КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
 
Роман Уфимцев
28 мая 2012 года, Калининград
Мы продолжаем дело, начатое в предыдущем Прологе - мы исследуем свойства тау-модели в зависимости от значения двух параметров - исходной персистивности τ0 и пассионарности φ. До сих пор мы рассмотрели три частных случая:
  1. Базовый случай, когда τ0=1 и φ=1. В этом случае тау-модель генерирует Я-состояния, распределения длительностей которых является степенным и отвечает закону Зипфа.
  2. Случай, когда τ0≠1 и φ=1. Распределения длительностей Я-состояний оказывается частным случаем лог-логистического распределения.
  3. Случай, когда τ0 ≈ φ. Распределения длительностей Я-состояний оказывается степенным, при этом показатель рангового распределения β = φ.
В этом Прологе мы рассмотрим свойства тау-модели в общем случае, исследуем её поведение при экстремальных значениях параметров, а также проясним особенности цветных шумов, которые генерирует тау-модель, в зависимости от её параметров. Этим мы завершим первый этап формирования аналитической базы, которая нам требуется для дальнейшего продвижения.
Общий случай тау-модели: любые не-отрицательные τ0 и φ
В общем случае, когда исходная персистивность и пассионарность имеет произвольные значения от 0 и больше, частотное распределение длительностей Я-состояний соответствует уравнению:
Вывод этого уравнения - в математическом приложении 1, параграф "2. φ и τ0 – любые положительные числа."
Это так называемое обобщенное степенное распределение (или обобщенное распределение Парето типа II. Имеются и другие, ещё более широкие и сложные обобщения):
Обобщенное степенное распределение при различных значениях параметров
В частном случае, когда равен нулю один из его параметров, оно выглядит так:
Как видим, распределение длительностей Я-состояний тау-модели в общем случае соответствует обобщенному степенному распределению, в котором:
В случае, если φ=1 уравнение распределения существенно упрощается и мы получаем лог-логистическое распределение, которое мы уже рассматривали в предыдущем Прологе в отношении к случаю τ0≠1 и φ=1:
Далее, в случаях, когда τ0≈φ - обычно это справедливо при малых значениях исходной персистивности τ0 – уравнение принимает форму обычного степенного распределения с показателем 1/φ + 1:
Исходя из того, что в общем случае длительности Я-состояний приближенно соответствуют обобщенному степенному распределению, уравнение для рангового распределения выглядит так:
где N - общее число Я-состояний в ранговом распределении.
Построим несколько кривых, соответствующих теоретическим ранговым распределениям при различных значениях параметров:
Нечто подобное мы будем видеть, когда будем строить ранговые распределения по опытным данным каких-то Я-состояний. И, глядя на эти кривые, становится понятна общая последовательность анализа. Во-первых, по начальному прямолинейному участку распределения мы должны выяснить показатель степенной функции, которой он соответствует. Этот показатель равен пассионарности φ. Вторым шагом следует оценить точку перегиба (отмечены стрелками). Длительность Я-состояний, находящихся примерно в точке перегиба соответствует разности:
Это даёт нам возможность по внешнему виду рангового распределения примерно оценить и значение исходной персистивности τ0. Рассмотрим этот процесс быстрой оценки параметров Я-состояний на примере.
Вспомним наше исследование рангровых распределений городов по населению. Как правило, они соответствуют степенным функциям с показателем β≈1. Однако, когда проводится анализ достаточно полных данных, в которых имеются сведения и по небольшим населённым пунктам, ранговые популяционные распределения отклоняются от прямой идеальной линии, например, вот уже знакомое нам популяционное ранговое распределение населенных пунктов Польши:
До сих пор мы описывали страны как социально-географические фракталы, возникающие по алгоритму каскадного дробления континуума. Сейчас же мы посмотрим на них как на фрактальную совокупность Я-состояний, тирон. При этом каждый населенный пункт представляет собой определенное Я-состояние тирона. (Возможно, это сперва покажется читателю несколько неожиданным "трюком", ведь до сих пор Я-состояния мы характеризовали только их длительностью, а тут вместо длительности у нас выступает количество населения. Но, как мы увидим в дальнейшем, тау-модель пригодна и для описания Я-состояний, стремящихся не только к максимальной протяженности во времени, но и в максимальной протяженности в пространстве и других континуумах.)
Итак, глядя на ранговое распределение Польши, сперва выясним показатель степенной функции, которой соответствует начальная линейная часть распределения (красная линия). Она, как мы уже давно выяснили имеет β ≈ 0,8. Это значит, что населенные пункты Польши как Я-состояния имеют пассионарность ниже 1, а именно, φ = β ≈ 0,8.
Далее, глядя на диаграмму распределения можно примерно оценить положение точки перегиба (зелёная точка). Перегиб наступает для населенных пунктов, имеющих примерно по 5000 жителей. Это значит, что:
Поскольку значение φ мы уже знаем, то можно вычислить значение исходной персистивности для населенных пунктов Польши: τ0≈4000 чел. (подобно тому как в обычной тау-модели персистивность имеет размерность времени, в данном случае персистивность измеряется в количестве людей).
Конечно, описанный беглый способ оценки параметров тау-модели может дать только приблизительный результат. Конкретно, в данном случае использование методов численной аппроксимации дает результат φ=0,75, τ0=6700. На диаграмме - сравнение фактических данных рангового распределения населения городов Польши с теоретической ранговой кривой при этих параметрах тау-модели:
Пока мы остановимся на этом, поскольку подробное обсуждение связи между тау-моделью, тиронами и когнитивными фракталами (в том числе социально-географическими) у нас ещё впереди.
Малые значения пассионарности φ
Исходное тау-распределение, которое имеет не поддающийся аналитическому раскрытию вид, мы упростили до обобщенного степенного распределения, но насколько это упрощение приемлемо в случае малых φ?
Начнём с предельного случая, когда пассионарность равна 0. В этом случае терминальная вероятность состояния не снижается со временем, а остается постоянной, и определяется только исходной персистивностью (то есть, персистивность не увеличивается):
Как мы знаем, этим характеризуются оно-состояния в отличие от Я-состояний, и распределение их длительностей подчиняется простому экспоненциальному уравнению:
Если же пассионарность не равна нулю, хотя и мала, мы получаем тау-распределения, которые в некотором смысле являются промежуточными между экспоненциальными и обобщенными степенными. Впрочем, это не создает проблемы при практическом анализе, поскольку при малых φ обобщенное степенное распределение стремится к экспоненциальному:
Например, вот сравнение результатов числового опыта с тау-моделью, для которой φ=0,05, а τ0=50, с экпоненциальным и обобщенным степенным распределением:
На практике, если мы подозреваем в наблюдаемом феномене действие "тау-подобных" механизмов, нам достаточно проверять опытные распределения на предмет их соответствия обобщенному степенному распределению – практически при всех возможных значениях параметров тау-модели результаты её работы хорошо описываются именно этим типом распределений.
Шумы тау-модели
Как мы знаем, в своём базовом варианте (τ0=1, φ=1) тау-модель генерирует шум спектра 1/f. Однако, при изменении параметров она может генерировать шумы других спектров. Конкретно, если τ0=1, а φ не слишком мало имеется простая связь между пассионарностью φ и степенным показателем спектра шумов тау-модели α:
В частности, при пассионарности φ=1 мы имеем розовый шум с показателем спектра α=1. Увеличивая или уменьшая пассионарность, мы можем получать цветной шум с другими значениями α. Например, взяв φ=1,2, мы получим спектр:
Идею доказательства этого равенства можно получить из самых общих соображений.
Как мы знаем, в случае, если τ0=1, а φ не слишком мало, тау-модель (тирон) порождает ряд Я-состояний, длительности которых соответствует степенному ранговому распределению с показателем β = φ. Этот ряд, очевидно, обладает фрактальными свойствами - конкретно, если мы произвольно растянем или сузим ряд во времени, мы получим ряд, который статистически не будет отличаться от исходного, то есть, он будет по-прежнему соответствовать степенному ранговому распределению с показателем β = φ и должен иметь тот же спектр.
Эта устойчивость к растяжениям или сжатиям во времени необходимо означает, что спектр соответствующего шума отвечает степенной функции, поскольку лишь в этом случае спектр растянутого или сжатого во времени ряда может иметь тот же спектр - ведь при изменении временного масштаба времени ряда в его спектре сдвигаются все частоты и соответствующие амплитуды. Чтобы при этом спектр совпал сам с собой, он должен соответствовать степенной функции.
Далее, возьмем ряд Я-состояний, длительность которых отвечает степенному ранговому распределению с показателем β1 и проведем нелинейную трансформацию времени, так что длительность каждого Я-состояния оказывается равной некоторой степени k от исходной:
В этом случае новый ряд будет отвечать степенному ранговому распределению с показателем β2 = β1*k. Легко догадаться, что эта трансформация также вызовет соответствующее изменение показателя степени спектра α2 = α1*k. Исходя из этой логики, мы приходим к выводу, что между показателем степени рангового распределения длительностей Я-состояний ряда β и показателем степени соответствующего спектра α имеются пропорциональные отношения:
И остается последний шаг: нужно показать, что коэффициент пропорциональности равен 1:
Тут ещё нужно немного подумать (хотя числовые опыты не оставляют сомнений), но когда мы сделаем этот последний шаг, мы докажем, что α = β, а значит, α = φ (поскольку β = φ).
В случае, если исходная персистивность τ0 велика, спектр шумов характерно искажается в области высоких частот:
Вообще, между видом спектра и видом рангового распределения имеется очевидная связь: когда ранговое распределение хорошо укладывается на степенную функцию, то есть, оно выглядит линейно в двойных логарифмических координатах, также линейно выглядит и спектр (это следует из изложенной выше идеи доказательства). Если ранговое распределение отклоняется от степенной функции, например, из-за высокой исходной персистивности, закономерным образом искажается и спектр:
Эти наблюдения позволяют нам, встретив не-идеальный, искаженный спектр цветного шума, попытаться установить параметры порождающей его тау-модели. Если высокочастотный хвост спектра тяготеет к показателю 2 (коричневому шуму), а низкочастотная часть спектра укладывается на какой-то иной показатель степени α, у нас есть основания предполагать, что этот шум порождает тау-модель с пассионарностью φ = α и с исходной персистивностью τ0>1.
Этим мы завершаем качественное и количественное исследование тау-модели при различных значениях её параметров – исходной персистивности и пассионарности. Автор вероятно утомил читателя многочисленными формулами и графиками, однако роль тау-модели для нас настолько важна, что нам было необходимо тщательно и по возможности строго исследовать её поведение.
Куда мы двинемся далее? Намёк уже был сделан: мы теперь ещё раз внимательно приглядимся к одному из наших любимых рабочих примеров, к степенным распределениям городов по населению, где царствует закон Зипфа. И узнаем заодно, что такое параллельные тироны в отличие от последовательных.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER