КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 44. Параметры тау-модели
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 44. Параметры тау-модели
 
Роман Уфимцев
24 мая 2012 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы обрисовали то немалое значение, которое имеет тау-модель в наших исследованиях. Она моделирует ключевое, как мы полагаем, свойство "частиц сознания" - особый закон вероятностей, которым подчиняются Я-состояния, то есть, самоосознающие состояния вещей и явлений.
У нас весьма масштабная задача: мы пытаемся внести точность и конкретность в науку о сознании, и конечно, на этом пути много сложных тем и вопросов. Иногие из них кажутся особенно неясными из-за того, что мы не умеем пока правильно глядеть на феномен сознания, правильно его описывать. Предельно простая и элегантная по своему устройству тау-модель - это первая, хоть и маленькая, но ясная и надёжная тропа в той запутанной местности, в которой веками плутали мыслители, стремившиеся понять свойства сознания. Конечно, сама по себе эта модель не может объяснить, как обладающий сознанием человек мыслит, воспринимает, чувствует, принимает решения. Но, возможно, маленькая тропа со временем выведет нас к столбовой дороге, которая ведёт к точной науке о сознании.
А потому мы будем развивать тау-модель, исследовать её свойства, раскрывать её связь с другими темами и понятиями, о которых мы уже говорили, постепенно наращивая над её абстрактными корнями древо конкретных смыслов, примеров и приложений.
И прежде всего, мы исследуем, как ведёт себя тау-модель при различных модификациях её алгоритма - это существенно расширит её описательные возможности.
Опыт, сын ошибок трудных
Припомним абстрактное ядро исходной тау-модели. Она моделирует некоторое различимое состояние, вероятность завершения которого снижается пропорционально длительности, возрасту этого состояния. Обладающие такими свойствами состояния мы именуем Я-состояниями. Запишем уравнение вероятности окончания Я-состояния в зависимости от его возраста - будем для краткости называть эту вероятность терминальной вероятностью и обозначать как Pt:
Тут τ (тау) - мера "опытности", "стойкости", "тиронности" Я-состояния (от первой буквы греческого корня τηρ - держать, наблюдать, хранить). t - это возраст Я-состояния, и в простейшем случае τ точно равна возрасту плюс 1, то есть, опытность Я-состояния растёт прямо пропорционально его времени жизни (ясно, что в этом уравнении опытность τ имеет размерность времени, то есть, опытность измеряется в единицах времени).
Обратим внимание на важный момент: это уравнение предполагает дискретный ход времени: минимальный возраст Я-состояния составляет t=0, и далее прирастает единичными шагами. Значит, "новорождённое" Я-состояние прекратится в первый же шаг времени с вероятностью 1/2:
Тут τ0 - это исходная опытность новорождённого Я-состояния, и она равна 1.
Далее, если Я-состоянию "везёт", его терминальная вероятность начинает гиперболически спадать и, как мы знаем, это приводит к степенному распределению длительностей Я-состояний с показателем λ = 2, что соответствует ранговому степенному распределению с показателем β = 1, то есть, закону Зипфа.
Но что, если исходная опытность τ0 не равна 1?
Вспомним, как мы иллюстрировали тау-модель образом кольца, "глотающего время":
Мы представляли новорождённые колечки состоящими всего из двух сегментов - одного сильного, другого слабого. Такое колечко распадется после первой же стрелы времени с вероятностью 1/2:
Но что, если новорожденные кольца исходно состоят из трех сегментов, два из которых крепкие, а один - слабый? Тогда терминальная вероятность для кольца в первый момент времени составляет 1/3, и далее начинает падать. Или, если это записать уравнением:
Мы видим, что исходная "опытность" τ0 тут равна 2, и это соответствует исходному количеству крепких сегментов в кольце.
Мы можем, наоборот, представить новорожденные кольца, у которых по два слабых и одному крепкому сегменту. В этом случае исходная терминальная вероятность равна 2/3, а исходная опытность τ0 = 1/2:
Заметим, что между числом сильных и слабых сегментов новорожденного кольца и соответствующим значением исходной опытности τ0 имеется простая и наглядная связь:
Опытность или "тиронность" τ - это просто отношение сильных сторон кольца (то есть, представляющего его Я-состояния) к числу его слабых, уязвимых сторон.
Итак, как будет вести себя тау-модель, если исходная опытность не равна 1? Конкретно, как распределятся длительности Я-состояний в случае многократного запуска модифицированной тау-модели?
Нетрудно установить, что частотное распределение длительностей Я-состояний в этом случае c удовлетворительной точностью будет соответствовать уравнению:
Это действительно нетрудно установить. Однако, чтобы не загромождать текст, мы поместим это доказательство и другие математические выкладки к этому Прологу в математическое приложение. Оно адресовано тем читателям, которые не боятся простой математики и желают проверять важные утверждения собственноручно. Конкретно, см. параграф "1. τ0 – любое положительное число"
Лог-логистическое распределение (ещё одно...)
Что за распределение мы получили?
С точки зрения своего уравнения оно очень похоже на уже знакомое нам степенное распределение (или как ещё говорят распределение Парето), но относится к ещё одному, до сих пор незнакомому нам типу распределений - лог-логистическому.
Лог-логистическое распределение считают родственным по свойствам уже известному нам логнормальному распределению. Как и логнормальное, лог-логистическое распределение имеет два параметра, в зависимости от которых принимает разный внешний вид:
Лог-логистическое распределение при различных значениях параметров
Иногда уравнение плотности вероятности лог-логистического распределения записывают иначе, используя другую пару параметров, но между двумя вариантами записи и двумя парами параметров имеется прямая связь:
Первый вариант более компактный и мы будем использовать именно его.
И ещё одно замечание. Лог-логистическое распределение может рассматриваться как один из частных случаев так называемого обобщенного распределения Парето (подробнее мы поговорим о нём в следующем Прологе). Однако, обобщенное распределение Парето использует целых три параметра, а потому оно сложней лог-логистического, которое опирается всего на два параметра. Поэтому мы пока будем рассматривать наше распределение как лог-логистическое.
В случае, если параметр b лог-логистического распределения равен 1, его уравнение значительно упрощается, и мы получаем в точности распределение, которое генерирует модифицированная тау-модель:
Значение параметра a лог-логистического распределения оказывается равным исходной опытности Я-состояния:
Если исходная опытность τ0 равна 1, сгенерированные тау-моделью длительности Я-состояний отвечают закону Зипфа, и это можно проверить, построив ранговое распределение длительностей в двойных логарифмических координатах (в первом цикле Прологов мы использовали в основном ранговые распределения из-за их практического удобства):
Припомним, что показатель степенного рангового распределения мы обозначаем как β и в случае, если β = 1, выполняется закон Зипфа - и это мы полагаем важной сигнатурой когнитивного порядка.
Но что станет с выполнением закона Зипфа, если исходная опытность τ0 не равна 1? Допустим, что в каком-то феномене действуют Я-состояния с высокой исходной опытностью. Как это скажется на ранговых распределениях?
Проведем опыт с тау-моделью. Положим исходную опытность τ0 равной 10. Вот какое ранговое распределение длительностей Я-состояний мы получим:
Очевидно, что значительная часть распределения по-прежнему отлично соответствует закону Зипфа. Однако хвост распределения загибается вниз - это результат высокой исходной опытности - из-за неё исходная терминальная вероятность становится низкой (Pt = 1/11) и оказывается слишком мало Я-состояний короткой длительности, чтобы закон Зипфа выполнялся для хвоста распределения, в котором и оказываются короткие Я-состояния. Этот эффект становится ещё заметнее, если мы увеличим τ0, например, до 1000:
Обратим внимание, что глядя на ранговое распределение мы можем бегло оценить значение исходной опытности по примерному положению излома прямой линии распределения - он находится как раз напротив значений длительности Я-состояний, равных исходной опытности (зелёная линия на диаграмме) - в данном случае около 1000.
