КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 63. Апекс Я-состояний
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 63. Апекс Я-состояний
 
Роман Уфимцев
31 октября 2012 года, Калининград
В этом Прологе мы продолжим изучение структуры Я-состояний, введем новые полезные термины и познакомимся с важным примером природного Я-состояния. Кроме того, мы рассмотрим некоторые вопросы структурной статистики Я-состояний, имещие практическое значение.
Апекс
Ещё раз запишем основные уравнения, описывающие структуру Я-состояния. Персистивность ("размеры") структурных частей Я-состояния соответствуют геометрическому ряду:
где N - общее количество объектов в тироне. При этом номер последнего члена этого ряда n в каждый момент времени определяется условием:
С развитием тирона расширяется и ряд, при этом количество структурных частей родового Я-состояния тирона n растет пропорционально логарифму общего числа объектов в тироне N (мы говорили, что величина ln(N) является характерной мерой размера или возраста тирона):
Поскольку количество структурных частей может быть только целочисленным, последнее выражение выделяет моменты в развитии тирона, в которые в структуре родового состояния возникают новые структурные части единичной персистивности (n увеличивается на 1). Рассмотрим процесс развития структуры родового Я-состояния тирона между двумя такими моментами:
Пусть в первый рассматриваемый момент времени родовое Я-состояние раскрылось до второй структурной части (2). Появляясь, она имеет минимальную единичную персистивность, и заметим, что её появление выглядит как "отпочковывание" от изначально единственной структурной части (1). То есть, до этого момента структура Я-состояния состоит всего из одной части, и мы воспринимаем Я-состояние как нечто не имеющее структурных частей, как нечто единое. Фактически, появление второй структурной части - это и есть начало развития различимой структуры Я-состояния. В этот момент персистивность частей (1) и (2) соотносятся в натуральной пропорции (это отношение мы обозначаем зелёным пунктиром), и, поскольку персистивность части (2) в этот момент равна 1, то персистивность части (1) равна e-1. То есть, первое "отпочковывание" выглядит как разделение прежде единого, не имеющего различимой структуры объекта в соответствии с натуральной пропорцией:
Далее, с дальнейшим развитием тирона, происходит рост персистивности ("размеров") двух частей, при этом в целом натуральная пропорция между ними сохраняется. Новый важный рубеж наступает, когда часть (2) в процессе роста достигает персистивности e. В этот момент от неё отпочковывается еще одна часть, (3) и общее количество структурных частей Я-состояния достигает трех. Это отпочковывание происходит точно так же, как и отпочковывание части (2) от части (1) - исходная часть делится на две, имеющие, соответственно, персистивность e-1 и 1. В результате в структуре Я-состояния возникает вторая натуральная пропорция: первая связывает часть (1) с суммой частей (2) и (3), вторая связывает части (2) и (3).
Так в процессе развития тирона и раскрытия структуры Я-состояния возникают всё новые каскады натуральных пропорций, которые и образуют геометрический ряд, который мы рассматривали с информационной точки зрения в предыдущем Прологе:
Итак, хотя в процессе развития тирона и раскрытия Я-состояния изменению подвергаются все уже раскрытые структурные части - они увеличивают свою персистивность - самые заметные изменения в структуре связаны с появлением новых структурных частей. Моменты их появления отмечают важные стадии в развитии структуры Я-состояния. Хронологически последнюю появившуюся часть структуры Я-состояния мы будем называть апексом Я-состояния. Этим словом обозначают точки роста растений, расположенные на окончаниях растущих ветвей или корней. Биологически эти точки интересны тем, что они образованы особыми "универсальными" клетками, которые ещё не приобрели признаки тех или иных тканей растения (в этом смысле они аналогичны стволовым клеткам в организмах животных). По аналогии, апекс Я-состояния - это точка его структурного роста, своего рода "стволовая клетка" Я-состояния. Сравнивая раскрывающуюся структуру Я-состояния с развивающейся логарифмической спиралью, апекс - это фокус спирали, точка, из которой она развивается:
Как мы выяснили в предыдущем Прологе, апекс Я-состояния обладает максимумом эффективной информации среди других частей Я-состояния, и в момент появления новой части её эффективная информация равна её номеру, если исчислять информацию в натуральных единицах, натах. Кроме того, апекс - это часть Я-состояния, способная вызвать максимальное впечатление - в том смысле, который мы обсуждали в связи с законом Вебера-Фехнера. В несколько вольной интерпретации, апекс Я-состояния - это его самая интересная или привлекающая внимание часть. Впрочем, как мы убедимся со временем, эта интерпретация не такая уж вольная.
Обратимся теперь к важному примеру Я-состояния - к живому организму как биологической структуре.
Иллюстрация: развитие эмбриона
Возможно, одну из самых фундаментальных картин развития структуры Я-состояния даёт нам биология развития эмбрионов, особенно первых стадий, когда рост биологической сложности эмбриона ещё не маскирует базовые механизмы развития. Рассмотрим первые этапы развития эмбриона млекопитающих:
С момента оплодотворения яйцеклетки она в течение нескольких дней находится в "свободном плавании", подвергаясь бинарному делению - сначала она превращается в 2 одинаковые клетки, затем - в четыре, в восемь, и т.д. На этой фазе эмбрион именуется морулой. Конечной целью движения морулы является матка, к стенкам которой она должна присоединиться для дальнейшего развития. Однако, к моменту прибытия в матку, морула должна превратиться в бластоцит - клеточную структуру, состоящую из двух типов клеток. То есть, бластоцит - результат первой дифференциации клеток эмбриона. Большая их часть образует кокон, трофобласт - со временем он превратиться в плаценту, окружающую эмбрион. Вторая, менее многочисленная часть клеток образует находящийся внутри кокона эмбриобласт (или "Inner cell mass", ICM) - собственно, зачаток будущего организма. По данным эмбриологов, к моменту присоединения бластоцита к стенке матки, он обычно состоит из 32-36 клеток, из которых 12 образует эмбриобласт, а остальные - трофобласт. Взяв среднее отношение 34:12, мы получим значение 2,833..., что весьма близко к натуральной пропорции e:1 = 2,72..:
Заметим, что апексом этой натуральной пропорции является именно эмбриобласт. Далее, на второй фазе, уже после имплантации бластоцита в стенку матки, эмбриобласт подвергается разделению на эпибласт и гипобласт. Из них лишь гипобласт в процессе дальнейшей дифференциации и развития порождает клетки будущего организма. (К сожалению, автору не удалось отыскать более-менее конкретных сведений по характерному соотношению количества клеток в эпибласте и гипобласте после их разделения). Далее, гипобласт разделяется на энтодерму и мезодерму, из которых позже в процессе дальнейшей дифференциации формируются конкретные органы и системы организма - причём, энтодерма порождает кишечник и связанные с ним железы, а мезодерма - скелет, кровеносную, дыхательную и нервную системы. Таким образом, мы можем выделить несколько каскадов развития эмбриона как Я-состояния:
Можно предположить, что на каждом каскаде дифференциации тканей эмбриона апексом являются части эмбриона, которые оказываются самыми биологически "продвинутыми", и эволюционно более поздними - это хорошо согласуется со взглядом на эволюцию как на тирон. Если эта гипотеза верна (а есть основания так считать), то это дает нам эмпирическую подсказку в наблюдении развития структуры Я-состояний самой разной природы - не только биологических, но и социально-когнитивных. Например, говоря о социальных организмах как о развивающихся Я-состояниях, их апексом является текущий фокус общественного внимания. Впрочем, мы об этом будем говорить позже и обстоятельнее.
Мы говорили о том, что логарифмическая спираль является удобной аналогией структуры Я-состояния. Говоря о развитии эмбрионов, уместно обратить внимание на характерную общую черту ранних стадий развития эмбрионов различных животных (и даже насекомых) - в них очевидно просматривается спиралеобразность общей формы эмбриона, причем спираль является логарифмической:
Читатель может найти в интернете множество изображений эмбрионов различных живых организмов, чтобы убедиться в том, что во многих случаях спираль ясно читается в общей их форме. При этом для позвоночных животных позвоночник укладывается собственно на линию развивающейся спирали, а апекс спиральной структуры оказывается в районе головного мозга эмбриона - то есть, в области развития самой биологически сложной части организма. Разумеется, можно найти "физическое" объяснение общей спиралевидности эмбрионов. Геометрический рост длины и объема эмбриона происходит в округлой тесной полости (например, у птиц - внутри яйца), так что спиралевидная форма является естественным результатом. Однако, как бы то ни было, эмбрионы оказываются наглядной иллюстрацией развития структуры Я-состояний.
Но это, может быть, ещё не всё. Если развитие эмбриона проходит как развитие спиральной структуры Я-состояния, это должно иметь свои следствия и в пропорциях формы взрослого, полностью развитого организма. Например, у художников в ходу 8-частная схема пропорций человеческого тела, и если сопоставить её с каскадом натуральных пропорций, которыми описывается структура Я-состояния, мы увидим любопытные параллели:
Первый каскад задаёт натуральную пропорцию между полным ростом человека и высотой его тела выше пояса. Апексом является верхняя часть тела. Художники описывают эту пропорцию как 3:8 ≈ 0,375, а нас - 1:e ≈ 0,368. Далее, второй каскад задаёт натуральную пропорцию между общей высотой верхней части тела к высоте головы. Апексом является голова. Художники описывают пропорцию между полным ростом и высотой головы как 1:8 = 0,125, а у нас получается 1:e2 ≈ 0,135. Это несколько больше, чем получается по восьмичастной схеме, однако, например, в канонической (и весьма любимой энтузиастами золотого сечения) иллюстрации Леонардо да Винчи размер головы человека соотносится с общей высотой тела в точности как 1:e2 (а размер головы на восьмичастной схеме несколько преуменьшен, по мнению автора).
Фрактальная структура тиронов и Я-состояний
Мы говорили, что характерным спутником фрактальных структур - например, тиронов - является степенная статистика, а именно, степенные распределения размеров структурных частей. "Размерами" в каждом конкретном случае могут выступать разные величины. Для городов как структурных частей социально-географических фракталов это численность населения. Для речных систем как фракталов - площадь речных бассейнов. Для текстов как фракталов - частотность слов, и т.д. Удобным способом выделения и анализа степенной статистики являются ранговые распределения - они легко строятся и экономно используют данные. Однако, в теоретических изысканиях и вообще в научной практике чаще применяются частотные распределения. И обычно если частотное распределение величины соответствует степенной функции, то степенной функции соответствует и её ранговое распределение - разным оказывается только показатель степени. Например, если показатель степени рангового распределения β равен 1, то есть, мы имеем закон Зипфа, показатель частотного распределения будет равен 2.
В целом, если мы имеем дело со степенной статистикой, между показателем рангового распределения β и показателем частотного распределения a действует соотношение:
Полный вывод этого выражения, а также разъяснение математической связи между частотными и ранговыми распределениями - в Математическом приложении 6, параграф "1. Получение RDF из PDF и обратно".
Но не всегда степенная статистика структурных частей фракталов так "лояльна" к обоим типам распределений - ранговым и частотным. В действительности, в этом отношении четко различается два типа фракталов. Нам будет разобраться в их различиях.
Хорошим примером идеального фрактала первого типа является хорошо знакомый нам ковёр Серпинского:
В одном из первых Прологов, показывая степенную природу фракталов, мы установили, что, если обозначить площадь центральной дыры в ковре Серпинского как 1, то:
где n - номер каскада во фрактале. Степенная статистика такого рода фракталов связана как раз с тем, что на каждом каскаде фрактала структурные части становятся кратно меньше, но при этом их становится кратно больше - это приводит к степенной форме и ранговых и частотных распределений.
Аналогичными выражениями мы можем представить уменьшение размера и увеличения количества структурных частей любого идеального фрактала (или условных структурных частей - дыры в ковре Серпинского можно назвать "частями" только условно):
где g - положительное число, и h - целое положительное число. Можно показать, что структурная статистика фрактала соответствует ранговому степенному распределению, в котором показатель степени:
Например, для ковра Серпинского g=4 и h=3, значит β = ln(3)/ln(4).
Однако, взглянем на другой фрактал:
В нем в качестве структурных частей выступают треугольники, площадь которых уменьшается в 4 раза с каждым каскадом фрактала - также, как в ковре Серпинского. Однако их количество не умножается - на каждом каскаде имеется по одному треугольнику. Какое же значение β мы получим для такого фрактала? Подставляя g=4 и h=1 в выше приведенное выражение, мы получим, что показатель степенного рангового распределения β обращается в бесконечность. Эта "странность" отражает тот факт, что в действительности ранговое распределение частей этого фрактала отвечает не степенной, а показательной статистике, то есть, уравнение рангового распределения имеет форму показательной функции:
Мы будем называть фракталы, в которых на каждом каскаде происходит умножение количества частей - как в ковре Серпинского - каскадными фракталами. Для них h > 1. Напротив, фракталы, для которых h = 1, то есть подобные нашему последнему примеру, мы будем именовать спиральными фракталами, имея в виду, что самым простым примером такого фрактала является обыкновенная логарифмическая спираль.
Структура спирального фрактала может быть "нанизана" на логарифмическую спираль или на прямую линию (которую можно рассматривать как крайне растянутую логарифмическую спираль), например:
К слову, из простых соображений самоподобия легко вывести и уравнение спирали в данном случае:
Пусть подтверждение этого результата будет приятным упражением для читателя.
Ещё одна особенность спиральных фракталов - в отличие от каскадных фракталов, их размерность Хаусдорфа всегда целочисленная. Например, этот фрактал имеет размерность D = 2, а пронизывающая его логарифмическая спираль - размерность D = 1. О причине такого положения дел легко догадаться - она в том, что для спиральных фракталов h = 1.
При показателе a = e уравнение рангового распределения спирального фрактала превращается в экспоненциальную функцию:
Именно такому распределению соответствует статистика размеров структурных частей Я-состояния, поэтому мы можем считать Я-состояния спиральными фракталами.
Занятная особенность спиральных фракталов состоит в том, что несмотря на то, что их ранговая статистика не является степенной, а соответствует показательной или экспоненциальной функции, их частотная статистика всё равно отвечает степенной функции - и это именно тот случай когда степенное частотное распределение не означает и степенной формы рангового распределения.
Конкретно, частотное распределение размеров структурных частей спиральных фракталов имеет степенную форму, отвечающую уравнению:
В частности, размеры структурных частей Я-состояния, которые образуют геоемтрическую прогрессию с основанием e, имеют уравнение частотного распределения:
где n - общее количество структурных частей Я-состояния.
Вывод, применительно к показателю прогрессии a = e, - в Математическом приложении 6, параграф "2. Частотное распределение структурных частей Я-состояния".
Полезно свести полученные нами результаты в общую таблицу:
В ней сопоставлена структурная статистика частей тирона в целом и структурная статистика отдельного Я-состояния: мы видим, что тут имеется своего рода созвучие, симметрия: если для тирона в целом форму 1/x имеет ранговое распределение, то для отдельного Я-состояния такую форму имеет частотное распределение. Интересно также, что частотное распределение тирона в целом имеет форму 1/x2, а отдельного Я-состояния - форму 1/x. Это значит, что в некотором смысле структура родового Я-состояния, раскрытая в объектах второго уровня тирона, есть интеграл всей структуры тирона, поскольку:
Из всего сказанного нужно сделать два вывода: 1) не всегда фракталы демонстрируют степенную статистику. Конкретно, спиральные фракталы в ранговых распределениях обладают показательной или экспоненциальной статистикой. 2) Тироны в целом и Я-состояния с точки зрения их внутренней структуры являются фракталами - хотя тироны относятся к более традиционным каскадным фракталам, а Я-состояния являются спиральными фракталами.
С первых Прологов мы полагали сигнатуру β = 1, то есть, соответствие ранговой статистики феномена закону Зипфа, признаком когнитивного порядка. Действительно, именно такой статистикой обладает структура тирона. Однако, теперь мы можем внести дополнение, которое лучше выразить в терминах частотных распределений: сигнатурой когнитивного порядка является соответствие частотной структурной статистики явления степенной функции с показателем -2 (статистика тирона) или -1 (структурная статистика отдельного Я-состояния).
Этот Пролог - юбилейный. Примерно год назад, 27 октября 2011-го было опубликовано вступление к Прологам, и автор не предполагал тогда, что всего год спустя мы доберемся уже до 63-й части - а впереди ещё необозримое множество увлекательных тем и вопросов, которые мы лишь слегка затронули или вообще таких, о которых мы даже не начинали ещё говорить. Всё впереди!
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER