КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 46. Параллельный тирон
Математическое приложение 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
Математическое приложение 2
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Математическое приложение 2
 
Роман Уфимцев
13 июня 2012 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 46 и Прологу 47 приводятся доказательства некоторых утверждений, относящихся к аналитическим свойствам тау-модели и смежных моделей.
1. Обобщенное уравнение терминальной вероятности
В случаях, когда φ≠1 уравнение терминальной вероятности в непрерывной форме выглядит так:
Оно выводится из базового:
исходя из требований принципа непрерывности и равномерности хода времени. Докажем это.
Пусть в момент времени t0 мы имеем Я-состояние с исходной персистивностью τ0. Рассчитаем вероятности того, что Я-состояние продлится до моментов времени t1, t2, ... tn. Для простоты будем считать, что n велико, а промежутки времени между моментами t0 и t1, t1 и t2, и т.д. очень малы и равны t.
Пусть вероятность того, что Я-состояние продлится до момента времени t1 равна P(t1). Далее, если Я-состояние продлилось до момента времени t1, то до момента времени t2 пусть оно продлится с вероятностью P(t2) - и т.д.:
Тогда вероятность того, что Я-состояние продлится до момента n равно:
Предположим, что при небольших промежутках времени t искомое уравнение терминальной вероятность для случаев, когда φ≠1 приближается к базовому уравнению:
Тогда вероятность того, что Я-состояние продлится до момента времени t1 равна:
Вероятность, что достигнув момента времени t1, Я-состояние достигнет и момента времени t2 (с учетом возросшей персистивности):
Так же мы можем рассчитать все вероятности, вплоть до P(tn):
Получаем, что:
Представим это выражение как дробь, состоящую из двух произведений П1 и П2:
Займемся для начала произведением П1. Преобразуем его следующим образом:
Если бы частное τ0t было целым числом, то мы могли бы записать:
Однако, в общем случае частное τ0t не является целым числом, поэтому мы должны перейти от факториалов в гамма-функциям (гамма-функция это обобщение факториала для не-целых чисел, так что для целых k выполняется Г(k) = (k-1)!). В результате получим:
Двигаясь точно также, для произведения П2 получим:
В итоге получаем:
Обратим сначала внимание на первый множитель:
Он имеет вид:
А очень велико по сравнению с B, поскольку А=τ0t при очень малом t. Это позволяет воспользоваться свойством гамма-функций:
Используя это свойство, преобразуем первый множитель:
Опираясь на то же свойство гамма-функций преобразуем и второй множитель, и получаем в итоге:
Если обозначить весь промежуток времени между моментами t0 и tn как T, то T=t*n:
P(n) - это вероятность того, что Я-состояние, существующее в момент времени t0 достигнет момента времени tn. Значит вероятность того, что оно не достигнет момента времени tn, то есть, терминальная вероятность:
Или, вообще:
Нам лишь осталось проверить предположение, на основе которого мы строили вывод - что при очень малых периодах T это обобщенное уравнение приближается к базовому:
Для этого достаточно убедиться, что, во-первых, при T=0 они дают одинаковое значение терминальной вероятности - а это действительно так, они оба дают вероятность 0. Во-вторых, что производные от вероятностей в точке T=0 также равны - и это тоже так, производные обоих уравнений в точке T=0 равны 1/τ.
В заключение проверим обобщенное уравнение терминальной вероятности на ситуации, в которой мы можем считать вероятность достижения Я-состоянием момента времени t2 одним шагом или двумя:
Должно выполняться равенство:
Вероятность, что Я-состояние продлится до момента времени t1:
Вероятность, что если Я-состояние достигло момента t1, то оно достигнет и момента t2 с учётом возросшей персистивности:
Наконец, вероятность, что пребывая в моменте времени t0, Я-состояние продлится до момента t2:
Легко убедится, что при таких значениях вероятностей действительно выполняется равенство:
Таким образом, обобщенное уравнение терминальной вероятности вполне удовлетворяет принципу равномерности и непрерывности хода времени.
2. Действие правила "богатый становится богаче"
Действие правила "богатый становится богаче" на объектах множества, массы которых соответствуют степенному распределению, не изменяет показатель этого распределения. Докажем это.
Пусть у нас имеется множество из n объектов, массы которых отвечают степенному ранговому распределению с показателем β, так что масса некоторого объекта k:
Пусть на это множество налетает частица единичной массы, при этом вероятность её поглощения тем или иным объектом определяется правилом "богатый становится богаче", то есть, вероятность поглощения частицы объектом k равна отношению массы этого объекта к общей массе множества:
Или, зная о том, что массы объектов имеют степенное распределение:
Пусть всего на множество налетело и было поглощено N частиц. Тогда, если N значительно меньше общей массы множества объектов, прибавка в массе объекта k составит:
Это значит, что после "налёта" его масса составит:
Как видим, что объекты по-прежнему отвечают степенному распределению с показателем β, хотя каждый из них увеличился в массе.
Справедливо и более сильное утверждение: действие правила "богатый становится богаче" вообще не изменяет форму распределений, а лишь пропорционально увеличивает массы объектов множества. Доказать это для произвольного распределения можно точно также, как мы доказали это для степенного.
3. Масштабная инвариантность роста при β≠1
Для того, чтобы множество, имеющее степенное распределение масс объектов с показателем β при своем росте не изменяло этот показатель, норма появления новых объектов множества должна изменяться с течением времени и с ростом множества. Выясним, как именно.
Случай β=1 подробно разобран в Прологе 47. Двигаясь по той же тропе в случае β≠1 мы установим, что для сохранения показателя β необходимо, чтобы при приросте множества на небольшое число объектов d его общая масса изменилась бы на:
Тут Hn,β - обобщенное гармоническое число, которое определяется так:
Вспомним, что производная некоторой функции y(x) может быть написана с использованием разности значения функции в двух близких точках x и x+dx:
Легко заметить, что мы можем воспользоваться этим, положив:
Получим:
Нам нужно вычислить производную от функции, которая представляет собой произведение двух других функций, поэтому мы можем воспользоваться формулой для производной произведения двух функций. В результате получим:
Чтобы двигаться далее, нам необходимо найти приближение для обобщенного гармонического числа Hn,β, которое бы выполнялось для значений β≈1 (именно такие нас интересуют более всего). Такое приближение можно получить, заменив обобщенное гармоническое число определенным интегралом степенной функции:
Буквой γ обозначена постоянная Эйлера-Машерони. Вычисляя интеграл, получим:
Теперь мы можем вычислить и приближенную производную от обобщенного гармонического числа:
Подставляя все промежуточные результаты в исходное уравнение, получаем:
Заметим, что изменение массы ΔM равно общему числу частиц, налетевших на множество за рассматриваемый период, а dx - числу частиц, ставших самостоятельными объектами. Значит, вероятность для частицы стать самостоятельным объектом приближенно равна:
При β, стремящемся к 1 эту уравнение превращается в уже знакомое:
Выведенное нами уравнение позволяет рассчитать предельные значения β, к которым стремятся распределения прожорливых масс в случае, если доля частиц, становящихся самостоятельными объектами, представляет собой какое-то фиксированное число и не изменяется со временем. Для этого предположим, что значения β, которые мы получаем в этом случае всегда меньше 1, и устремим n к бесконечности. Тогда получим простое:
Например, в стандартной модели масштабно-инвариантной сети Барабаси-Альберта вероятность для налетающей частицы стать самостоятельной (то есть, для "налетающей" на сеть новой связи) равна 1/2. Это значит, что в пределе такие сети имеют степенные ранговые распределения узлов по числу связей с показателем β=1/2 (а соответствующий показатель частотного распределения равен 3).
Интересный особый случай - β=2 (и другие целочисленные значения). Хотя удовлетворительное приближение даёт и выведенная нами приближенная формула вероятности, можно этот случай рассмотреть иначе. Начнём с исходного выражения:
При n, стремящемся к бесконечности, обобщенное гармоническое число Hn,β стремится к так называемой дзета-функции Римана, которая, по сути, и представляет собой бесконечной гармоническое число:
Дзета-функция имеет определенные ограниченные значения только при β<1, в ином случае гармонические числа с ростом n стремятся к бесконечности, а значит и равна бесконечности дзета-функция. Для некоторых β известны точные значения дзета-функции, например, для β=2:
Воспользовавшись этим фактом, мы можем упростить уравнение вероятности, предполагая, что n велико:
И отсюда не трудно вывести приближенное уравнение вероятности для случая β=2:
Подобным же образом можно получить результаты для β=3:
(Значение дзета-функции от 3 точным образом не выражается.)
Для β=4:
То есть, в целом выполняется (что мы могли бы выяснить и из нашего основного приближённого уравнения вероятности):
Заметим, что соответствующим образом изменяя закон вероятности того, что налетающая частица становится самостоятельным объектом, мы теоретически можем получить множества, имеющие любые положительные показатели β: от 0 до бесконечности.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER