КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
 
Роман Уфимцев
13 июня 2012 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы начали поиски модели параллельного тирона, которая должна продемонстрировать нам особенности Я-состояний, которые разворачиваются не последовательно во времени, а параллельно в пространстве или другом не-временном континууме. Это позволит нам значительно расширить возможности тау-модели и применить её для описания огромного числа натуральных феноменов, в которых наблюдается действие когнитивного порядка. В частности, к ним относится и наш главный рабочий пример - популяционные распределения городов, которые, как мы полагаем, отражают жизнь и развитие неких социально-географических организмов, какими являются различные страны и провинции.
В поисках параллельного тирона, мы начали исследовать "модель прожорливых масс" (родственную известной модели масштабно-инвариантной сети), которая описывает развитие множества объектов в соответствии с правилом "богатый становится богаче". Вкратце припомним суть этой модели. Исходно у нас имеется множество, состоящее только из одного объекта единичной массы (далее оно расширяется). На множество налетают частицы по одной в один шаг времени. При этом с некоторой постоянной долей вероятности они либо становятся новыми объектами множества, либо поглощаются уже имеющимися. Если частица поглощается, то действует правило "богатый становится богаче", то есть, некоторый объект множества тем вероятнее поглотит частицу, чем выше отношение его массы к общей массе всех объектов множества:
Эта модель проста и способна порождать множества, статистика которых отвечает степенным распределениям со значениями β от 0 до 1 (в принципе). В случае, когда доля частиц, образующих новые объекты множества очень мала, мы получаем распределения с β≈1. Это значит, что "модель прожорливых масс", вроде бы, может служить для объяснения происхождения закона Зипфа, одной из важных сигнатур когнитивного порядка. Однако, оказывается, что в исходном виде она обладает существенным недостатком: показатель β порождаемых ею распределений зависит от размеров множества - с его ростом он постепенно снижается, стабилизируясь только при числе объектов, стремящемся к бесконечности.
Этот факт не позволяет нам принять эту модель в исходном виде в качестве описания параллельного тирона, поскольку родственный ему последовательный тирон порождает множества Я-состояний, строго отвечающих закону Зипфа вне зависимости от размеров этих множеств. Мы ожидаем такой же устойчивости к изменению размера, то есть, по сути, масштабной инвариантности роста, и от модели параллельного тирона.
Мы выяснили, что само по себе правило "богатый становится богаче" не влияет на показатели β, следовательно, дело в доле частиц, становящихся самостоятельными новыми объектами множества. И для того, чтобы с ростом множества его показатель β не изменялся, очевидно, с ростом множества каким-то образом должна меняться эта доля. И теперь мы выясним, как именно.
Масштабная инвариантность роста
Итак, как должна изменяться со временем доля налетающих частиц, становящихся самостоятельными объектами, чтобы с ростом множества объектов его показатель β не изменялся?
Для начала разберёмся в самом простом и при том важном для нас случае, когда β=1.
Пусть у нас имеется множество n объектов различной массы, ранговое распределение которых соответствует степенной функции с показателем β=1. Тогда уравнение этого рангового распределения соответствует виду:
Тут C0 - некоторая постоянная, так что крупнейший объект первого ранга имеет массу m1 = C0.
Пусть всего у нас имеется n объектов, и n-ый объект, последний в ранговом распределении, то есть, самый маленький, имеет массу mn = 1. Исходя из этого мы установим значение постоянной C0 и новый вид уравнения рангового распределения:
Теперь рассмотрим подросшее множество, в котором прибавилось некоторое небольшое количество объектов d (небольшое по сравнению с числом уже имеющихся объектов), так что их теперь всего n+d, при этом оно по-прежнему соответствует степенному ранговому распределению с показателем β=1 (красная линия):
Мы легко установим, что ранговое распределение подросшего множества теперь соответствует уравнению:
Итак, мы имеем ситуацию, в которой из всех налетевших частиц только небольшое число d стали новыми объектами - поэтому в новом множестве стало n+d объектов. Но насколько при этом увеличилась общая масса множества? Если мы это узнаем, мы поймем, сколько частиц было поглощено старыми объектами, а значит, сможем посчитать вероятность поглощения частицы и вероятность того, что она становится новым объектом.
Считаем массу всего множества до прироста. Она равна сумме масс всех n объектов множества:
тут Нn - это так называемое гармоническое число, которое определяется как
Теперь считаем всю массу множества после прироста:
Таким образом, прирост общей массы множества составил:
Далее, пусть для простоты d=1. Тогда равенство можно переписать так:
Подведём итог. При увеличении общей массы объектов множества на Hn+1 появляется d=1 новый объект единичной массы. Это значит, что вероятность того, что налетающая частица станет самостоятельным объектом равна (будем обозначать эту вероятность буквой P с точкой):
Можно упростить этот красивый, но не всегда удобный для практики результат. Для этого воспользуемся приближением гармонического числа при больших значениях n:
Тут буквой γ обозначена так называемая постоянная Эйлера-Машерони. Получим:
Примерно подобным образом выводится и приближенное уравнение для случая, когда β≠1:
Подробный его вывод - в Математическом приложении 2, параграф "3. Масштабная инвариантность роста при β≠1".
Построив график этой зависимости, мы увидим, что вероятность снижается с ростом числа объектов множества, в далёком пределе достигая нуля (синяя линия - точная вероятность, розовая - на основе приближения гармонического числа):
Проделаем теперь несколько числовых опытов, чтобы убедиться, что модель прожорливых масс, в которой частицы становятся самостоятельными объектами с уменьшающейся таким образом вероятностью, порождает распределения с β≈1 при любом размере множества. Вот результаты при разных порядках длительности работы модели (то есть, времени роста):
Как видим, множество прожорливых масс теперь действительно растет масштабно-инвариантно, то есть, не изменяя показателя β, и при этом β=1.
Это очень важное свойство, которое позволяет считать порождаемые этой моделью множества масштабно-инвариантными не только в каждый конкретный момент времени, но и масштабно-инвариантными относительно своего роста, то есть, относительно хода времени. Интересно в этой связи, что знаменитая модель масштабно-инвариантной сети является в действительности масштабно-инвариантной только в ограниченном смысле: масштабно-инварианты результаты развития сети, но не процесс роста, потому что при росте сети её степенная статистка и фрактальная размерность изменяется. То есть, растущая сеть не подобна самой себе в разные моменты времени, когда сеть имеет разные размеры.
Кажется, мы получили модель, которая достойна звания модели параллельного тирона. Смущает лишь одно: странное уравнение вероятности, с которой налетающая частица становится самостоятельным объектом:
Нам необходим какой-то интуитивно ясный его смысл – сравним с вполне ясным смыслом уравнения терминальной вероятности в модели последовательного тирона.
Заметим, например, чему равна общая масса множества объектов:
значит,
и при этом M/n - это общая масса множества объектов, делённая на их число, то есть, гармоническое число равно средней массе объектов во множестве. Но какое же значение имеет средняя масса объектов и почему она влияет на вероятность?
Попробуем зайти совсем с другой стороны. Может быть, дело нам прояснит прямое сопоставление получающейся модели параллельного тирона с последовательным тироном и нашей классической тау-моделью.
Последовательный + параллельный = тирон
Тау-модель порождает последовательность Я-состояний, в совокупности образующих развёрнутый во времени тирон, то есть, последовательный тирон. Проследим, как это происходит:
1) Тирон начинает разворачиваться с первого Я-состояния S1, длительность которого управляется уравнением терминальной вероятности. В каждый шаг времени "решается судьба" этого Я-состояния, и однажды оно прекращается, и начинается второе Я-состояние S2 (2). Затем, третье (3) и т.д. Пусть в конце концов тирон таким образом разворачивается до n Я-состояний.
Представим теперь, что мы снимали на кинопленку процесс развёртывания тирона. Тогда содержание первых 5 кадров фильма, например, может выглядеть так:
  1. Возникает первое Я-состояние S1, оно имеет длительность 1
  2. S1 приобретает длительность 2
  3. S1 приобретает длительность 3
  4. S1 прекращается, начинается Я-состояние S2, оно имеет длительность 1
  5. S2 приобретает длительность 2
Представим теперь, что мы перемонтировали эти кадры фильма так:
  1. Возникает первое Я-состояние S1, оно имеет длительность 1
  2. S1 приобретает длительность 2
  3. Возникает второе Я-состояние S2, оно имеет длительность 1
  4. S1 приобретает длительность 3
  5. S2 приобретает длительность 2
Ясно, что перемонтированный подобным образом фильм не изменит результата - в конце мы получим тирон, имеющий точно такие же статистические признаки. Но в перемонтированном фильме Я-состояния не возникают одно за другим, а скорее все Я-состояния, которые образуют окончательный тирон, растут и возникают из других Я-состояний параллельно. Разница в том, что когда первое Я-состояние S1, с которого начинается рост тирона, прекращается, в первом случае оно больше не увеличивает свою длительность, и развертывание тирона продолжается за счет других Я-состояний (S2 и т.д., вариант А). Но в модифицированной картине Я-состояние S1 может породить Я-состояние S2, и при этом продолжать расти уже вместе с состоянием S2, параллельно (вариант B):
В результате мы получаем не строго последовательную, а параллельную картину развёртывания тирона:
Подчеркнём: такой параллельный процесс развёртывания не приводит ни к каким изменениям тирона в его окончательном состоянии (а статистически не приводит ни к каким изменениям и во всех промежуточных состояниях).
Процесс параллельного развёртывания тирона прекращается, когда число Я-состояний достигает значения n и при этом каждое из параллельно разворачивающихся Я-состояний достигает своей финальной длительности, что сопровождается возникновением "чужих" Я-состояний, которые уже не относятся к тирону (отмечены красным):
Рассмотрим некоторое Я-состояние тирона, имеющего ранг k в последнем кадре, в котором оно достигает своей финальной длительности и порождает новое, "чужое" Я-состояние. В соответствии с уравнением терминальной вероятности, возникновение "чужого" Я-состояния единичной длительности происходит в этом кадре с вероятностью:
Тут τk - финальная персистивность Я-состояния, имеющего ранг k, в базовом случае она совпадает с его общей длительностью. Как мы знаем, в целом распределения длительностей Я-состояний тирона в базовом случае соответствуют уравнению:
Полагая, что самое короткое Я-состояние имеет длительность 1 (это состояние имеет ранг k равный общему числу Я-состояний, то есть, n), мы можем уточнить значение константы С - оно оказывается равным n, так что мы получаем:
С такой вероятностью в финальном кадре роста Я-состояния оно завершит свой рост и сменится "чужим" Я-состоянием. Поскольку эта вероятность ниже 1, а нам нужно, чтобы чужое единичное Я-состояние появилось наверняка, посчитаем, сколько требуется "околофинальных" кадров ("околофинальность" мы можем определять некоторой планкой времени перед моментом, когда тирон достигает своего финального вида), чтобы мы среди них нашли кадр, где Я-состояние действительно завершается. Для этого посчитаем, среди скольких испытаний Nk мы в среднем встретим один действительно финальный кадр:
Отсюда:
Именно столько "околофинальных" кадров нам нужно в среднем взять, чтобы среди них на одном мы увидели, что Я-состояние k достигает своей финальной длительности и возникает новое единичное "чужое" Я-состояние.
Теперь посчитаем суммарное число таких "околофинальных" кадров для всех Я-состояний тирона:
Взяв столько "околофинальных" кадров, мы увидим среди них рождение n новых "чужих" Я-состояний, значит, вероятность увидеть в "околофинальном" кадре новое "чужое" Я-состояние единичной длительности равна:
Мы получили результат, в точности соответствующий вероятности, с которой налетающая на множество прожорливых масс частица должна становиться самостоятельным объектом единичной массы, чтобы это множество сохраняло соответствие своей статистики закону Зипфа. Единичное "чужое" Я-состояние, вероятность появления которого мы посчитали - это аналог частицы, становящейся самостоятельным объектом, а длительности Я-состояний - аналоги масс прожорливых объектов. Иными словами, между моделью прожорливых масс (дополненной особым законом вероятности появления новых объектов) и тау-моделью последовательно развёртывающегося тирона обнаруживается прямая, непосредственная связь. По сути, это два немного разных представления одного и того же процесса развития тиронов, которые представляют собой фрактальные структуры во времени или других континуумах, соответствующие закону Зипфа.
Убедимся, например, что в последовательном тироне тоже действует правило "богатый становится богаче". Для этого посчитаем, какова доля "околофинальных" кадров некоторого Я-состояния k в общей доле. Не учитывая кадры, в которых Я-состояния уже достигают своей финальной длительности (а их на единицу менше, чем вообще "околофинальных" кадров каждого Я-состояния), получим:
Очевидно, это точно соответствует правилу "богатый становится богаче", с той лишь разницей, что в одном случае мы имеем персистивности, а во втором - массы:
B обратно, в модели параллельного тирона мы можем увидеть действие закона терминальной вероятности. Для этого лишь чуть-чуть модифицируем её. В исходном виде мы имеем множество из n объектов, на которые налетают частицы единичной массы, которые с заданной вероятностью становятся самостоятельными объектами:
Остальные частицы прикрепляются к тому или иному объекту множества, соблюдая правило "богатый становится богаче", то есть, вероятность, что частицу поглотит объект k равна:
Но немного изменим логику. Пусть на объекты налетают частицы, которые не разделяются с самого начала на те, которые будут поглощены, и те, которые станут самостоятельными объектами. Пусть они все попадают в распоряжение того или иного объекта множества с вероятностью:
А далее частица, попав в распоряжение объекта k либо поглощается им, либо становится самостоятельным единичным объектом, как бы отпочковываясь от него, и пусть это происходит с вероятностью, точно совпадающей с терминальной вероятностью объекта, если считать массу объекта мерой его персистивности:
Легко убедиться, что эта картина фактически не отличается от исходной, суммарно по всем объектам мы получаем ту же общую вероятность для частицы стать самостоятельным объектом:
В этом случае вероятность прирасти в результате налёта одной частицы на множество для объекта k равна:
Фактически это есть произведение вероятностей, в которой первый множитель – вероятность, определяемая действием правила "богатый становится богаче", а второй множитель - действием персистивности объекта, когда он ведёт себя как Я-состояние. Таким образом, параллельный тирон отличается от последовательного тем, что на обычный для Я-состояний закон вероятности накладывается еще и действие правила "богатый становится богаче", распределяющего потенциальные приросты между объектами (потенциальные, поскольку не весь потенциал объекты превращают в свой прирост, часть его уходит в отпочковывающиеся новые объекты).
Заметим, что правило "богатый становится богаче" в данном случае выглядит несколько иначе, чем обычно: берётся не просто отношение массы объекта к общей массе множества, а "масса объекта + 1" к сумме "масса + 1" всех объектов множества:
Итак, мы получили в своё распоряжение модель параллельного тирона, которая оказалась прямо родственна исходной тау-модели и последовательному тирону. Теперь у нас есть твёрдая основа, например, для того, чтобы глядеть на отдельные объекты социально-географических организмов, то есть, на отдельные населённые пункты стран и провинций как на Я-состояния, управляемые законом терминальной вероятности.
О том, к каким выводам мы придём, а также о том, как модель параллельного тирона соотносится с нашей ранней версией о развитии стран и провинций как фракталов каскадного дробления, то есть, когнитивных фракталов, мы будем говорить в следующем Прологе.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER