Мы продолжаем исследование структуры Я-состояний, которая парадоксальным образом является одновременно и "внутренней" и "внешней", поскольку при развитии тиронной структуры, естественно порождаемой Я-состоянием, внутренние структурные части Я-состояния транслируются в его отпрысках. Таким образом, отпрыски Я-состояния, находясь "вне" его, одновременно являются и внутренними структурными частями породившего их Я-состояния.
С точки зрения исследования структурной организации Я-состояний особый интерес представляют прямые отпрыски Я-состояния, поскольку они отражают верхний порядок структурного строения Я-состояния, то есть, основные блоки, из которых оно сложено. Их исследованием мы и займемся в этом Прологе.
Прямые отпрыски - их количество и распределение
Мы знаем, что тироны являются фрактальными структурами в строгом смысле этого слова. Это означает, что семейство, порождаемое любым из Я-состояний тиронной структуры статистически неотличимо от всей тиронной структуры целиком. Поэтому, говоря о непосредственных отпрысках Я-состояний мы будем исследовать отпрысков родового Я-состояния тирона - они образуют второй уровень тиронной структуры. Выводы, к которым мы придем, будут справедливы для непосредственных отпрысков любого Я-состояния в тироне.
По мере развития тирона число его непосредственных отпрысков нарастает. Нарастает и их персистивность. Нас интересует динамика этих процессов, а также распределение отпрысков по персистивности - ясно, что они не равны в этом отношении друг другу.
Для начала разберемся, как увеличивается число отпрысков. Анализ позволяет установить, что, если степень развития тирона измерять общим количеством содержащихся в нём объектов N, среднее количество непосредственных отпрысков родового Я-состояния соответствует простому и красивому выражению:
Тут HN – гармоническое число от N.
Доказательство этого факта, и других выводов, о которых мы будем говорить в этом Прологе - в специальном математическом приложении.
Поскольку гармонический ряд расходится (хотя и очень медленно), то есть, не сходится к определенному конечному числу, это значит, что потенциально структура Я-состояния состоит из бесконечного числа частей - даже на первом, верхнем порядке структурного строения. Разумеется, в каждый момент времени различимыми оказывается лишь конечное число структурных частей Я-состояния - это число соответствует наблюдаемому количеству его прямых отпрысков - но следует считать, что мы видим лишь те структурные части, которые в данный момент оказываются выше предела различимости.
По мере развития тирона персистивность, масштаб Я-состояния увеличивается. Вместе с этим его структурные части "раздуваются" и выше порога различимости оказываются все новые структурные части. Для наблюдателя это выглядит как постепенное увеличение наблюдаемого количества прямых отпрысков Я-состояния:
Персистивность отпрысков Я-состояния в среднем тем выше, чем раньше они появились в структуре тирона. Выясним, как они распределяются в этом отношении.
Сначала прибегнем к числовым опытам. Вот ранговое распределение объектов второго уровня тирона по персистивности для двух опытных тиронов, состоящих из 8061 и 94932 объектов (то есть, на порядок различающихся по степени развития):
Как видим, в обоих случаях ранговое распределение прямых отпрысков родового Я-состояния близко к простой экспоненциальной функции. Действительно, можно показать аналитически, что ожидаемое распределение соответствует уравнению:
Спиральная структура Я-состояний
Из полученного нами уравнения распределения следует, что персистивность отпрысков Я-состояния (а значит, и "размеры" его структурных частей) соответствует геометрической прогрессии:
Этот примечательный факт позволяет иллюстрировать структуру Я-состояния как логарифмическую спираль, образованную сегментами A-B, B-С, и т.д.:
Особенность логарифмической спирали заключается в том, что длины сегментов в соседних витках спирали образуют геометрическую прогрессию. Так что мы можем сопоставить с самой крупной структурной частью Я-состояния самый длиный сегмент спирали А-В, со второй по величине частью - сегмент B-C, и т.д.
Заметим, что теоретически число сходящихся витков логарифмической спирали может быть бесконечно, но на любом изображении мы способны видеть лишь некоторое их количество - насколько позволяет уровень различимости. Например, если масштаб различимости соответствует размеру серой области на диаграмме, мы увидим всего лишь два полных витка спирали, то есть, две структурных части Я-состояния или два его отпрыска. Остальные же оказываются ниже предела различимости - и их, как сходящихся витков в спирали, может быть сколь угодно много.
Далее, происходящее в процессе развития тирона увеличение персистивности Я-состояния, которое также сопровождается увеличением количества наблюдаемых его прямых отпрысков интуитивно убедительно понимается как развитие, раскручивание спиральной структуры вовне, во время которого из серой зоны появляются новые различимые сегменты:
Природа дает нам симпатичный пример очень похожего процесса развития:
Альтернативно мы можем смотреть на процесс развития Я-состояния как на увеличение масштаба спиральной структуры, что также приводит к увеличению количества видимых сегментов:
К слову, заметим, что логарифмическая спираль с бесконечным числом витков внутрь является фракталом особого рода, она обладает точным самоподобием, так что при её общем увеличении отдельная часть всей спирали оказывается точно такой же, какой она была целиком до увеличения (см. на рисунке бледные серые линии подобия).
Итак, живописной иллюстрацией структурной организации Я-состояния является логарифмическая спираль. В этой аналогии длина сегментов спирали соответствует величине "кусков" Я-состояния, то есть, персистивности его прямых отпрысков. Аналогия не только отражает тот факт, что "размеры кусков" Я-состояния образуют геометрическую прогрессию, но и даёт наглядное объяснение потенциальной бесконечности общего количества этих кусков, и того, как они в процессе развития тирона возникают над уровнем различения - это выглядит как появление у Я-состояния новых наблюдаемых прямых отпрысков.
Аналогия действительно хорошая, но хотим ли мы сказать, что Я-состояния действительно имеют какую-то спиралеобразную структуру? Разумеется, нет. Логарифмическая спираль - геометрическая пространственная фигура, а Я-состояния в общем случае не имеют пространственной размерности. Однако, как бы то ни было, спираль является весьма удобной и содержательной аналогией, и поэтому впредь, говоря о структуре Я-состояний, мы будем говорить о ней как о спиральной структуре. А сама логарифмическая спираль будет для нас символом Я-состояний. (Читатель сайта КОГНИТИВИСТ наверняка встречал уже этот символ - им мы изображали гештальты. Полагаю, теперь понятно, почему.)
Мы можем ещё более уточнить "спиральную аналогию" и вычислить параметры логарифмической спирали, которая лучше всего подходит для иллюстрации структуры Я-состояний.
Проще всего уравнение логарифмической спирали выглядит в полярных координатах. Напомню, что в них положение точки определяется на парой X-Y, а расстоянием точки от центра полярных координат (это расстояние называется радиусом r) и углом θ ("тэта") относительно какого-то нулевого направления (скажем, относительно "направления на север" - если вы плохо знакомы с полярной системой координат, рекомендую простое разъяснение):
В полярной системе координат уравнение логарифмической спирали выглядит очень просто:
Параметр a отвечает только за размеры спирали и не влияет на её форму. Параметр b - важнее, от него зависит угол, с которым расходится спираль (этот угол называют наклоном спирали) и направление раскручивания (по часовой стрелке или против):
В нашей аналогии мы сопоставляли длины дуговых сегментов спирали (витков) А-B, B-С и т.д. с отдельными частями Я-состояния, которые образуют геометрический ряд с показателем 1/e. Это значит, например, что длина дугового сегмента A-B должна быть ровно в e раз больше длины сегмента B-C и т.д. Каким для этого должен быть параметр b в уравнении логарифмической спирали?
Поскольку логарифмическая спираль самоподобна, то отношение длины дугового сегмента А-B к длине прямого радиального отрезка А-B равно отношению длины дугового сегмента B-С к длине прямого радиального отрезка B-С. Значит, если дуговой сегмент A-B по длине в e раз больше длины дугового сегмента B-C, то точно также должны соотноситься и прямолинейные отрезки A-B и B-C.
Пусть координата точки C задается уравнением:
Тогда, поскольку в точке B спираль совершает один дополнительный полный виток по сравнению с точкой C, координаты точки B соответствуют уравнению:
Точно также устанавливаем координаты для точки А:
Запишем требование отношения длин прямых отрезков А-B и B-С:
Для такого значения параметра b угол наклона спирали равен примерно 9 градусам (именно такая спираль изображена выше). Занятно, что известные примеры логарифмических спиралей в природе часто (но не всегда) имеют близкие углы наклона, например:
Раковина моллюска Наутилус
Атмосферный циклон
Спиральная галактика Messier 74
Установлено, например, что наша галактика Млечный путь является спиральной галактикой, состоящей из двух спиралевидных рукавов. Угол наклона каждого составляет около 12 градусов (хотя известны галактики с углами наклона спирали от 5 до 20 градусов).
Говоря о логарифмических спиралях, нельзя не упомянуть так называемую золотую спираль - в ней параметр b привязан к знаменитому золотому сечению:
Золотая спираль имеет существенно более высокий угол наклона (около 17 градусов), чем та, которую мы получили, и поэтому раскручивается быстрее:
Золотая спираль тесно связана не только с золотым сечением, которое принято как-то связывать с эстетикой (вроде бы, золтое сечение соответствует самой эстетичной пропорции), но и со знаменитыми же числами Фибоначчи. Среди разного рода мистиков золотая спираль пользуется почетом, поскольку по их мнению она каким-то образом отражает загадочную природу человеческого духа и самой природы. Увы, мы тут не можем поддержать уважаемых мыслителей и мистиков. Та логарифмическая спираль, которую в качестве аналогии к структуре Я-состояний мы получили, существенно отличается от золотой спирали по параметрам.
В качестве ещё одного простого упражнения оценим время, необходимое для того, чтобы у Я-состояния как спирали "отрос" один целый виток.
Измеряя ход времени как текущее количество объектов тиронной структуры N, обозначим момент, в который у Я-состояния было C отпрысков как N1, а момент, когда их стало С+1 - как N2. Разница между двумя моментами времени - это и есть время, необходимое для того, чтобы у Я-состояния как спирали "отрос" еще один сегмент, то есть, у Я-состояния появился еще один отпрыск.
Воспользуемся полученным нами выше выражением, связывающим ожидаемое количество прямых отпрысков Я-состояния с общим количеством объектов в тироне. На его основе запишем:
Отсюда, используя приближение гармонического числа логарифмической функцией и объединяя два выражения получим:
Из этого следует, что время, необходимое для "отрастания" ещё одного витка спирали равно:
Любопытно, что за то время, пока у Я-состояния как у спиральной структуры появляется ещё один виток, общее количество объектов в порожденном тироне увеличивается ровно в e раз, где e - основание натуральных логарифмов, поскольку N2 = e*N1
Подведем промежуточный итог, и закрепим в памяти всё вышесказанное следующей (несколько условной) максимой: Я-состояния как "атомы сознания" имеют структуру бесконечно свитой внутрь логарифмической спирали.
