КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 48. Свойства тирона
Математическое приложение 3
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
Математическое приложение 3
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Математическое приложение 3
 
Роман Уфимцев
11 июля 2012 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 48 приводятся доказательства уравнений, описывающих абстрактную структуру тирона.
1. Распределение объектов по уровням
Распределение объектов по уровням абстрактной структуры тирона при достаточно большом числе объектов N отвечает уравнению:
Это распределение относится к типу распределения Пуассона:
при x = L-1, λ = ln(N). Это распределение, в свою очередь, является предельным случаем биномиального распределения:
при x = L-1, p = ln(N)/N.
Докажем эти утверждения.
Рассмотрим варианты развития абстрактной структуры тирона на различных этапах:
На этапе N=1 структура состоит из одного узла, который лежит на первом уровне. На этапе N=2 появляется второй узел, и он лежит на уровне 2 - тут нет никаких других вариантов. При N=3 возникает два альтернативного и равновероятного варианта развития структуры. На этапе N=4 вариантов становится 6 и т.д. Легко понять, что общее число вариантов развития структуры на каждом этапе равно (N-1)!.
Обозначим как nL число объектов на уровне L по всем вариантам на этапе N. Например, на рисунке ниже зеленым цветом выделены объекты, которые лежат на этапе N=4 на втором уровне структуры по всем вариантам. Их всего 11, значит при N=4 n2=11:
Обозначим ещё как n'L - число объектов на том же уровне на предыдущем этапе N-1. Например n'2=3 (синие объекты). Тогда выполняется соотношение:
То есть, число объектов на уровне (по всем вариантам) равно, во-первых, количеству объектов на этом же уровне на предыдущем этапе, умноженному на число, отражающее "размножение" общего количества возможных вариантов при переходе на следующий этап - у нас это число N-1. Во-вторых, к нему прибавляется число объектов на уровень выше по состоянию структуры на предыдущем этапе. Например, число зеленых объектов (уровень L=2, этап N=4) равно числу синих объектов (уровень L=2, этап N=3), умноженному на 3 (поскольку для этапа N=4 N-1=3) плюс число красных объектов (уровень L=1, этап N=3).
Далее, поскольку все варианты развития структуры равновероятны, ожидаемое количество объектов на некотором уровне L равно числу вхождений объектов в этот уровень по всем вариантам к числу вариантов на текущем этапе развития структуры. Например, на этапе N=4 на втором уровне по всем вариантам имеется 11 объектов (зелёные объекты). Значит, ожидаемое число объектов на этом уровне при N=4 равно 11/(4-1)! = 11/6 ≈ 2.
Исходя из этих соображений, опуская механические выкладки, получим, что на первом уровне у нас всегда 1 объект - что естественно. На втором уровне ожидаемое число объектов соответствует сумме:
На третьем уровне и четвертом уровне - двойной сумме и тройной сумме соответственно:
Индуктивно получаем, что при размере структуры N ожидаемое число объектов на уровне L равно:
Поскольку мы рассматриваем ситуации, в которых N велико, мы можем перейти от дискретных сумм к определенным интегралам, используя приблизительное равенство:
Переходя от общего дискретного выражения к интегральному и решая его, получим:
Или, при больших N:
Покажем теперь, что полученное выражение соответствует частному случаю биномиального распределения:
Подставляя x = L-1 и p = ln(N)/N, получим:
При больших N, ln(N) гораздо меньше, чем N, поэтому мы можем упростить:
Далее, если L гораздо меньше, чем N - а можно показать, что для нас представляют интерес только уровни от первого до уровня e*ln(N) включительно (см. далее) – справедливо следующее приближение:
Отсюда получаем:
То есть, распределение объектов по уровням абстрактной структуры тирона действительно является частным случаем биномиального распределения при больших значениях N и малых значениях p.
Тот факт, что распределение объектов по уровням тирона имеет форму распределения Пуассона, наводит на мысль, что должен существовать какой-то более простой и прямой способ вывести уравнение этого распределения, нежели анализ сложных сумм. Напомню, распределение Пуассона называют "законом редких событий". Пусть, например, редким событием, имеющим очень малую постоянную вероятность p является находка янтаря в горсти песка. То есть, взяв горсть прибрежного песка с вероятностью, например, p=0,01 мы обнаружим в ней кусочек янтаря. Если мы зачерпнем целое ведро песка, в котором умещается n=1000 горстей, то в среднем мы будем находить n*p = 10 кусочков в каждом ведре песка. Но это только в среднем - мы можем найти и 20 и 5 и вообще ни одного. Распределение Пуассона характеризует вероятность Ф(x) того, что, зачерпнув ведро песка, мы найдем ровно x кусочков янтаря:
тут λ = n*p, то есть, параметр распределения равен среднему ожидаемому числу редких событий в ряду из n испытаний.
В нашем случае x = L-1 и λ = ln(N). То есть, число "кусочков янтаря" соответствует номеру уровня объекта L (минус 1), а среднее число кусочков в ведре песка равно ln(N) - и вот придать этому ясный смысл оказывается непростым делом. Вероятно, тут требуется какой-то необычный взгляд на развитие структуры тирона.
2. Максимально населённый уровень
В структуре, состоящей из N объектов максимально населённый уровень определяется выражением:
Докажем это.
Мы знаем, что распределение объектов по уровням представляет собой частный случай биномиального распределения при большом числе испытаний N и малой вероятности успеха p:
Для биномиального распределения наиболее вероятное значение величины равно:
В нашем случае x = L-1, p = ln(N)/N, значит
При больших N, усредняя по двум значениям, получим:
3. Ожидаемое число уровней
Ожидаемое число уровней в абстрактной структуре тирона лежит в промежутке
При росте N оно приближается к верхнему пределу этого диапазона.
На практике номер максимального не-пустого уровня можно приближенно оценивать по формуле:
Докажем это.
Последний ожидаемый уровень содержит только один объект, так что должно выполняться равенство:
К сожалению, получить закрытое решение этого уравнения относительно L нельзя, поэтому нам придётся прибегнуть к обходному пути. Перепишем выражение так:
Исследуя правую часть выражения, установим, что при больших L (а значит, и при больших N):
Напротив, при L, стремящемся к 1 (то есть, при предельно малых L и N):
где γ – постоянная Эйлера-Машерони.
Эти два предела задают границы коридора, в котором растет значение ln(N) с ростом L:
Отсюда ожидаемое число уровней в структуре лежит в промежутке:
Для L>2 удовлетворительным приближением к истинной функции является ln(N) ≈ (L+1)/e - на диаграмме она отмечена пунктиром. Отсюда приближенная формула для номера последнего уровня абстрактной структуры тирона:
4. Порядок заселения уровней
При росте структуры тирона новый объект с номером n с наибольшей вероятностью попадает на уровень
Докажем это.
Мы знаем, что распределение объектов по уровням представляет собой частный случай биномиального распределения при большом числе испытаний N и малой вероятности успеха p:
Поскольку новый объект равновероятно может стать отпрыском любого из уже имеющихся объектов структуры, то в среднем он станет отпрыском объекта, находящегося на уровне, усредненном по всем уже имеющимся объектам структуры. То есть, нам нужно вычислить средний уровень объектов (из-за не полной симметричности колокола распределения объектов по уровням средний уровень отличается от номера максимально населённого уровня). Среднее значение биномиально распределенной величины равно:
В нашем случае x = L-1, p = ln(N)/N, значит
Поскольку новый объект, становясь отпрыском объекта на среднем уровне, имеет уровень на единицу больше, чем родитель, то получаем
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER