КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 63. Апекс Я-состояний
Математическое приложение 6
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
Математическое приложение 6
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Математическое приложение 6
 
Роман Уфимцев
31 октября 2012 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 63 и Прологу 64 приводятся доказательства уравнений и утверждений, описывающих структуру Я-состояний.
1. Получение RDF из PDF и обратно
В качестве справки, которую полезно иметь где-то под рукой, вот алгоритм получения рангового распределения какой-либо случайной величины из её частотного распределения или распределения плотности вероятности. Обозначим как
PDF - функция частотного распределения случайной величины (Probability Density Function).
СDF - функция кумулятивного распределения случайной величины (Cumulative Distribution Function).
RDF - функция рангового распределения случайной величины (Rank Distribution Function).
Мы имеем уравнение PDF, и наша задача получить уравнение RDF. Первый шаг - вычисление CDF:
Тут xmin означает минимальное возможное значение случайной величины в распределении. Второй шаг - вычисление функции RDF:
Штрих означает обратную функцию. Полученная функция RDF в качестве аргумента имеет значения от 0 (примерно) до 1. Но нам в качестве аргумента нужен ранг, который принимает значения от 1 до n, где n - общее число замеров в распределении, поэтому третий шаг - переход к ранговому аргументу:
Двигаясь по алгоритму в обратную сторону можно наоброт получить из RDF(rank) функцию PDF.
В качестве примера, вычислим функцию RDF для степенного распределения (распределения Парето) с показателем степени a, для которого PDF выглядит так:
(Обратим внимание, что в такой формулировке функции PDF для степенного распределения значение a = 1 не имеет смысла - тогда плотность вероятности по всему диапазону значений величины x зануляется.)
1) Вычисляем CDF:
2) Находим RDF:
3) Переходим к ранговому аргументу:
Как видим, для степенного частотного распределения ранговое распределение также является степенным, при этом показатель рангового распределения β:
В частности, в случае показателя степенного рангового распределения β=1, то есть, при выполнении закона Зипфа, показатель степени частотного распределения равен 2. Обратим внимание, что для частотного распределения с показателем a = 1 мы получаем бесконечное значение β, что абсурдно.
2. Частотное распределение структурных частей Я-состояния
Найдём функцию PDF для функции экспоненциального (показательного) рангового распределения:
Будем двигаться по алгоритму получения RDF из PDF в обратном порядке.
1) Перейдем от рангового аргумента к аргументу y:
Тут n - общее количество объектов в распределении.
2) Находим обратную функцию и, затем, CDF:
3) Берём производную от CDF и получаем PDF:
Проверим эту функцию PDF на нормировку - её интеграл по всему диапазону значений x должен быть равен 1. Минимальное и максимальное возможное значение величины x определяется исходя из рангового уравнения RDF так:
Берём интеграл:
Таким образом, при больших n полученное выражение для функции PDF корректно по условиям нормировки.
Итак, функция частотного распределения для экспоненциального (показательного) рангового распределения, которому соответствуют персистивности структурных частей Я-состояния, является степенной функцией с показателем a = 1.
Отметим, что степенное частотное распределение с показателем 1 необходимо предполагает, что существует и какое-то предельно маленькое и какое-то предельно большое возможное значение величины x - в ином случае интеграл вероятности не сходится.
3. Достижение единичного порога
Докажем, что для превышения суммы в 1 необходимо суммировать в среднем e однородно распределенных случайных чисел в диапазоне от 0 до 1.
Чтобы посчитать среднее какой-либо дискретной величины (а у нас она дискретная, поскольку речь идет о количестве необходимых слагаемых) нужно взять сумму по произведениям возможных значений этой величины k и вероятности появления соответствующего значения P(k):
Наша задача - установить значение P(k), то есть, вероятность, с которой единичный порог будет преодолён случайным слагаемым с номером k.
Во-первых, отметим, что по очевидным соображениям ни при каких обстоятельствах для превышения единичного порога не будет достаточно одного случайного числа от 0 до 1. То есть, P(1) = 0.
Рассмотрим теперь ситуацию с двумя случайными числами - обозначим их как x1 и x2. С какой вероятностью их сумма будет больше 1?
Прибегнем к геометрическому методу, построим пространство возможностей в виде графика, в котором по оси X мы отложим возможные значения x1, а по оси Y - возможные значения x2:
По очевидным соображениям, сумма величин x1 и x2 будет больше единицы в том случае, если соответствующая им точка будет находиться в зелёной части всего квадратного пространства возможностей. Площадь зелёной части относится к площади всего квадрата как 1:2, значит, вероятность того, что сумма двух случайных величин x1 и x2 превысит 1, равна 1/2. То есть, P(2) = 1/2. С той же вероятностью она окажется меньше 1.
Перейдем от геометрического представления к аналитическому - для этого запишем площадь серой части фигуры как интеграл по двум переменным. Заметим, что мы будем считать площадь серой части, а значит результат у нас будет соответствовать вероятности того, что сумма величин x1 и x2 окажется меньше 1 (эти "меньшевистские" вероятности мы будем обозначать малой p):
Теперь ответим на следующий вопрос, с какой вероятностью три случайные величины x1, x2 и x3 окажутся в сумме меньше 1? Геометрически пространство возможностей образует куб единичного объема, а искомая вероятность соответствует объему серой части:
Этот объем (и, соответственно, искомую вероятность) удобнее считать в аналитическом интегральном представлении:
Значит, наоборот, вероятность того, что сумма трёх случайных величин окажется больше 1 равна 1-1/6 = 5/6.
Далее, посчитаем вероятность того, что сумма четырех случайных величин окажется меньше 1. Тут мы уже не сможем использовать геометрическое представление, но легко понять, каким будет соответствующее интегральное выражение:
Индуктивно продолжая, мы выясним, что если у нас имеется k случайных величин от 0 до 1, то вероятность того, что их сумма не превысит 1 равна:
Значит, наоборот, вероятность того, что их сумма превысит 1 равна:
Заметим, однако, что это вероятность того, что суммы из k случайных величин хватит, чтобы превысить 1, а не того, что для этого потребуется ровно k случайных величин. Чтобы вычислить вероятность того, что единичный порог превысит именно слагаемое с номером k нужно вычислить разность:
Например, вероятность того, что единичный порог будет преодолен именно четвертым слагаемым равна разности вероятностей того, что вообще четыре слагаемых окажутся в сумме больше 1 и вероятностью того, что вообще три слагаемых окажутся в сумме больше 1.
Теперь подставляем полученный результат в формулу вычисления среднего количества:
Перейдя к индекcу i = k-2, получим:
Последнее равенство опирается на представление числа e как бесконечной суммы обратных факториалов. Всё доказано.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER