров, а также их модификацию. Это не только позволит нам познакомиться с признаками "аномальных" форм базовых типов причинности, но и поможет ещё лучше уяснить взаимные связи между ними - а это для нас очень важно, ведь чтобы понимать вещи, нужно видеть их в системе.
Предельные режимы экзогенной причинности
В предыдущем прологе мы установили, что для обоих типов экзогенной причинности - физической и когнитивной - подходит одна и та же простая генеративная модель: движение частицы из пункта А в пункт В. Когда в каждый момент времени частица совершает шаг с какой-то постоянной вероятностью, и при этом расстояние до пункта В велико, мы получаем нормальное распределение периодов движения частиц, что является признаком физической экзогенной причинности. Когда расстояние до пункта В относительно невелико, мы получаем логнормальное распределение периодов движения, и это соответствует когнитивной экзогенной причинности.
Рассмотрим теперь экстремальную модификацию этой генеративной модели: пусть расстояние между пунктами А и B предельно короткое и составляет всего 1 шаг. Тогда, скажем, при вероятности сдвига частицы p=1/2 в 50 из 100 случаев частица достигнет конечного пункта уже в первый отсчёт времени. За два отсчёта времени конечного пункта достигнут половина из оставшихся 50, то есть, ещё 25 частиц, и т.д.
Очевидно, что мы получаем картину, в точности аналогичную ситуации радиоактивного распада, а значит, периоды времени, которые потребуются частицам для того, чтобы добраться до пункта В будут распределяться экспоненциально. Но мы знаем, что этот тип распределений периодов времени является признаком физической эндогенной причинности.
Картина движущейся частицы, которую мы до сих пор использовали только для описания экзогенных типов причинности, в предельном режиме вдруг оказывается также и генеративной моделью физической эндогенной причинности (материальной в терминах Аристотеля). При этом выясняется парадоксальный факт: материальная причинность в некотором смысле является предельной формой когнитивной экзогенной причинности. Говоря проще, когда до цели всего один шаг, целевая причинность становится материальной:
Вот так наша простейшая генеративная модель позволяет увидеть взаимные отношения между тремя типами причинности, и эти отношения оказываются довольно нетривиальными. Как с ними соотнесётся последняя, когнитивная эндогенная причинность? Об этом мы узнаем попозже.
Очень низкая вероятность сдвига
Еще один предельный режим модели - очень низкая вероятность сдвига частицы p за один цикл времени. В этом случае при промежуточных значениях длины дистанции D (если она сравнима с длиной одного шага) мы получаем не логнормальные распределения, а гамма-распределения. ("Ещё одно распределение! Да сколько же их?!" - воскликнет читатель. Да, ещё одно, а вообще в науке и статистике их используется большое множество разновидностей. Но мы знакомимся только с теми, с которыми нам положено по теме – это пригодится, когда дело дойдёт до практики.)
Мы уже кратко упоминали распределение, являющееся прямым родственником гамма-распределения. Это распределение Эрланга - мы говорили о нём, когда говорили о распределениях инкубационных периодов инфекционных заболеваний. Поскольку распределение Эрланга и гамма-распределение часто встречаются в опытной статистике различных периодов времени, стоит о них поговорить чуть подробнее.
Как мы говорили, если у нас имеются наборы случайных величин, распределенных экспоненциально, то суммы случайных величин, взятых по одной из каждого набора будет соответствовать распределению Эрланга.
В зависимости от своих параметров, распределение Эрланга принимает очень разные формы, при этом параметр k равен количеству исходных экспоненциальных наборов:
Распределение Эрланга при различных значениях параметров
Если мы берем всего один набор экспоненциально распределенных величин (k=1), распределение Эрланга превращается в обычное экспоненциальное распределение (обратим на это внимание):
Кроме того, при некоторых значениях параметров распределение Эрланга становится очень похожим на логнормальное распределение, при других - на нормальное.
Однако, в науке чаще используется не само распределение Эрланга, а его обобщенная форма, гамма-распределение:
Отличие гамма-распределения в том, что в нём разрешены не только целые значения k, но и дробные. Взглянем на уравнение распределения Эрланга. В нём используется факториал (k-1)!, это произведение всех чисел от 1 до k-1. Естественно, что для вычисления факториала k должно быть целым числом. Однако, математики нашли обобщение этой операции для случаев, когда k не является целым числом, оно называется гамма-функцией и обозначается большой греческой буквой Г:
Ещё один нюанс. Традиционно в записи уравнения плотности вероятности гамма-распределения используется не пара параметров λ и k, как в распределении Эрланга, а пара θ и k, так что:
(Заметим: поскольку в гамма распределении k может быть не целым, способ получать его суммируя k наборов экспоненциально распределенных величин уже не годится - действительно, ведь нельзя же суммировать между собой, например 4,56 чисел?)
Итак, при малых вероятностях сдвига частицы наша генеративная модель порождает периоды от события А до события В, которые в общем отвечают не логнормальному, а гамма-распределению. Проведем числовой опыт. Пусть дистанция от пункта А до пункта B составляет 5 шагов, а вероятность сдвига частицы при этом равна 0,0001 (тысячная процента). Представим получившиеся периоды в логнормальной вероятностной диаграмме:
Если бы точки распределения укладывались на прямую красную линию, мы бы имели перед собой логнормальное распределение. Но точки явно лучше укладываются на фиолетовую линию, соответствующую гамма-распределению.
И вновь, тот факт, что наша генеративная модель в данных условиях порождает гамма-распределение, не трудно доказать аналитически. Вновь опустим выкладки, но для любопытного читателя сообщим, что доказательство основывается на том факте, что формула Бернулли (вспомним подсчёт усачей среди прохожих) при низких вероятностях успеха и достаточно большом числе опытов приводит к ещё одному распределению, распределению Пуассона.
Итак, если дистанции от пункта А до пункта В не слишком малы, а вероятность сдвига низка, распределение периодов движения соответствуют гамма-распределению:
Параметры распределения ясно и просто определяются параметрами модели D и p. Заметим кстати, что значение параметра k в общем случае является не целым, а значит, мы имеем дело не с распределениями Эрланга, а именно с гамма-распределениями.
При очень больших дистанциях между А и B гамма-распределение по форме приближается к нормальному распределению (точно также как и логнормальное), так что все три типа: гамма-, логнормальное и нормальное становятся неотличимы друг от друга.
Итак, при малых вероятностях сдвига и не очень больших дистанциях между пунктами А и В мы получаем не логнормальные, а гамма-распределения. Означает ли это, что гамма-распределения временных лагов между причинами и следствиями должны нами рассматриваться как спутники действия целевых / когнитивных экзогенных причин, как и логнормальные распределения?
Откровенно говоря, это не простой вопрос. С одной стороны, наша генеративная модель демонстрирует глубокую родственность логнормального и гамма-распределения. С другой стороны, между этими распределениями есть и важные различия. Быть может, очень низкие вероятности сдвига не типичны для целевой когнитивной причинности, и когда они низки, мы имеем дело лишь с каким-то особым типом материальных причин, то есть, физических эндогенных? А может быть, гамма-распределения, действительно, просто альтернативное проявление целевой причинности?
Познакомимся теперь с парой натуральных примеров, в которых временные лаги между событиями распределяются именно таким образом - может быть, это внесёт какую-то ясность?
Примеры натуральных гамма-распределений
Первый пример скорее говорит о том, что гамма-распределения периодов времени между событиями являются продуктами когнитивного порядка. Речь идёт о всплесках активности нейронов и о распределении промежутков времени между ними.
Если аккуратно присоединить микроэлектрод к какому-нибудь нейрону в мозге (не проводите этот опыт дома!), обнаруживается, что флуктуации электрической активности нейрона, наряду с плотным шумом, обычно содержат хорошо различимые всплески:
Дистанции времени между всплесками зависят от степени возбуждения нейрона - когда нейрон находится в возбуждённом состоянии, средняя частота следования всплесков увеличивается. Однако, в любом случае всплески следуют не строго периодично, интервалы между ними меняются в некоторых пределах.
Распределения интервалов между всплесками электрической активности нейронов довольно хорошо изучены, и обычно исследователи утверждают, что эти периоды лучше всего соответствуют гамма-распределению. Например:
Электрическая активность нейрона сетчатки глаза, которому в качестве стимула предъявляется движущееся поле случайно разбросанных точек. Слева - опытное распределение периодов между всплесками, справа - гамма-распределение, полученное на числовой модели.
Иногда исследователи сообщают, что некоторые нейроны демонстрируют гамма-распределенные интервалы, другие - нормально-распределенные (хотя первых больше):
(Это, вроде бы, не меняет общей картины, ведь мы знаем, что гамма-распределения при некоторых значениях параметров неотличимы от нормальных распределений. В терминах нашей генеративной модели: если вероятность сдвига частицы мала, мы получаем гамма-распределение, но если при этом и дистанция велика, то получаем распределение, очень близкое нормальному.)
Мы уже обращались к теме флуктуаций электрической активности мозга, когда обсуждали розовый шум. Спектр розового шума имеют не только флуктуации отдельных нейронов, но и целых участков мозга. Мы считаем розовый шум одной из характерных и надежных сигнатур когнитивного порядка, и её неудивительно обнаружить в нейронных процессах.
Однако, если розовый шум в этих процессах свидетельствует о действии когнитивного порядка, то таким же свидетельством должно являться и гамма-распределение периодов между всплесками нейронной активности. Если считать их результатом действия когнитивной экзогенной причинности (целевой), то всё встаёт на свои места. В этом случае плотный фоновый шум нейронной активности может быть обусловлен когнитивными эндогенными причинами (о них мы ещё будем говорить), а резкие дискретные всплески являются результатом когнитивных экзогенных причин.
Ещё один пример, и он тоже является веским доводом в пользу того, что гамма-распределения, как и логнормальные – признак когнитивной экзогенной, то есть, целевой причинности в случае низких вероятностей сдвига.
Вспомним: дистанции времени между проходящими по дороге автомобилями обычно распределяются логнормально. Мы использовали этот пример для того, чтобы понять механизм целевой причинности. Однако, что происходит с распределениями, если движение становится очень редким?
Мы решили специально проверить этот случай, найдя небольшую тихую улицу внутри жилого района. Движение по ней оказалось примерно в 10 раз менее интенсивным, чем по обычной городской двухполосной дороге. Из-за поворотов следующие друг за другом автомобили почти не находились в прямой видимости друг у друга. Ранее мы предполагали, что в этих условиях периоды между автомобилями будут приближаться к экспоненциальному распределению. Однако, как оказалось, ближе всего опытные данные в этих условиях соответствуют гамма-распределению:
Как видим, опытные данные плохо укладываются на прямую красную линию, соответствующую логнормальному распределению. С другой стороны, они "не дотягивают" до голубой линии, соответствующей экспоненциальному. Зато фиолетовая линия, обозначающая гамма-распределение, хорошо согласуется с опытными данными.
Итак, если достаточно плотное движение автомобилей характеризуется логнормальными распределениями и при этом оно управляется целевой причинностью, то гамма-распределения, характерные для разряженного движения, вероятно также являются признаком целевой причинности.
Кажется мы приходим к выводу, что гамма-распределения периодов времени между событиями являются признаком особой разновидности целевой причинности. В генеративной модели она характеризуется низкими вероятностями сдвига частицы, а "в жизни" - ситуациями, когда цель близка, но трудно досягаема.
Случайная длина дистанции
Изучив нашу генеративную модель в экстремальных режимах, бегло исследуем одну интересную её модификацию.
Что будет, если дистанция между пунктами А и В, которую должна пройти частица, является не конкретной и постоянной для всех частиц, а сама является случайной величиной?
Проведем числовой опыт. Пусть вероятность сдвига частицы p=1/2, а дистанция представляет собой случайное число в диапазоне от 1 до 1000. Каким окажется распределение периодов движения частицы? Вот таким:
Распределение оказывается плоским. Это означает, что с примерно одинаковой вероятностью мы встретим любой период движения частицы от пункта А до пункта B - от 1 до 2000 (верхний предел равен Dmax/p, где Dmax - максимально возможная дистанция).
Как нам это понимать?
Представим, что длина дистанции между пунктами может принимать любые случайные значения от 1 до бесконечности. Тогда бы мы увидели бесконечное плоское распределение. И это бы означало, что между событиями А и B нет вообще никакой причинно-следственной связи. Событие А не далает более вероятным событие В ни сразу после своего наступления, ни в какой-либо другой момент в будущем.
Итак, модифицированная генеративная модель причинности неожиданно оказалась моделью полного отсутствия причинности. Для этого лишь необходимо, чтобы дистанция между пунктами А и В была случайной, неопределенной. Из этого мы делаем важный вывод: для того, чтобы между событиями А и В вообще могла существовать какая-либо причинная связь, между ними должна существовать определенная дистанция, то есть, определенный минимальный разделяющий их промежуток времени. Если этот промежуток не определён, случаен, причинно-следственная связь между событиями отсутствует.
Впрочем, не будем спешить с выводами: у нас еще осталась когнитивная эндогенная причинность, она же формальная. Будет ли она представлена в этой же генеративной модели (ведь она оказалась пригодной для трех типов причинности, почему бы и не всех четырёх?), или нам потребуется какая-то другая модель? Скоро узнаем: в следующем Прологе мы приступаем к тщательному исследованию самого загадочного и интригующего типа причинно-следственных связей в нашем мире.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER