КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 46. Параллельный тирон
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 46. Параллельный тирон
 
Роман Уфимцев
7 июня 2012 года, Калининград
Мы продолжаем внимательно и по возможности аналитически строго исследовать основополагающую для наших исследований тау-модель. В своём исходном варианте она описывает происхождение статистически значимых свойств Я-состояний, конкретно их длительности и вероятности, управляющие этими длительностями. Мы полагаем, что особая статистика Я-состояний указывает на действие когнитивного порядка, или, говоря проще, Я-состояния - это элементарные проявления сознания в феноменах различной природы.
Последние два Пролога мы посвятили описанию свойств тау-модели в зависимости от двух параметров - исходной персистивности Я-состояний τ0 и их пассионарности φ. Мы получили уравнения, описывающие статистику Я-состояний при различных значениях параметров, и теперь у нас есть основной инструмент для численного анализа Я-состояний, проявляющихся в различных натуральных явлениях. Однако, тау-модель, а точнее, построенная на её основе модель тирона, как мы их рассматривали до сих пор, ограничены Я-состояниями, последовательно разворачивающимися во времени. Между тем, кроме Я-состояний, персистивность которых (то есть, их "воля к жизни") направлена на протяжённость во времени, существуют Я-состояния, персистивность которых направлена на иные виды протяжённости. Важный рабочий пример для нас - отдельные города как отдельные Я-состояния крупных социально-географических организмов, какими являются различные страны и провинции. Для городов как Я-состояний персистивность определяется не длительностью истории населённого пункта, а количеством его населения. В совокупности же социально-географический организм представляет собой особый тип тирона - параллельный тирон.
Параллельный тирон образован Я-состояниями, которые разворачиваются не во времени, а в других континуумах. И, в отличие от уже знакомых нам последовательных тиронов, представляющих собой хронологически линейную последовательность Я-состояний, параллельные тироны разворачиваются в осваиваемом континууме одновременно всеми своими Я-состояниями.
Параллельные тироны и Я-состояния, которыми они образованы, обладают своей интересной спецификой. В этом Прологе мы, прежде всего, раскроем глубокую связь между последовательными и параллельными тиронами, познакомимся с отличительными качествами параллельных Я-состояний. И это поможет нам лучше, глубже понять и уже исследованные последовательные тироны. Образно говоря, мы получим "вторую ногу", с которой нам будет существенно легче двигаться вперёд.
Однако, прежде мы посвятим ещё немного времени старым знакомым последовательным Я-состояниям. Мы должны обсудить вроде бы простое, но очень важное свойство тау-модели, без которой она бы осталась лишь забавной алгоритмической игрушкой: её соответствие принципам масштабируемости, непрерывности и равномерности времени.
Непрерывность, равномерность и масштабируемость времени
Базовое уравнение терминальной вероятности, которое мы до сих пор рассматривали, описывает вероятность окончания Я-состояния за следующий единичный шаг времени:
Тут τ - текущая персистивность Я-состояния, которая в базовом случае (когда φ=1) равна длительности его существования. Однако, это уравнение привязывает нас к каким-то дискретным единичным шагам времени, что приемлемо для численного моделирования, но в целом ограничивает возможности его применения. Пусть, например, дискретными единичными шагами времени у нас являются календарные сутки. Это уравнение позволяет рассчитать вероятность окончания текущего Я-состояния через сутки, но оно неудобно для расчета судьбы Я-состояния, скажем, через один час или через одну неделю. В таких случаях следует пользоваться непрерывной формой уравнения терминальной вероятности, она выглядит так:
Тут T - период времени, по прошествии которого с вероятностью Pt(T) Я-состояние прекратит своё существование. При T=1, то есть, когда мы рассматриваем следующий единичный шаг времени, мы получаем обычную дискретную форму уравнения.
Обобщённая непрерывная форма уравнения терминальной вероятности (при φ≠1):
Пусть, например, мы измеряем время в сутках, и имеем Я-состояние, которое уже продолжается 10 суток. Тогда его текущая персистивность τ=10. С какой вероятностью это Я-состояние прекратится, скажем, через следующие сутки? Подставляем данные в уравнение: τ=10, T=1, получаем:
А с какой вероятностью Я-состояние прекратится через следующие 10 суток? Подставляем данные: τ=10, T=10, получим:
Заметим, что если бы мы измеряли время не сутками, а десятками суток, мы получили бы тот же результат: в этом случае накопленная персистивность равнялась бы 1 (один десяток суток), и наступающий промежуток времени T также бы равнялся 1 (тоже один десяток суток), и мы бы получили:
Это означает, что уравнение терминальной вероятности устойчиво к изменению масштаба, шкалы исчисления времени - это очень важно, поскольку если бы результат расчета терминальной вероятности зависел бы от того, какими единицами мы исчисляем время, универсальная применимость тау-модели оказалась бы под большим сомнением.
Кроме устойчивости к изменению масштаба времени, уравнение терминальной вероятности обладает ещё одним необходимым свойством. Пусть в нулевой момент времени t0=0 мы имеем Я-состояние, имеющее накопленную персистивность τ0. Рассмотрим два момента в будущем t1 и t2. Для каждого из них мы можем рассчитать вероятность, что Я-состояние доживёт до этих моментов:
Заметим, однако, что достижение момента времени t2 можно рассматривать как состоящее из двух шагов: сначала Я-состояние с вероятностью P(t1) достигает момента времени t1, а затем, с вероятностью P(t1-2) момента времени t2:
Естественно, что мы должны получать одну и ту же вероятность достижения Я-состоянием момента времени t2 вне зависимости от того, считаем ли, что момент t2 достигается одним шагом - от t0 до t2 - или двумя шагами - t0-t1, t1-t2. Это требование выражает принцип равномерности и непрерывности хода времени. Запишем его в виде соотношения вероятностей:
Чтобы проверить его, нам нужно только посчитать вероятность P(t1-2), с которой Я-состояние, дожившее до момента t1 доживет и до момента t2. И тут нам нужно учесть, что если в момент времени t0 Я-состояние имело персистивность τ0, то к моменту времени t1 персистивность увеличится и составит τ=τ0+t1. Имея такую повышенную персистивность, Я-состоянию нужно ещё продлиться период времени T=t2-t1 - и тогда оно достигнет момента времени t2. Теперь мы готовы рассчитать P(t1-2):
Тогда получаем, как и ожидали:
То есть, уравнение терминальной вероятности действительно поддерживает принцип непрерывности и равномерности хода времени.
Отметим важный момент: если пассионарность φ≠1, то есть, персистивность Я-состояния накапливается быстрее или медленнее хода времени, то, если мы будем исчислять терминальную вероятность с помощью базового, а не обобщенного уравнения, в общем случае требования принципа равномерности и непрерывности хода времени выполняться не будут:
Это означает, что базовое уравнение расчета терминальной вероятности:
не годится для ситуаций, когда φ≠1. В этих случаях необходимо использовать обобщенную форму:
Она обеспечивает выполнения требования:
Более того, эта обобщенная форма собственно и выводится из базовой исходя из данного требования - см. Математическое приложение 2, параграф "1. Обобщенное уравнение терминальной вероятности".
Масштабно-инвариантные сети и прожорливые массы
Мы начнём разговор о параллельных тиронах с возвращения к теме масштабно-инвариантных сетей - мы обсуждали их в связи с поисками причин закона Зипфа в популяционных распределениях. Напомню, что масштабно-инвариантная сеть - это система узлов и связей между ними, характеризующаяся степенным распределением узлов по числу связей. Ключевую роль в создании такой сети играет принцип "богатый становится богаче" - он прямо заложен в генеративный механизм масштабно-инвариантной сети. Сеть начинает строиться с двух узлов, между которыми проведена связь. Далее к сети добавляются новые узлы, при этом в простейшем случае каждый новый узел присоединяется одной связью к одному из уже существующих узлов сети. При этом узел тем вероятнее присоединит к себе новый узел, чем больше связей он уже имеет - это и есть алгоритм "богатый становится богаче".
В результате развивается сеть характерного вида:
В ней очень мало узлов, имеющих большое количество связей и много узлов, имеющих малое количество связей. Мы выяснили, однако, что в таком виде модель масштабно-инвариантной сети не может объяснить происхождение закона Зипфа в популяционных распределениях, поскольку для них характерны ранговые степенные распределения с показателем β≈1 (это и есть закон Зипфа), а ранговые распределения узлов масштабно-инвариантной сети по числу связей имеют β в районе 0,5-0,6.
Теперь мы особым образом изменим модель масштабно-инвариантной сети. Фактически мы вообще откажемся от сетевой организации, хотя и оставим принцип "богатый становится богаче".
Пусть у нас имеется n объектов, каждый из которых характеризуется своей массой m. Пусть на это множество объектов из внешней среды налетают маленькие частицы единичной массы и прилепляются к тому или иному из них, поглощаются ими:
При этом пусть действует правило: вероятность того, что налетающая частица присоединится к данному объекту равна отношению его массы к суммарной массе всех объектов во множестве:
Налетающие частицы добавляют массу к тем объектам, к которым они присоединяются, и мы получим действие алгоритма "богатый становится богаче" - более массивные объекты будут притягивать к себе больше налетающих частиц и, соответственно, будут быстрее наращивать свою массу.
С первого взгляда эта картина очень похожа на масштабно-инвариантную сеть. Однако, есть одна проблема - масштабно-инвариантная сеть растёт, на каждом цикле число узлов сети становится больше на единицу, а наше множество объектов наращивает лишь свою общую массу, но не растёт числом. Если мы хотим исследовать, как такое множество объектов развивается с течением времени, растёт, нам нужен механизм, который бы позволял увеличиваться числу объектов со временем.
Не трудно догадаться, как устроить такой механизм. Для этого положим, что некоторая доля налетающих частиц не прилепляется к уже существующим объектам, а становится самостоятельными объектами в этом множестве, и далее они могут, как и прочие, поглощать налетающие частицы. Тогда с течением времени множество объектов будет расти - точно также, как в модели масштабно-инвариантной сети.
Пусть, например, ровно половина из налетающих частиц поглощается уже существующими объектами, а вторая половина становится молодыми самостоятельными объектами. Можно догадаться, что в этом случае мы получим динамику, совершенно аналогичную динамике развития масштабно-инвариантной сети. Действительно, задумаемся: каждый новый узел масштабно-инвариантной сети присоединяется к одному из существующих узлов. При этом один из узлов сети увеличивает число своих связей на единицу, но и второй, собственно новый узел, получает одну связь. То есть, фактически, каждый новый узел привносит в сеть две связи - если считать связью не то, что связывает два узла, а то, что принадлежит конкретному узлу. Одна из них добавляется ("поглощается") каким-то старым узлом, а вторая остается во владении нового узла. Образно говоря, масштабно-инвариантная сеть - это такое же множество объектов, на которое налетают не частицы, а связи, по две за раз. Половина поглощается старыми узлами, половина становится новыми. При этом нашей массе объектов соответствует число связей, которыми обладают узлы.
И всё же, наша картина множества объектов-масс и налетающих на них частиц (для краткости будем именовать её моделью прожорливых масс) гораздо гибче модели масштабно-инвариантной сети. В частности, она способна порождать распределения масс, отвечающие закону Зипфа - а это невозможно в масштабно-инвариантной сети, и мы далее поймём, почему.
Знакомимся с повадками прожорливых масс
Прежде всего, убедимся на числовом опыте, что модель прожорливых масс, в которой каждая вторая налетающая частица становится самостоятельным объектом, также как и масштабно-инвариантная сеть, порождает степенные распределения масс с β ≈ 0,5-0,6. Для этого пусть вначале у нас есть только один объект, одна "прожорливая масса" с массой 1. Что будет после достаточно долгого периода эволюции модели, скажем, после налёта 20000 частиц?
Результат вполне удовлетворительный: как и в масштабно-инвариантной сети объекты "прожорливого множества" имеют распределение с β ≈ 0,5-0,6.
Увеличивая долю налетающих частиц, которые становятся самостоятельными объектами мы можем уменьшить получающийся показатель β (если будем рассматривать эволюцию той же длины в 20000 циклов - это важный момент, как мы далее увидим). Например, увеличив их долю до 2/3, получим:
Напротив, увеличивая долю поглощаемых частиц, мы можем повышать значение β. При этом числовые опыты позволяют быстро выяснить, что значение β=1 достигается, когда доля частиц, становящихся самостоятельными объектами низка, то есть, когда почти все налетающие частицы поглощаются уже существующими объектами. Например, вот что получается после 20000 циклов, когда лишь 10% всех частиц становятся самостоятельными объектами:
Казалось бы, мы нашли ещё один способ получать закон Зипфа - для этого нужно взять модель прожорливых масс, в которой налетающие частицы с достаточно высокой вероятностью поглощаются, и лишь небольшое их число становится самостоятельными объектами. Кажется, мы нашли нечто подходящее для того, чтобы понять устройство параллельных тиронов - ведь тирон в базовом случае должен порождать распределения, отвечающие закону Зипфа.
Увы, всё не так просто. Дело в том, что и масштабно-инвариантная сеть и сходная с ней модель прожорливых масс, в которой самостоятельными объектами становится какая-то фиксированная доля налетающих частиц, в действительности порождают распределения, показатель β которых зависит от числа объектов в сети или прожорливом множестве: с ростом числа объектов он постепенно снижается. К примеру, если у нас по-прежнему лишь 10% всех частиц становится самостоятельными объектами, но число циклов работы модели (которое прямо влияет на число объектов, которые мы получим в результате) меньше 20000, скажем, всего 1000, мы получим следующее распределение:
Показатель β стал заметно выше 1. Тот же самый результат мы получаем и в обычной масштабно-инвариантной сети: если число узлов не велико, показатель распределения может быть выше 0,6, с ростом сети он снижается, лишь в пределе достигая теоретического значения 0,5.
Это, пожалуй, существенный недостаток прожорливых масс: порождаемые ими фрактальные структуры изменяют свои статистические свойства в зависимости от величины - то есть, ведут себя совсем не так, как нормальные и честные последовательные тироны.
Нам придётся разобраться в повадках прожорливых масс внимательнее, чтобы отыскать способ исправить их "врожденные недостатки".
Как богатые становятся богаче
Важный компонент модели прожорливых масс - правило "богатый становится богаче", в соответствии с которым обреченные на поглощение частицы выбирают объект, к которому будут присоединены. Как мы говорили выше, вероятность того, что объект поглотит частицу равна отношению текущей массы этого объекта к общей массе всех объектов множества:
Например, если особо крупный объект имеет массу, составляющую 1/2 от общей массы множества, то он будет поглощать половину всех присоединяемых частиц. От этого, естественно, он будет тучнеть быстрее остальных - воистину, богатый становится богаче.
Может быть, это правило и виновато в том, что показатель β растущего множества постепенно меняется? Может быть, само это правило подталкивает к какому-то определенному показателю β - вне зависимости от того, какая доля налетающих частиц становится самостоятельными объектами?
Чтобы выяснить это, поступим так: искусственно создадим множество из 100 объектов, которые строго соответствуют степенному ранговому распределению с β=1. А затем пустим на него налетающие частицы, но так, что все они будут поглощаться имеющейся сотней объектов. Напустив достаточно много налетающих частиц, мы сможем заметить, начал ли меняться исходный показатель распределения β, и если да - то как именно. Так мы узнаем, какое влияние оказывает само правило "богатый становится богаче". И вот что получается после 10000 циклов:
Результат весьма любопытный: хотя в хвосте распределения появилось отклонение, его начало с хорошей для случайного алгоритма точностью по-прежнему имеет β=1. Иными словами, правило "богатый становится богаче", вроде бы, само по себе не влияет на показатель β. Чтобы в этом убедиться, повторим опыт, но на этот раз с набором объектов, которые в исходном состоянии идеально соответствуют распределению с β=1/2. Мы получим:
Или, аналогичный опыт для исходного множества с β=2:
У нас не остаётся сомнений: если у нас имеется множество объектов, которые имеют степенное распределение с каким-то показателем β, то действие правила "богатый становится богаче" на этом множестве не изменяет показатель β, хотя объекты могут при этом изменять свой масштаб многократно. (Отклонения в хвостах, которые мы видим на результатах, связаны просто с тем, что при росте исходных объектов в их множестве должны появляться новые маленькие - а у нас они не появляются.)
Этот факт легко доказывается аналитически - см. Математическое приложение 2, параграф "2. Действие правила "богатый становится богаче".
Ещё раз обозначим этот важный факт: действие правила "богатый становится богаче" поддерживает любые растущие множества, отвечающие степенным распределениям, и само по себе оно никак не влияет на показатель β. Его натуральное действие заключается в простом увеличении масштаба объектов, но при этом статистические и фрактальные свойства множества остаются неизменными.
Значит, на показатель β множества прожорливых масс влияет только доля налетающих частиц, образующих новые объекты. И при этом, судя по всему, для того чтобы показатель β растущего множества не менялся, с ростом множества должна как-то меняться доля этих частиц. Далее мы попробуем разобраться, как именно.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER