В предыдущем Прологе мы исследовали свойства абстрактной структуры тирона. Напомню, свойства тирона ясно делятся на две группы. Первая группа - это свойства, связанные с особенностями структурного строения тирона. Как мы убедились, эти свойства представляют собой результат действия простых комбинаторных закономерностей, и как таковые являются закономерностями физического порядка.
Однако, наш интерес к тирону определяется главным образом второй группой свойств. Они обусловлены персистивностью отдельных объектов тирона, и представляют его когнитивный порядок. Кроме того, нас интересуют эффекты взаимодействия двух групп свойств.
В наиболее ясном и простом виде свойства когнитивного порядка иллюстрируются тау-моделью. Последовательность Я-состояний (или "Я-объектов"), которую порождает тау-модель можно рассматривать как тирон, в котором абстрактная древовидная структура преобразована в простую последовательность, в линейную цепь. Это маскирует абстрактную структуру и связанные с нею свойства физического порядка. Поэтому тау-модель очень удобна для описания собственных свойств когнитивного порядка, но не для понимания взаимодействия двух порядков - физического и когнитивного. Тирон же демонстрирует их равноправное взаимодействие, и поэтому представляет для нас особый интерес в качестве универсальной модели.
Мы знаем, что важнейшее статистическое свойство тирона - соответствие распределения объектов по персистивности закону Зипфа на любой стадии развития тирона. Мы подробно разбирали условия этого обстоятельства (именно исходя из него мы и вывели саму модель тирона), и поэтому не будем тут повторять доказательств. При этом нужно обратить внимание, что это распределение совершенно не учитывает абстрактной структуры тирона, то есть, отношений родитель-отпрыск, возникающих в процессе развития тиронной структуры. Это основополагающее свойство когнитивного порядка тирона не зависит от его абстрактной структуры. Однако, тут возникает ряд интересных вопросов о том, к каким эффектам приводит взаимодействие этого свойства со свойствами абстрактной структуры тирона.
В этом Прологе мы познакомимся с некоторыми их таких эффектов, а также обратимся к уже хорошо знакомому нам рабочему примеру, и рассмотрим социально-географические организмы как развивающиеся тироны.
1. Персистивнось первого объекта
С ростом числа объектов тирона и его суммарной персистивности, растет и персистивность первого объекта. Как именно? Ответ очень прост.
Как мы знаем, стохастически распределение объектов тирона по персистивности соответствует уравнению:
где τ1 - персистивность первого объекта тирона, а n - номер объекта в порядке их появления в структуре. Если минимальная персистивность объектов тирона равна 1 (а это предусмотрено в модели тирона), то, в случае, если всего в тироне всего N объектов,
Отсюда следует очень простой вывод:
То есть, ожидаемая персистивность первого объекта тирона, праотца, равна попросту количеству объектов тирона N. Это красивый результат, но, как мы далее увидим, этому же числу равна вообще суммарная персистивность объектов на каждом из уровней тирона (см. параграф "3. Суммарная персистивность объектов по уровням").
2. Общая персистивность тирона и количество объектов
В своём исходном варианте модель тирона подразумевает, что в каждый единичный момент времени на тирон налетает одна частица, имеющая единичную персистивность. Далее она либо становится новым объектом тирона (имеющим единичную персистивность) либо присоединяется к одному из уже имеющихся объектов, увеличивая его персистивность на единицу. Это значит, что в исходной картине общая персистивность тирона так или иначе увеличивается на единицу за каждый единичный шаг времени. И тут разумно поставить вопрос о том, как зависит число объектов тирона N от общей персистивности тирона T (которая по сути в исходном варианте модели равна длительности развития тирона).
Ответ получить не трудно исходя из того, что ранговое распределение объектов тирона по их персистивности отвечает уравнению:
Исходя из этого, суммарная персистивность всего тирона равна:
где HN - гармоническое число от N.
Объектное время
Это выражение показывает, как связана общая персистивность тирона с числом объектов в нём. И тут есть один любопытный момент. В исходной модели тирона в каждый момент времени общая персистивность тирона Т увеличивается на единицу. То есть, ход времени в модели прямо привязан к росту персистивности, и общая персистивность равна возрасту тирона (обозначение "Т" получает двоякое значение). Однако, записать простое выражение, которое бы описывало зависимость числа объектов тирона N от времени в этом случае оказывается невозможно, потому что решить уравнение
относительно N нельзя (то есть, невозможно получить простое закрытое выражение для зависимости N(T)).
Это наводит на мысль, что для тирона ход времени целесообразнее измерять не единичными приростами общей персистивности (то есть, t=T), а приростами числа объектов в тироне (t=N). В этом случае, при "объектном" исчислении времени, динамика роста персистивности вычисляется по приведённому выше простому закрытому выражению.
Далее, при "объектном" исчислении времени, персистивность первого объекта тирона, праотца, растет в среднем линейно со временем:
Легко понять, что в среднем персистивность второго объекта тирона будет расти как t/2, третьего как t/3 и т.д.
Существенно упрощаются и базовые уравнения вероятности модели тирона. Вероятность того, что некоторый объект k породит отпрыска за один шаг "объектного" времени равна:
Это следует просто из того, что вероятность появления отпрыска для всех объектов в каждый момент времени одинакова.
Вероятность того, что за один шаг "объектного" времени некоторый объект k увеличит персистивность на 1 равна:
Суммируя эту вероятность по всем объектам тирона, получим, что в среднем за один шаг "объектного" времени тирон увеличивает свою общую персистивность T на величину, равную:
Таким образом, "объектное" время позволяет существенно упростить выражения, описывающие свойства динамики тирона и является, видимо, более естественным для модели.
3. Суммарная персистивность объектов по уровням
Как распределяется персистивность по абстрактным уровням тиронной структуры? Мы знаем, что первый уровень тирона всегда содержит только один объект - "праотца" тирона. Из этого следует, что общая персистивность первого уровня всегда равна персистивности объекта-праотца. На втором уровне структуры располагаются непосредственные отпрыски праотца. На третьем - прямые отпрыски второго поклонения - и т.д. С каждым следующим уровнем число объектов нарастает (до некоторого предела), но с каждым же уровнем объекты в среднем имеют всё меньшую персистивность. Как же зависит суммарная персистивность объектов каждого уровня от его номера?
Оказывается – и это весьма примечательный факт - суммарная персистивность каждого уровня одинакова, и равна персистивности первого уровня, то есть персистивности праотца тирона. То есть, обозначая суммарную персистивность объектов некоторого уровня k как Тk, в среднем выполняется равенство:
Доказательство – в Математическом приложении 4, в параграфе "1. Суммарная персистивность объектов по уровням".
На практике это равенство выполняется не для всех уровней тирона, а только для половины его уровней. Для нижних уровней общая персистивность снижается вплоть до последнего уровня тирона, который обладает минимальной общей персистивностью. Это происходит из-за стохастической природы развития тирона. Тем не менее, примерное равенство суммарной персистивности первых уровней является очень интересным опытно наблюдаемым свойством тирона. Например, вот так выглядит диаграмма распределения суммарной персистивности объектов по уровням в числовой симуляции тирона, состоящего в общей сложности из 24510 объектов, обладающих суммарной персистивностью 300000:
Теоретическое положение красной планки можно оценить исходя из того, что суммарная персистивность каждого уровня равна персистивности первого объекта, праотца тирона. А, как мы установили выше, она попросту равна числу объектов в тироне. В нашем опыте число объектов - 24510, и это вполне удовлетворительно отвечает положению красной планки на диаграмме.
Заметим: получается, что как минимум для первых уровней тирона общая персистивность объектов на каждом уровне равна числу объектов во всём тироне N, то есть, возрасту тирона в "объектном" времени.
Итак, уровни тирона (если отвлечься от стохастических отклонений для нижних его уровней) обладают одинаковой суммарной персистивностью. И этот факт проводит прямую параллель между тироном и алгоритмом каскадного дробления континуума, с помощью которого мы описывали многие феномены, которым сопутствует закон Зипфа - от распределения городов по населению до распределения слов в натуральных текстах по частоте.
К слову, вспомним наш анализ гипотезы о том, что соответствие распределения частоты слов в текстах закону Зипфа является следствием простых комбинаторных закономерностей. Мы убедились, что, действительно, совершенно случайные тексты, набирающиеся из случайно выбираемых букв, могут порождать распределения частоты слов, отвечающие закону Зипфа. Но некоторые статистические свойства натуральных текстов опровергают такое объяснение феномена. В частности, если бы закон Зипфа в натуральных текстах возникал бы также, как в случайных, тогда бы общее количество слов в тексте, состоящих из 1 буквы, из 2 букв, из 3 букв, и т.д. экспоненциально бы снижалось с ростом числа букв в словах:
Однако, натуральные тексты демонстрируют иную закономерность:
Как видим, опытное распределение длин слов мало похоже на теоретическое распределение, которое следует из гипотезы случайного текста, зато качественно сходно с опытным распределением персистивности по уровням, которое мы получаем в модели тирона - та же "полка" вначале распределения, тот же спад к хвосту. Этот факт позволяет нам рассматривать натуральные тексты как тироны, в которых каждый уровень несёт слова, состоящие из одинакового числа букв. На первом уровне - слова, состоящие из 0 букв, на втором уровне - слова, состоящие из 1 буквы, на третьем - из 2 букв и т.д. О том, что такое слова нулевой длины, а также о других следствиях гипотезы текст это тирон, мы будем говорить в следующий раз, а пока обратимся к нашему любимому рабочему примеру - к городам и их населению.
Страны как тироны
На многочисленных примерах мы уже имели возможность убедиться, что ранговые распределения городов различных стран часто (но не всегда) соответствуют степенному распределению с β≈1, то есть, популяционные распределения соответствуют закону Зипфа. Например, вот так выглядит популяционное распределение для Германии:
Мы предположили, что причиной этого феномена является тот факт, что страны представляют собой социально-географические целостности, организмы, имеющие фрактальную организацию. При этом генеративным механизмом возникновения этих фракталов мы назвали каскадное дробление континуума - именно этот механизм способен порождать фрактальные структуры, отвечающие закону Зипфа.
Этот механизм, напомню, строит фрактал, начиная с некоторого произвольного ограниченного континуума, например, с квадрата единичной площади:
На втором этапе квадрат дробится на некоторое число частей (случайно или как-то закономерно, на какое-то постоянное число частей или случайное). На третьем этапе вновь дробится каждая из получившихся частей - и т.д. Если мы возьмем все части, возникающие на всех этапах дробления в совокупности, их площади будут соответствовать закону Зипфа, то есть, иметь ранговое распределение с β≈1.
Вместо квадрата единичной площади мы можем взять население крупнейшего города страны (популяционный континуум). Затем это население дробится на несколько частей различного размера и так образует ряд остальных крупных городов страны - и так далее, вплоть до самых малых населенных пунктов.
Хотя такой взгляд на происхождение закона Зипфа в популяционных распределениях приводит к интересным выводам (например, к выводу о существовании особых социально-географических волокон, пронизывающих страны от крупнейших городов до самых малых деревень), трудность с ним состоит в том, что сам генеративный механизм кажется не слишком интуитивно понятным. Очевидно, страны развиваются совсем не так, как строится фрактал каскадного дробления - не возникают сразу столицы с миллионным населением, к которым затем добавляются крупнейшие города. Реальное развитие стран начинается с роста маленьких населенных пунктов, которые постепенно увеличиваются в размере и числе - и это касается и столиц и деревень.
Модель тирона, которая, как мы показали, обладает глубокой родственностью с фракталами каскадного дробления континуума (мы также их назвали когнитивными фракталами), решает эту проблему - тирон как множество объектов развивается "правильно", и при этом порождает фрактал, который обладает важнейшими свойствами фрактала каскадного дробления континуума - в частности, для него также на всех продвинутых этапах построения выполняется закон Зипфа, а общая персистивность уровней тирона одинакова (по крайней мере, для высших уровней) - и это прямо соответствует равенству площади дробящегося континуума на всех этапах построения когнитивного фрактала:
Поэтому рассмотрим социально-географические фракталы как тироны – это прольет свет на вероятные генеративные механизмы, стоящие за законом Зипфа в популяционных распределениях.
Прежде всего, истолкуем правила модели применительно к социально-географическому контексту. В исходной модели тирона на множество его объектов в каждый момент времени налетает одна частица с персистивностью 1. Это соответствует картине, в которой в единицу времени общее население страны прирастает на 1 человека. Естественно, что это "популяционное" время не соответствует физическому - в реальности население стран часто растет неравномерно во времени (а иногда и вовсе снижается). Однако, пока для простоты мы не будем учитывать убыль населения городов, а только прибавление, и при этом будем опираться на "популяционное" время, в котором в каждый шаг времени к общему населению страны прибавляется по одному человеку.
Далее, налетающая частица (то есть, новый гражданин страны - новорожденный или приехавший из другой страны) первым делом оказывается в распоряжении одного из объектов тирона - то есть, одного из населенных пунктов страны. А затем частица либо сливается с этим объектом, поглощается им, или образует нового единичного отпрыска этого объекта. Применительно к социально-географическому контексту это означает, что новый человек в системе может либо стать жителем одного из существующих населенных пунктов, либо основать новый населенный пункт. (Естественно, что в реальности новые населенные пункты обычно создаются не одним-единственным человеком, а некоторым их количеством, но для модели тирона это не принципиально - то ли мы считаем людей по одному, то ли сотнями. Например, мы можем считать, что одна налетающая частица соответствует не одному новому человеку, а одной сотне человек.) При этом заметим, что новый населенный пункт становится прямым отпрыском одного из уже имеющихся населенных пунктов - то есть, модель тирона подразумевает связи между всеми населенными пунктами страны по принципу родитель-отпрыск.
Обратимся теперь собственно к вероятностным уравнениям, описывающим тирон. Вероятность того, что новый гражданин страны попадет в распоряжение того или иного населенного пункта k, обладающего текущим населением (персистивностью) τk равна:
Как мы уже говорили, это уравнение описывает закономерность "богатый становится богаче", которая выглядит так:
Если число городов N достаточно велико (когда HN существенно больше 1), нижние части дробей в обоих уравнениях становятся близкими друг к другу. При этом, если и город мы рассматриваем большой (τk велико), то фактически вероятность того, что новый гражданин попадет в распоряжение города k определяется правилом "богатый становится богаче".
Если мы перестанем учитывать тех новых граждан, которые не поглощаются одним из уже имеющихся населённых пунктов, а образуют новые поселения, то мы получим в точности правило "богатый становится богаче". Действительно, в модели тирона вероятность того, что налетающая частица будет поглощена одним из уже существующих объектов k, равна:
Памятуя о том, что персистивность объектов тирона соответствует закону Зипфа и персистивность крупнейшего объекта равна N, получим сумму по всем объектам:
Именно так: как HN к HN+1, соотносится доля налетающих частиц, которые поглощаются теми или иными объектами ко всем частицам. Тогда, соответственно, без учёта частиц, которые становятся самостоятельными объектами, вероятность для объекта поглотить налетающую частицу равна:
То есть, в этом случае правило "богатый становится богаче" выполняется в точности.
Закономерность "богатый становится богаче" в данном случае интуитивно понятна - идёт ли речь о новорождённом гражданине страны или о приехавшем из другой страны, ясно, что для него больше шансов родиться или осесть в населенном пункте, имеющем большее население, нежели меньшее. Именно эта логика и стоит за попытками объяснить степенную природу популяционных распределений действием принципа "богатый становится богаче". Однако, как мы убедились, исследуя этот принцип, сам по себе он не может объяснить, почему эти распределения обычно отвечают закону Зипфа, то есть имеют β≈1 для стран с совершенно разными географическими и социальными условиями. Решающую роль тут играет скорость нарастания числа новых объектов - то есть, ключом к феномену популяционных распределений служит не закономерность "богатый становится богаче", а то, что происходит уже после того как новый гражданин попал в распоряжение того или иного населённого пункта.
Модель тирона указывает: после того, как новая частица попала в распоряжение объекта k, имеющего персистивность τk, вероятность того, что она будет им поглощена P+ и вероятность того, что она станет новым отпрыском P– соответственно равна:
Эти выражения в точности соответствуют уравнениям вероятностей, управляющих длительностями жизни Я-состояний в тау-модели. Иными словами, города и посёлки могут рассматриваться как Я-состояния, осознающие себя состояния. При этом персистивность этих Я-состояний, то есть, их "настойчивость", "упрямость" в сохранении себя равна числу жителей этого населённого пункта.
Так мы приходим к математическому выражению идеи "коллективного сознания". Оказывается, именно явление коллективного сознания, коллективных Я-состояний, отвечает за феномен соответствия популяционных распределений закону Зипфа, а точное значение показателя β этих распределений для разных стран вероятно отражает особенности национального сознания. И нам ещё предстоит исследовать, как именно.