Как мы говорили, лог-логистическое распределение считают похожим на логнормальное, на практике для описания опытных данных вместо одного часто можно применять другое. При этом у лог-логистического распределения есть одно важное преимущество - в отличие от логнормального, для него можно записать уравнение рангового распределения (для логнормального его нельзя представить в аналитическом виде), при этом довольно простое:
Тут N - общее число объектов в распределении.
В нашем случае b = 1 и a = τ0, получим:
Подставляя в него исходные данные только что проведённых нами опытов с тау-моделью и разными исходными опытностями, мы получим кривые, точно соответствующие опытным ранговым распределениям:
Мы так подробно разбираем свойства и признаки лог-логистического распределения, чтобы обозначить: в тех случаях, когда на степенном ранговом распределении опытных данных основная линия в хвосте характерно отклоняется вниз, это может означать высокую исходную опытность Я-состояний. При этом, если основная линия в начале всё же укладывается на показатель β = 1, это не мешает считать такое распределение сигнатурой когнитивного порядка - что мы и выяснили с помощью тау-модели.
А если наблюдаемое значение β отклоняется от 1? Можно ли это объяснить в рамках тау-модели?
Когнитивный КПД
Можно, и весьма просто.
До сих пор мы полагали, что опытность Я-состояния τ растет пропорционально его возрасту, так что каждый шаг времени прибавляет единицу к опытности, что отражено в уравнении терминальной вероятности:
Но, что, если опытность τ растет быстрее, чем возраст t или наоборот, медленнее? Введем коэффициент связи между опытностью и возрастом φ (фи):
Если φ=1, мы получим уже исследованную нами ситуацию, когда опытность растет также, как возраст. Если φ > 1, то опытность растет быстрее возраста, если φ < 1, то медленнее.
Вспомним наши кольца, глотающие стрелы времени. В некотором смысле φ характеризует "эффективность пищеварения" этих колец: если кольцо должно проглотить не одну, а две стрелы времени, чтобы нарастить один крепкий сегмент, то φ = 1/2. Напротив, если проглотив одну стрелу времени, кольцо прирастает сразу двумя крепкими сегментами, мы имеем φ = 2. Чем выше φ, тем активнее, энергичнее Я-состояние накапливает свою опытность, устойчивость, тем лучше Я-состояние обращает враждебные силы на пользу "миссии самосохранения". Условно говоря, это "коэффициент полезного действия" Я-состояния, хотя в отличие от обычного КПД он может принимать значения выше 1 (то есть, выше 100%).
В случае, если φ≠1 уравнение терминальной вероятности выглядит несколько сложнее обычного. Это обобщенное уравнение терминальной вероятности:
При φ=1 оно превращается в обычное:
Обобщённое уравнение выводится исходя из простых соображений, связанных с принципом непрерывности и равномерности хода времени. Мы поговорим об этом позже.
Чтобы выяснить, как будут распределяться длительности жизни Я-состояний в зависимости от φ, рассмотрим сначала простой случай, когда исходная опытность τ0 невелика и примерно равна φ (например, если φ≈1, то и τ0≈1). В этом случае частотное распределение для больших длительностей жизни будет приближенно соответствовать уравнению классического степенного распределения (распределения Парето):
Далее, уравнение рангового распределения длительностей Я-состояний имеет следующий вид:
где H(1) - возраст самого продолжительного Я-состояния.
Это выражение не вполне соответствует уравнению ранговой функции обычного степенного распределения, она соответствует так называемому обобщенному степенному распределению, которое описывает тау-модель при произвольных значениях τ0 и φ. См. об этом в следующем Прологе.
Как видно из рангового уравнения, даже если φ не равно 1, ранговое распределение по-прежнему будет соответствовать степенной функции, причём её показатель оказывается в точности равным φ:
В случае, если φ=1, то есть, опытность Я-состояния растет с той же скоростью, что и возраст, мы получаем β = 1, то есть, выполнение закона Зипфа.
Проверим эту прямую связь между φ и β на паре числовых опытов с тау-моделью. Например, для φ=2 мы получаем следующее опытное ранговое распределение:
А для случая, когда φ=0,7 получаем:
Рассмотрим, как мы можем использовать полученное обобщение тау-модели на практике. Вспомним, как в предыдущем Прологе мы обсуждали результаты исследования релаксации интенсивности биолюминесценции живых клеток:
Розовой линией отмечено значение показателя степени γ=1.
Показатель степени в уравнении релаксации оказался равным примерно 1,5, в то время как базовая тау-модель даёт ожидаемый показатель степени γ=2. Теперь мы можем истолковать это расхождение в рамках обобщенной тау-модели.
Показатель степени в уравнении релаксации люминесценции γ, как мы говорили, совпадает с показателем степени в уравнении плотности вероятности λ. В тау-модели этот последний показатель зависит от φ:
Отсюда, если γ≈1,5, то φ≈2. Таким образом, если рассматривать возбужденные состояния клеток как Я-состояния, то их "когнитивный КПД", то есть, скорость прироста "опытности", равна 2.
Персистивность и пассионарность
Итак, мы расширили возможности тау-модели, введя два параметра: во-первых, это исходная "опытность" τ0, во-вторых, это "когнитивный КПД", определяющий скорость прироста опытности Я-состояния φ (в базовой тау-модели оба этих параметра равны 1). Однако, и "опытность" и "когнитивный КПД" - не слишком элегантные и выразительные термины. Поэтому мы теперь введём новые содержательные названия для двух параметров, которыми и будем впредь пользоваться.
Исходную "опытность" мы будем именовать исходной персистивностью. (От латинского persistere, сохранять. Фактически, слово "персистивность" означает то же самое, что и "тиронность", но произведено не от греческого слова "хранить, наблюдать, держать", а от латинского "сохранять". Мы выбираем "персистивность", поскольку это слово уже находится в ходу в близком к нужному нам смысле.)
Персистивность в общепринятом смысле - это настойчивость, упрямое стремление, склонность сохранять своё состояние. Но нам будет полезнее вспомнить незаслуженно забытые идеи австрийского биолога начала 20-го века Пауля Каммерера (мы посвятили ему отдельный материал Закон серийности Пауля Каммерера). Этот оригинальный и проницательный учёный задолго до того, как начала формироваться наука о сложных системах, сформулировал несколько законов сложных открытых систем. Первым из них он поставил "закон роста персистивности", в соответствии с которым сложные системы с течением времени наращивают свою персистивность, то есть, становятся всё более устойчивыми к внешним и внутренним разрушающим факторам. Каммерер считал, что это происходит потому, что среда сложной системы адаптируется к ней и начинает всё больше поддерживать её неизменность извне, также как она сама поддерживает свою неизменность изнутри.
Если закон роста персистивности Пауля Каммерера перевести на язык вероятностей, то мы сразу придём к уравнению терминальной вероятности, лежащему в основе тау-модели:
Рост персистивности τ с течением времени t приводит к снижению вероятности разрушения Я-состояния - то есть, в терминах Каммерера, Я-состояние (точнее, у него это "сложная открытая система") становится всё более устойчивым.
Скорость роста персистивности с течением времени определяется вторым параметром тау-модели - это φ. Мы будем именовать его пассионарностью Я-состояния, используя известный термин, введённый Львом Гумилёвым для описания особого энергичного, активного, страстного состояния молодых народов, которым предстоит стать империей. Высокая пассионарность - это страсть и "напор жизни", устремлённость на самореализацию, и это по духу близко высокому "когнитивному КПД", когда Я-состояние набирает свою персистивность быстрее нормального хода времени - кольцо глотает одну стрелу времени и превращает её не в один, а в сразу несколько новых крепких сегментов. Образно говоря, пассионарность φ = 1 - это естественный дрейф Я-состояния в потоке времени, более низкое значение - замедленный, инертный ход. Напротив, более высокие значения φ означают опережение хода времени, когда Я-состояние накапливает свою когнитивную мощь, персистивность быстрее обычного.
Имеет ли φ отношение к пассионарности именно в том смысле, в каком это слово употреблял Гумилёв в своей теории этногенеза? Пожалуй да, и мы вернемся к этой теме, когда будем рассматривать жизненные циклы когнитивных фракталов.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER