КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 58. Спиральная структура
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 58. Спиральная структура
 
Роман Уфимцев
3 октября 2012 года, Калининград
Мы продолжаем исследование структуры Я-состояний, которая парадоксальным образом является одновременно и "внутренней" и "внешней", поскольку при развитии тиронной структуры, естественно порождаемой Я-состоянием, внутренние структурные части Я-состояния транслируются в его отпрысках. Таким образом, отпрыски Я-состояния, находясь "вне" его, одновременно являются и внутренними структурными частями породившего их Я-состояния.
С точки зрения исследования структурной организации Я-состояний особый интерес представляют прямые отпрыски Я-состояния, поскольку они отражают верхний порядок структурного строения Я-состояния, то есть, основные блоки, из которых оно сложено. Их исследованием мы и займемся в этом Прологе.
Прямые отпрыски - их количество и распределение
Мы знаем, что тироны являются фрактальными структурами в строгом смысле этого слова. Это означает, что семейство, порождаемое любым из Я-состояний тиронной структуры статистически неотличимо от всей тиронной структуры целиком. Поэтому, говоря о непосредственных отпрысках Я-состояний мы будем исследовать отпрысков родового Я-состояния тирона - они образуют второй уровень тиронной структуры. Выводы, к которым мы придем, будут справедливы для непосредственных отпрысков любого Я-состояния в тироне.
По мере развития тирона число его непосредственных отпрысков нарастает. Нарастает и их персистивность. Нас интересует динамика этих процессов, а также распределение отпрысков по персистивности - ясно, что они не равны в этом отношении друг другу.
Для начала разберемся, как увеличивается число отпрысков. Анализ позволяет установить, что, если степень развития тирона измерять общим количеством содержащихся в нём объектов N, среднее количество непосредственных отпрысков родового Я-состояния соответствует простому и красивому выражению:
Тут HN – гармоническое число от N.
Доказательство этого факта, и других выводов, о которых мы будем говорить в этом Прологе - в специальном математическом приложении.
Поскольку гармонический ряд расходится (хотя и очень медленно), то есть, не сходится к определенному конечному числу, это значит, что потенциально структура Я-состояния состоит из бесконечного числа частей - даже на первом, верхнем порядке структурного строения. Разумеется, в каждый момент времени различимыми оказывается лишь конечное число структурных частей Я-состояния - это число соответствует наблюдаемому количеству его прямых отпрысков - но следует считать, что мы видим лишь те структурные части, которые в данный момент оказываются выше предела различимости.
По мере развития тирона персистивность, масштаб Я-состояния увеличивается. Вместе с этим его структурные части "раздуваются" и выше порога различимости оказываются все новые структурные части. Для наблюдателя это выглядит как постепенное увеличение наблюдаемого количества прямых отпрысков Я-состояния:
Персистивность отпрысков Я-состояния в среднем тем выше, чем раньше они появились в структуре тирона. Выясним, как они распределяются в этом отношении.
Сначала прибегнем к числовым опытам. Вот ранговое распределение объектов второго уровня тирона по персистивности для двух опытных тиронов, состоящих из 8061 и 94932 объектов (то есть, на порядок различающихся по степени развития):
Как видим, в обоих случаях ранговое распределение прямых отпрысков родового Я-состояния близко к простой экспоненциальной функции. Действительно, можно показать аналитически, что ожидаемое распределение соответствует уравнению:
Спиральная структура Я-состояний
Из полученного нами уравнения распределения следует, что персистивность отпрысков Я-состояния (а значит, и "размеры" его структурных частей) соответствует геометрической прогрессии:
Этот примечательный факт позволяет иллюстрировать структуру Я-состояния как логарифмическую спираль, образованную сегментами A-B, B-С, и т.д.:
Особенность логарифмической спирали заключается в том, что длины сегментов в соседних витках спирали образуют геометрическую прогрессию. Так что мы можем сопоставить с самой крупной структурной частью Я-состояния самый длиный сегмент спирали А-В, со второй по величине частью - сегмент B-C, и т.д.
Заметим, что теоретически число сходящихся витков логарифмической спирали может быть бесконечно, но на любом изображении мы способны видеть лишь некоторое их количество - насколько позволяет уровень различимости. Например, если масштаб различимости соответствует размеру серой области на диаграмме, мы увидим всего лишь два полных витка спирали, то есть, две структурных части Я-состояния или два его отпрыска. Остальные же оказываются ниже предела различимости - и их, как сходящихся витков в спирали, может быть сколь угодно много.
Далее, происходящее в процессе развития тирона увеличение персистивности Я-состояния, которое также сопровождается увеличением количества наблюдаемых его прямых отпрысков интуитивно убедительно понимается как развитие, раскручивание спиральной структуры вовне, во время которого из серой зоны появляются новые различимые сегменты:
Природа дает нам симпатичный пример очень похожего процесса развития:
Альтернативно мы можем смотреть на процесс развития Я-состояния как на увеличение масштаба спиральной структуры, что также приводит к увеличению количества видимых сегментов:
К слову, заметим, что логарифмическая спираль с бесконечным числом витков внутрь является фракталом особого рода, она обладает точным самоподобием, так что при её общем увеличении отдельная часть всей спирали оказывается точно такой же, какой она была целиком до увеличения (см. на рисунке бледные серые линии подобия).
Итак, живописной иллюстрацией структурной организации Я-состояния является логарифмическая спираль. В этой аналогии длина сегментов спирали соответствует величине "кусков" Я-состояния, то есть, персистивности его прямых отпрысков. Аналогия не только отражает тот факт, что "размеры кусков" Я-состояния образуют геометрическую прогрессию, но и даёт наглядное объяснение потенциальной бесконечности общего количества этих кусков, и того, как они в процессе развития тирона возникают над уровнем различения - это выглядит как появление у Я-состояния новых наблюдаемых прямых отпрысков.
Аналогия действительно хорошая, но хотим ли мы сказать, что Я-состояния действительно имеют какую-то спиралеобразную структуру? Разумеется, нет. Логарифмическая спираль - геометрическая пространственная фигура, а Я-состояния в общем случае не имеют пространственной размерности. Однако, как бы то ни было, спираль является весьма удобной и содержательной аналогией, и поэтому впредь, говоря о структуре Я-состояний, мы будем говорить о ней как о спиральной структуре. А сама логарифмическая спираль будет для нас символом Я-состояний. (Читатель сайта КОГНИТИВИСТ наверняка встречал уже этот символ - им мы изображали гештальты. Полагаю, теперь понятно, почему.)
Мы можем ещё более уточнить "спиральную аналогию" и вычислить параметры логарифмической спирали, которая лучше всего подходит для иллюстрации структуры Я-состояний.
Проще всего уравнение логарифмической спирали выглядит в полярных координатах. Напомню, что в них положение точки определяется на парой X-Y, а расстоянием точки от центра полярных координат (это расстояние называется радиусом r) и углом θ ("тэта") относительно какого-то нулевого направления (скажем, относительно "направления на север" - если вы плохо знакомы с полярной системой координат, рекомендую простое разъяснение):
В полярной системе координат уравнение логарифмической спирали выглядит очень просто:
Параметр a отвечает только за размеры спирали и не влияет на её форму. Параметр b - важнее, от него зависит угол, с которым расходится спираль (этот угол называют наклоном спирали) и направление раскручивания (по часовой стрелке или против):
В нашей аналогии мы сопоставляли длины дуговых сегментов спирали (витков) А-B, B-С и т.д. с отдельными частями Я-состояния, которые образуют геометрический ряд с показателем 1/e. Это значит, например, что длина дугового сегмента A-B должна быть ровно в e раз больше длины сегмента B-C и т.д. Каким для этого должен быть параметр b в уравнении логарифмической спирали?
Поскольку логарифмическая спираль самоподобна, то отношение длины дугового сегмента А-B к длине прямого радиального отрезка А-B равно отношению длины дугового сегмента B-С к длине прямого радиального отрезка B-С. Значит, если дуговой сегмент A-B по длине в e раз больше длины дугового сегмента B-C, то точно также должны соотноситься и прямолинейные отрезки A-B и B-C.
Пусть координата точки C задается уравнением:
Тогда, поскольку в точке B спираль совершает один дополнительный полный виток по сравнению с точкой C, координаты точки B соответствуют уравнению:
Точно также устанавливаем координаты для точки А:
Запишем требование отношения длин прямых отрезков А-B и B-С:
Отсюда находим:
Значит, уравнение искомой логарифмической спирали:
где a - произвольное положительное число.
Для такого значения параметра b угол наклона спирали равен примерно 9 градусам (именно такая спираль изображена выше). Занятно, что известные примеры логарифмических спиралей в природе часто (но не всегда) имеют близкие углы наклона, например:
Раковина моллюска Наутилус
Атмосферный циклон
Спиральная галактика Messier 74
Установлено, например, что наша галактика Млечный путь является спиральной галактикой, состоящей из двух спиралевидных рукавов. Угол наклона каждого составляет около 12 градусов (хотя известны галактики с углами наклона спирали от 5 до 20 градусов).
Говоря о логарифмических спиралях, нельзя не упомянуть так называемую золотую спираль - в ней параметр b привязан к знаменитому золотому сечению:
Золотая спираль имеет существенно более высокий угол наклона (около 17 градусов), чем та, которую мы получили, и поэтому раскручивается быстрее:
Черная - золотая спираль, красная - спираль Я-состояний
Золотая спираль тесно связана не только с золотым сечением, которое принято как-то связывать с эстетикой (вроде бы, золтое сечение соответствует самой эстетичной пропорции), но и со знаменитыми же числами Фибоначчи. Среди разного рода мистиков золотая спираль пользуется почетом, поскольку по их мнению она каким-то образом отражает загадочную природу человеческого духа и самой природы. Увы, мы тут не можем поддержать уважаемых мыслителей и мистиков. Та логарифмическая спираль, которую в качестве аналогии к структуре Я-состояний мы получили, существенно отличается от золотой спирали по параметрам.
В качестве ещё одного простого упражнения оценим время, необходимое для того, чтобы у Я-состояния как спирали "отрос" один целый виток.
Измеряя ход времени как текущее количество объектов тиронной структуры N, обозначим момент, в который у Я-состояния было C отпрысков как N1, а момент, когда их стало С+1 - как N2. Разница между двумя моментами времени - это и есть время, необходимое для того, чтобы у Я-состояния как спирали "отрос" еще один сегмент, то есть, у Я-состояния появился еще один отпрыск.
Воспользуемся полученным нами выше выражением, связывающим ожидаемое количество прямых отпрысков Я-состояния с общим количеством объектов в тироне. На его основе запишем:
Отсюда, используя приближение гармонического числа логарифмической функцией и объединяя два выражения получим:
Из этого следует, что время, необходимое для "отрастания" ещё одного витка спирали равно:
Любопытно, что за то время, пока у Я-состояния как у спиральной структуры появляется ещё один виток, общее количество объектов в порожденном тироне увеличивается ровно в e раз, где e - основание натуральных логарифмов, поскольку N2 = e*N1
Подведем промежуточный итог, и закрепим в памяти всё вышесказанное следующей (несколько условной) максимой: Я-состояния как "атомы сознания" имеют структуру бесконечно свитой внутрь логарифмической спирали.
1
http://www.cognitivist.ru/kernel/prologi/prologi_618.png
vladimirphizik vladimirphizik@gmail.com (11.03.2015 7:48)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER