КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 58. Спиральная структура
Математическое приложение 5
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
Математическое приложение 5
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Математическое приложение 5
 
Роман Уфимцев
3 октября 2012 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 58 приводятся доказательства уравнений, описывающих структуру Я-состояний.
1. Число отпрысков объекта в зависимости от его персистивности
С ростом персистивности некоторого объекта тирона нарастает и число его непосредственных отпрысков. Однако, связь между персистивностью объекта и числом его отпрысков статистическая, а значит, при заданной персистивности объекта τ число его отпрысков C является случайной величиной, которая характеризуется своим средним значением.
Покажем, что для объекта, достигшего персистивности τ среднее число его непосредственных отпрысков равно гармоническому числу от τ:
Рассмотрим некоторый объект тирона. Налетающие на тирон частицы попадают в распоряжение тех или иных объектов тирона, и лишь некоторые попадают в распоряжение нашего объекта. Но мы будем учитывать только их, поскольку остальные не влияют на исследуемый вопрос. Таким образом, будем считать, что за один шаг времени изучаемый объект получает в свое распоряжение ровно одну налетающую частицу.
Вероятность того, что попавшая в распоряжение объекта частица станет его отпрыском, определяется уравнением терминальной вероятности:
В процессе эволюции тирона персистивность объекта нарастает от 1 (появление объекта в тироне) до некоторого значения τ. Вместе с ростом персистивности в соответствии с этим уравнением снижается вероятность появления отпрысков. Исходя из этого найдем ожидаемое (среднее) число отпрысков для объекта, достигшего персистивности τ.
Для начала немного упростим задачу и будем считать, что персистивность объекта в каждый момент времени нарастает на 1 даже если у него в этот момент появляется отпрыск (на самом деле если появляется отпрыск, персистивность объекта не увеличивается). Тогда в первый момент времени, когда объект имеет персистивность τ = 1, вероятность появления отпрыска у объекта равна 1/(1+1) = 1/2. Во второй момент времени, когда τ = 2, вероятность появления отпрыска 1/(2+1) = 1/3, и т.д. Наконец, для объекта, имеющего финальную персистивность τ = τfin, вероятность появления отпрыска равна 1/(τfin+1). Тогда ожидаемое число отпрысков в процессе роста объекта равно сумме:
Однако, теперь нужно внести поправку, связанную с тем, что если в какой-то момент времени у объекта появляется отпрыск, его персистивность не нарастает. Например, если объект имеет персистивность τ = 1, и у него с появляется отпрыск (а это происходит с вероятностью 1/2), объект сохраняет свою персистивность. В следующий момент времени у него может вновь появиться отпрыск - это случится с вероятностью 1/2*1/2 = 1/4, и при этом его персистивность тоже не увеличится. В следующий момент времени может появиться и третий подряд отпрыск, и это случится с вероятностью 1/2*1/2*1/2 = 1/8, и т.д. В конечном итоге, мы получаем бесконечную сумму вероятностей:
То есть, в среднем объект, сохраняющий единичную персистивность, приобретет ровно одного отпрыска, прежде, чем его персистивность увеличится до 2. Заметим, что до поправки получалось, что на этом этапе объект приобретет только "пол-отпрыска" (вероятность 1/2).
Аналогично рассмотрим объект, уже имеющий персистивность 2. В этом случае бесконечная сумма выглядит как:
То есть, с вероятностью 1/2 объект, сохраняющий персистивность τ = 2, приобретет одного отпрыска - до поправки получалось 1/3.
Аналогично для любой текущей персистивности τ сумма вероятностей равна:
Таким образом, с учетом поправки, общее ожидаемое (среднее) число отпрысков у объекта, достигшего персистивности τfin равно:
Тут Hx – гармоническое число от x.
2. Распределение отпрысков объекта по количеству их отпрысков
С ростом персистивности родового объекта растет количество его отпрысков. В свою очередь, они сами накапливают отпрысков. Мы хотим показать, что ранговое распределение отпрысков объекта по количеству их собственных отпрысков соответствует линейной функции:
где N - общее количество объектов в семействе родового объекта (в порожденном им тироне).
Рассмотрим начало развития тирона, абстрагируясь от персистивности объектов, то есть, рассматривая их как одинаковые узлы. Вероятность появления отпрысков у каждого объекта в каждый момент времени развития тирона одинакова, так что в течение некоторого периода времени у всех уже имеющихся в структуре узлов появится по одинаковому числу отпрысков. Выберем последовательные промежутки времени таким образом, что в течение каждого следующего у имеющихся в структуре объектов появляется по одному отпрыску. Тогда первые четыре этапа развития структуры будут выглядеть в среднем так:
Нас интересуют узлы второго уровня и число их отпрысков. Легко понять, что на любом этапе развития структуры среди них будет ровно один узел, не имеющий отпрысков, ровно один - имеющий одного отпрыска, ровно один - имеющий двух отпрысков, и т.д. Если всего на втором уровне имеется S отпрысков, то самый плодовитый из них будет иметь S-1 отпрысков.
Основываясь на этом, мы можем записать простое линейное уравнение рангового распределения объектов второго уровня по количеству их отпрысков:
Как мы установили выше, для родового объекта, имеющего персистивность τ, ожидаемое количество его непосредственных отпрысков равно Hτ. Это количество равно количеству объектов на втором уровне S. Это значит, что мы можем записать уравнение так:
Наконец, нам известно, что ожидаемся персистивность родового объекта тирона τ равна общему количеству объектов в структуре тирона N (это следует из того факта, что объекты тирона распределяются по персистивности в соответствии с законом Зипфа, а самым персистивным объектом тирона обычно является родовой объект). Поэтому мы можем записать:
Сопоставим этот результат с опытными данными на примере тирона, состоящего из 6769 объектов. Вот ранговое распределение объектов второго уровня по количеству их непосредственных отпрысков:
Значение гармонического числа от N в данном случае равно около 9,4, так что согласие с теоретическим уравнением распределения вполне удовлетворительное.
3. Распределение отпрысков объекта по персистивности
Покажем, что для родового объекта, семейство которого состоит из N объектов, ранговое распределение его непосредственных отпрысков по персистивности соответствует экспоненциальному уравнению:
Мы установили выше, что ранговое распределение отпрысков родового объекта по количеству их отпрысков соответствует уравнению:
Мы знаем также, что для объекта, достигшего персистивности τ ожидаемое количество непосредственных отпрысков равно:
Используя приближение гармонического числа логарифмической функцией, из последнего получим:
где γ - константа Эйлера-Машерони.
Совмещая с уравнением рангового распределения объектов по количеству отпрысков, получим:
Тут мы вводим поправочный коэффициент A, который необходим для коррекции приближений. Его значение мы найдем исходя из того факта, что в развитом тироне суммарная персистивность объектов второго уровня должна быть равна персистивности объекта первого уровня, а значит, должна быть равна и общему количеству объектов в тироне N. Запишем это условие, суммируя персистивность всех объектов второго уровня:
Из этого, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим:
Отсюда, для развитого тирона, то есть, при большом N, имеем:
То есть,
Окончательно получаем:
Проверим это уравнение на опытных данных, полученных выше. Вот ранговое распределение объектов второго уровня по персистивности:
Распределение удовлетворительно укладывается на теоретическую экспоненциальную функцию, хотя коэффициент при ней только по порядку соответствует теоретическому значению (e-1)*6769 = 11631 - результат стохастичности процесса развития тирона.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER