КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 48. Свойства тирона
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 48. Свойства тирона
 
Роман Уфимцев
6 июля 2012 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы достигли важного рубежа в наших исследованиях: мы получили в своё распоряжение обобщение тау-модели для случая, когда Я-состояния разворачиваются не последовательно во времени, а параллельно в каком-либо пространстве или континууме, образуя растущий фрактал. Мы назвали это обобщение параллельным тироном, подчёркивая тем самым, что речь идет об одновременном росте всех объектов фрактала. В этом Прологе мы изучим ряд интересных свойств параллельного тирона, и далее, для краткости, будем именовать его просто тироном. А для начала ещё раз ясно сформулируем суть модели тирона, то есть, её генеративный механизм.
Генеративный механизм тирона
Тирон - растущее множество объектов, каждый из которых характеризуется количественной характеристикой, которую мы именуем персистивностью. Мы обозначаем персистивность некоторого объекта с номером k как τk.
В каждый единичный момент времени на это множество объектов из среды налетает одна частица, персистивность которой равна 1. Частица попадает в тот или иной объект множества с вероятностью:
где Στ - суммарная персистивность всего множества, а N - общее число объектов во множестве.
Далее, попадая в тот или иной объект k, частица, во-первых, может быть поглощена этим объектом, и тогда его персистивность увеличивается на единицу. Во-вторых, частица может стать новым объектом множества c персистивностью 1. Если частица уже попала в объект k, вероятность её поглощения:
Наоборот, вероятность того, что она станет новым самостоятельным объектом:
По форме эта вероятность точно равна терминальной вероятности для Я-состояния, имеющего персистивность τk.
Таким образом, для налетающей на множество частицы вероятность поглощения некоторым объектом k равна:
А вероятность стать "отпрыском" объекта k (то есть, попасть в него, но не поглотиться, а стать новым единичным объектом) равна:
Рост множества начинается с одного-единственного объекта с единичной персистивностью.
Как мы убедились в предыдущем Прологе, при действии данного генеративного механизма растущее множество образует масштабно-инвариантную структуру, то есть, фрактал. При этом его рост также является масштабно-инвариантным, и на всех этапах своего развития структура соответствует закону Зипфа, то есть имеет β = 1 для рангового распределения объектов по их текущей персистивности
Это и есть базовая модель тирона. И при своей простоте, у неё, как мы увидим далее, много очень интересных свойств.
Заметим ещё раз, что вероятность попадания частицы в тот или иной объект напоминает действие правила "богатый становится богаче", в соответствии с которым вероятность прироста объекта равна отношению его массы к суммарной массе множества (то есть, чем массивнее объект, тем быстрее он растет). Однако, если бы в нашем случае это правило выполнялось точно, то вероятность попадания частицы в объект k равнялась бы:
У нас же:
То есть, вероятность равна не просто отношению массы частицы к общей массе множества, а (примерно) отношению массы частицы к сумме "масса множества + число объектов во множестве". Это интригующее отличие, смысл которого может оказаться весьма глубоким. Со временем мы разберёмся в этом вопросе.
Абстрактная структура тирона
Начиная знакомство со свойствами тирона, обратим сначала внимание на выражение вероятности, с которой тот или иной объект k даст "отпрыска":
Интересным моментом является то, что эта вероятность не зависит от персистивности объекта k, а значит, является величиной, равной в каждый момент времени для всех объектов множества. Иными словами, налетающая на множество частица с одинаковой вероятностью может стать отпрыском любого из объектов множества, и вероятность эта зависит только от общей персистивности множества и от общего числа объектов в нём. Этот факт позволяет выделить в свойствах тирона две хорошо различимых группы.
Первая группа - это свойства, связанные с тем, что рост объектов в числе прочего управляется их персистивностью. То есть, для этой группы свойств персистивность объектов является их управляющей характеристикой. Вторая группа касается свойств тирона как абстрактной структуры, в которой у объектов нет никаких числовых характеристик, как-то влияющих на их судьбу, а значит, все объекты имеют равные "права и обязанности". Первая группа свойств связана с механизмами прироста персистивности объектов, а вторая группа - с механизмами появления "отпрысков", которые, как мы знаем, появляются с одинаковой вероятностью у всех объектов вне зависимости от их персистивности.
Мы начнём со второй группы свойств, и будем называть их свойствами абстрактной структуры тирона.
Итак, если не принимать во внимание изменяющуюся и различающуюся от объекта к объекту персистивность, тирон можно представить как древовидно растущую структуру, образованную множеством одинаковых узлов:
Её вершину образует первый узел множества, у которого с течением времени появляются отпрыски. Те в свою очередь также приобретают отпрысков, и т.д. В результате мы получаем древовидную структуру с чётко различимыми уровнями L, при этом на первом уровне всегда находится лишь один объект - общий праотец всех объектов множества. Заметим, что с течением времени число уровней в структуре растет, но в каждый момент времени новый узел может появиться на любом из имеющихся уже уровней (кроме первого).
1. Распределение объектов по числу личных отпрысков
Хотя вообще вероятность появления отпрысков во множестве объектов снижается со временем, когда отпрыск всё же появляется, он может появиться с одинаковыми шансами у любого объекта. Это позволяет смотреть на развитие абстрактной структуры тирона проще и считать, что в каждый момент какого-то особого "абстрактно-структурного времени", во множестве появляется ровно один новый узел. Вопрос: как на некотором этапе развития структуры, когда общее число объектов равно N, они распределены с точки зрения числа личных отпрысков?
Ответ не сложен, и его легко получить из самых общих соображений. Посмотрим, как в среднем будет расти структура:
В первый момент времени у нас имеется только один объект, не имеющий отпрысков (1). Во второй момент времени у него появится отпрыск (2). Далее, если для этих узлов вероятность появления отпрысков одинакова, то, чуть-чуть упрощая дело, можно считать, что в следующие два момента времени у каждого из них появится по одному личному отпрыску (3). По той же логике, в следующие четыре момента времени у получившихся четырех узлов ещё появится в среднем по одному отпрыску (4) и т.д.
Заметим, что на каждом этапе в структуре появляется столько же новых узлов, сколько их уже имеется, и эти новые узлы сначала не имеют отпрысков. То есть, в каждый момент времени в среднем ровно половина узлов структуры имеет нулевое количество отпрысков, а вторая половина - имеет одного или больше отпрысков. Легко догадаться, что среди узлов, вообще имеющих отпрысков примерно половина имеет только одного отпрыска, а вторая половина - двух и более. Двигаясь той же тропой далее, мы придём к выводу, что в среднем выполняется следующее правило распределения объектов по числу личных отпрысков:
Тут n(c) - ожидаемое число объектов, имеющих число отпрысков равное с. Из этого можно получить ожидаемое число отпрысков у самого "плодовитого" объекта:
Заметим, что теоретически самым плодовитым окажется верхний узел, праотец структуры, хотя случай тут может вмешаться. В любом случае, должна существовать тенденция, в соответствии с которой самые плодовитые объекты обитают на верхних уровнях структуры - далее мы детальнее разберёмся в этом.
Чтобы подтвердить наши теоретические выводы, обратимся к числовому опыту с моделью тирона. Вот так выглядит распределение объектов по числу личных отпрысков в структуре, состоящей из 11687 объектов, которая образовалась после 100000 налетающих частиц:
Заметим, что
То есть, совпадение с теоретическими значениями хорошее. Однако, ожидаемое число отпрысков самого плодовитого объекта равно 12,5, фактически же самый плодовитый объект в опытной структуре имеет 17 отпрысков - так сказывается случайность роста структуры.
2. Распределение объектов по уровням
Логично следующий вопрос: как в среднем распределяются объекты по уровням? Ясно, что на первом уровне всегда только один объект, на втором - больше, на третьем - ещё больше. Но так не может продолжаться бесконечно, и должен существовать уровень, после которого населённость уровней начинает снижаться, вплоть до нуля. То есть, построив график распределения объектов по уровням, мы должны увидеть кривую, которая имеет примерно колоколообразную форму. Но какую именно?
Понять, как получить ответ на этот вопрос, не трудно - нужно только рассмотреть все возможные варианты, подсчитать их вероятность и т.д. Но оказывается, что точный ответ (насколько понятие точности можно применять к случайно растущей структуре) нельзя записать в виде простого выражения. Однако, при большом числе объектов в структуре N сложные точные выражения упрощаются до простой и красивой формулы. Итак, в среднем число объектов на каждом уровне достаточно большой тиронной структуры:
где L - номер уровня, а N - общее число объектов.
Распределение объектов по уровням относится к типу распределений Пуассона. Вывод формулы представлен в Математическом приложении 3, в параграфе "1. Распределение объектов по уровням".
Например, для множества, состоящего из 1000 объектов (N=1000), кривая распределения выглядит так:
Как видим, она действительно имеет колоколообразную форму (хотя и несколько несимметричную), и максимально населенные уровни в данном случае - 7 и 8.
Впрочем, можно вывести и общее уравнение, определяющее самый населённый уровень в зависимости от N:
В частности, при N=1000, мы получаем Lpop ≈ 7,4 - это как раз лежит в промежутке между уровнями 7 и 8.
Вывод этого выражения – в Математическом приложении 3, в параграфе "2. Максимально населённый уровень".
Дополнение от мая 2013-го: решая несколько другую задачу, мы получили результат, который полезен и в данном контексте. Средний уровень объектов тирона равен гармоническому числу от N:
Наконец, ещё один вопрос - ожидаемое число уровней в структуре. Это число равно номеру последнего не-пустого уровня, и оценить его можно используя приближенную формулу:
В действительности, аналитически можно лишь показать, что ожидаемое число уровней лежит в промежутке:
где - γ уже знакомая нам постоянная Эйлера-Машерони. Подробнее об этом - в Математическом приложении 3, в параграфе "3. Ожидаемое число уровней".
Сопоставим полученные теоретические выводы с опытными результатами. Вот сопоставление теоретического распределения объектов по уровням с опытным распределением (1528 объектов):
Номер теоретически самого заселенного уровня - 7,83, реально - 8. Теоретически последний уровень имеет номер 18,9, реально - 18.
Ещё один опыт, при гораздо большем размере структуры (24510 объектов):
Номер теоретически самого заселенного уровня - 10,6, реально - 11. Теоретически последний уровень имеет номер 26,5, реально - 22. То есть, совпадение теоретически ожидаемых значений вполне удовлетворительно соответствует опытным (хотя номер последнего уровня предсказывается менее надёжно).
3. Средняя плодовитость объектов по уровням
Формула распределения числа объектов по уровням позволяет легко получить и выражение, характеризующее среднее число личных отпрысков у объектов в зависимости от их уровня. Действительно, в соответствии с нашей формулой, число объектов по уровням образует ряд:
Из этого непосредственно следует, что на каждом из уровней объекты имеют в среднем количества прямых отпрысков, образующие ряд:
Очевидно, средняя плодовитость объектов по уровням следует простому степенному закону, означающему, что среднее число отпрысков обратно пропорционально номеру уровня:
А вот так выглядят опытные данные:
Соответствие с теоретической закономерностью вполне удовлетворительное, не считая последних уровней, в которых сказывается ограниченность структуры.
4. Связь между номером узла и его уровнем
Последовательно появляющиеся в структуре узлы могут, в принципе, попадать на любой из уже имеющихся в структуре уровней (не считая первого) и могут становиться первыми узлами нового уровня. Однако, в среднем с ростом структуры новые объекты чаще попадают на нижние уровни. В целом тут действует простая закономерность:
Тут n - номер узла (он на единицу больше, чем текущий размер структуры N), а Ln - наиболее вероятный уровень, на который он попадёт.
Вывод этого выражения - в Математическом приложении 3, в параграфе "4. Порядок заселения уровней".
Представление о том, как выглядит типичная последовательность заселения уровней, даёт опытная диаграмма, в которой по горизонтальной оси - номер объекта, а по вертикальной - уровень, на котором он оказывается:
Мы видим, что в среднем действительно выполняется аналитическая закономерность, хотя конкретные объекты могут от неё отклоняться в широких пределах.
Предположим, однако, что закономерность соблюдается строго без случайных отклонений. Рассмотрим некоторый объект c номером n1, который начал новый уровень L1. Тогда выполняется соотношение:
Теперь возьмем объект c номером n2, который начал следующий новый уровень L2 = L1 + 1. Получим:
И отсюда следует:
То есть, на каждом следующем уровне объектов оказывается больше в e раз (постоянная e - основание натуральных логарифмов). Это правило выполняется для всех уровней, а значит, что у каждого объекта структуры вне зависимости от уровня (не считая последнего уровня) должно быть ровно e отпрысков.
Очевидно, этот вывод противоречит тому, что мы видели ранее: в частности, мы установили, что число отпрысков у объектов в среднем обратно пропорционально их уровню. Далее, если бы все объекты имели одинаковое число отпрысков, то самым населенным уровнем всегда был бы последний, и т.д. Причина этого противоречия понятна - в одном случае мы говорим о статистически усредненном, наиболее вероятном заселении уровней, во втором - о динамике заселения с учетом случайности.
Чтобы различать разные типы закономерностей, мы будем называть усредненную структуру, в которой все узлы имеют по e отпрысков абстрактным скелетом тирона. Абстрактный скелет служит как бы общей матрицей, в соответствии с которой развивается абстрактная структура тирона, хотя и отклоняясь от неё под действием случая.
Итак, абстрактный скелет тирона - древовидная упорядоченно растущая структура, в которой каждый объект имеет ровно e отпрысков. И этот факт нас возвращает к когнитивным фракталам и особенно к прототипическому когнитивному стохастическому фракталу с коэффициентом дробления e, которому мы дали собственное имя гармониум. Иными словами, структура гармониума точно тождественна структуре абстрактного скелета тиронов. И то и другое представляет собой древовидную структуру с коэффициентом дробления, равным числу e. Это демонстрирует прямую связь между когнитивными фракталами, которые получаются методом каскадного дробления континуума и тиронами. Как мы увидим далее, эта связь весьма глубока – по сути, тирон является моделью происхождения когнитивных фракталов.
5. Характерная мера абстрактной структуры тирона
В заключение заметим, что практически все выражения, описывающие те или иные характеристики абстрактной структуры - число уровней, номер самого населенного уровня, связь между уровнем и средним числом отпрысков у объектов и т.д. - включают в себя не прямо число объектов в структуре N, а логарифм этой величины ln(N). Это означает, что именно логарифм размера структуры является характерной мерой, управляющей величиной, которая определяет свойства абстрактной структуры. Нам еще предстоит разобраться в смысле этого факта (а тут прямая дорога к теории информации), а пока лишь обратим на него внимание.
Этим мы завершаем разбор основных свойств абстрактной структуры тирона, связанных с процессами возникновения в нём новых объектов. Как мы видим, абстрактная структура тирона развивается в соответствии с комбинаторными закономерностями, на которые не влияет персистивность объектов. Иными словами, абстрактная структура составляет физический порядок тирона. И тем интереснее исследовать, какими свойствами обладает тирон не как простой набор одинаковых узлов, а как множество объектов, обладающих персистивностью. Далее мы приступим к изучению второй группы свойств тирона, относящихся к его когнитивному порядку, а также увидим, как две группы свойств хитроумно взаимодействуют между собой.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER