КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 66. Критические случайные графы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 66. Критические случайные графы
 
Роман Уфимцев
5 декабря 2012 года, Калининград
Мы продолжаем поиски модели Я-состояния, которая, как мы установили, имеет структуру спирального фрактала, то есть, персистивности ("размеры") структурных частей образуют геометрическую прогрессию. Однако, наши поиски затрудняет тот факт, что эта геометрическая прогрессия опирается на натуральную пропорцию, то есть на отношение вида 1-1/e : 1/e где e - основание натуральных логарифмов. Найти простую и поддающуюся ясной трактовке генеративную модель натуральной пропорции оказалось не таким простым делом. Мы познакомились с одной такой моделью - "чашами терпения". Мы выяснили, что цепи таких чаш могут образовывать натуральную геометрическую прогрессию, а значит, и служить генеративной моделью структуры Я-состояния. Каждая "чаша терпения" является подобием нейрона, и потому в предыдущем Прологе мы предварительно познакомились с тем, что представляет собой нейрон.
Однако, тема нейронов необходимо приводит нас к понятию сетей - ведь и натуральные и искусственные нейроны объединяются в сети, и сами по себе нейроны не так интересны как их сетевые объединения.
Моделирование когнитивных феноменов как сетевых феноменов - исключительно важная и интересная тема. Сегодня в когнитивной науке уже говорят о "когнитивных сетях", которые могут обуславливать многие свойства когнитивных процессов в живой природе и обществе. Между прочим, и основополагающая для нас модель тирона является сетевой моделью, ведь тирон представляет собой древовидную структуру, или древовидный граф - а такие структуры являются одной из разновидностей сетей.
Итак, мы обращаемся к сетевому представлению когнитивных феноменов, и развивая эту тему, будем попутно осваивать термины "сетевой науки", знакомиться с полученными в этой бурно развивающейся сфере результатами. Но при этом наша задача - не ликбез. В первую очередь мы ищем генеративную модель Я-состояния, более простую, фундаментальную и удобную в трактовке, нежели модель "чаш терпения". И как мы вскоре увидим, сетевое моделирование позволяет найти нечто в этом роде.
"Молекулярная" модель натуральной пропорции
Ключевой структурообразующий "мотив" Я-состояния - натуральная пропорция. И для начала нас интересует какая-то предельно простая сетевая модель, которая могла бы порождать натуральную пропорцию без какой-то тонкой настройки параметров.
Представляю вашему вниманию "молекулярную" модель, которая, по-видимому, подходит на эту роль.
Пусть мы имеем множество из N частиц ("атомов"), которые объединены попарно в "молекулы":
Несколько слов о терминологии. Сетевые структуры (или, как их называют в математике, графы) образованы частицами и связями между ними. Частицы мы будем именовать узлами, хотя в теории графов их именуют вершинами. Связи мы так и будем называть связями, хотя в науке их называют ребрами. (Не слишком интуитивно удобные научные названия ведут свою родословную из геометрии, в которой углы геометрических фигур, обычно трехмерных, естественно называть вершинами, а соединяющие их отрезки - ребрами. Но говоря об обобщенных сетевых структурах, удобнее всё же использовать "узлы" и "связи".)
Итак, мы имеем упорядоченный граф, состоящий из N узлов (вершин) и N/2 связей (ребер). Каждый из узлов имеет одну связь. В сетевой науке количество связей, присоединенных к узлу называют степенью узла. В нашей простой сети все узлы имеют степень 1.
Пусть теперь наша сеть начинает перестраиваться таким образом, что за каждый шаг времени одна из имеющихся связей совершенно случайно переключается на любые два других узла (или даже на те же самые). Иными словами, в каждый момент времени из всех имеющихся в сети связей случайно выбирается одна и случайным же образом переводится на другие узлы. Например:
Заметим, что в первые моменты эволюции сети в ней начинают появляться узлы, вообще лишенные связей, то есть, имеющие нулевую степень. Вначале их количество увеличивается, но ясно, что это не может происходить бесконечно - после некоторого предела в каждый следующий момент их в среднем начинает появляться столько же сколько и исчезать, и можно предположить, что сеть постепенно приходит в некоторое равновесное, стационарное состояние.
Нас интересует доля узлов сети, имеющих нулевую степень в таком установившемся равновесном состоянии. Проведем числовой опыт, чтобы выяснить, правы ли мы насчет равновесного состояния, а также, каким именно оно является. Вот как выглядит изменение доли узлов нулевой степени в сети, состоящей из 500 узлов (эволюция длительностью 10 тыс. шагов времени):
Мы видим, что на первом этапе эволюции доля одиноких узлов растет линейно со временем. Это легко объяснимо, ведь в достаточно большой исходной сети в первые моменты каждое случайное изменение связей приводит к вероятному появлению 2 одиноких узлов - и так продолжается примерно до тех пор, пока случайные перестройки не затронут большую часть исходных "молекул".
Однако, затем сеть действительно приходит в равновесное состояние и оказывается, доля одиноких узлов в этом состоянии равна 1/e. То есть, в достигшей равновесия случайной сети количество одиноких, "пустых" узлов соотносится с числом узлов, имеющих хотя бы одну связь в натуральной пропорции, как 1-1/e : 1/e.
Этот результат выполняется для сети любого достаточно большого размера. В действительности, для получения сети, в которой доля узлов, имеющих нулевую степень составляет 1/e, не нужна эволюционирующая модель - в конечном итоге алгоритм случайной перестановки связей приводит к полностью случайной структуре. Достаточно лишь взять достаточно большой набор узлов, а затем случайно связывать их попарно, соблюдая только одно условие: в среднем, узлы сети должны иметь степень 1. Доказать этот факт не трудно.
Пусть мы имеем случайный граф, в котором N узлов и N/2 связей - то есть, в среднем, узлы имеют первую степень. Всего между N узлами потенциально может существовать N(N-1)/2 связей. Значит, поскольку граф случайный, вероятность того, что между любой парой узлов имеется связь, равна:
Соответственно, вероятность, что связь отсутствует равна 1-p. Далее, вероятность того, что какой-то конкретный узел вообще не имеет связей равна произведению вероятностей того, что он не имеет связи с каждым из остальных узлов сети. Поскольку конкретный узел может иметь N-1 связей с другими, получим, что эта вероятность:
Воспользуемся известным пределом - приближением, которое справедливо для больших x:
Получается, что при большом размере сети N, вероятность для каждого из узлов остаться "одиноким" равна:
Это прямо означает, что ожидаемое количество одиноких узлов соотносится с количеством неодиноких в натуральной пропорции.
Итак, мы получили чрезвычайно простую сетевую модель развития натуральной пропорции, однако она имеет один критический параметр - среднее число связей у узлов случайного графа. Это число должно равняться 1, в ином случае мы не получим нужного результата (в эволюционирующей модели выполнение этого требования обеспечивается "молекулярной" структурой исходной сети, в которой узлы соединены попарно). И это требование довольно жесткое - даже относительно небольшие отклонения в средней степени узлов приводит к существенному изменению доли одиноких, пустых узлов в случайной сети. Вот опытная иллюстрация (случайный граф N=500):
Тут по оси X отложена средняя степень узлов в сети, а по оси Y - получающаяся доля одиноких узлов. Как видим, даже небольшое отклонение средней степени сети от 1 приводит к значительному изменению этой доли (теоретическую кривую легко получить из приведенных выше уравнений). Иными словами, для того, чтобы случайный граф мог служить моделью натуральной пропорции и вообще быть основой для модели структуры Я-состояния (о чём мы будем говорить позже), нам необходимо уяснить, почему средняя степень узлов случайного графа должна быть равной 1?
Что особенного именно в таких случайных графах? Обладают ли они какими-то особыми свойствами кроме описанной натуральной пропорции? Ответы на эти вопросы могли бы помочь нам придать смысл "молекулярной" модели, увидеть за ней нечто большее, нежели забавный математический казус. И, как мы сейчас же увидим, случайные графы со средней степенью 1 на самом деле являются уникальным и самым интересным типом случайных графов.
Случайные графы Эрдеша и Реньи
Сегодня в "сетевой науке" исследуется множество сетей различной структуры и топологии - тут и уже знакомые нам масштабно-инвариантные сети, и сети "малого мира", и другие, менее известные типы. Но, безусловно, самую фундаментальную роль играют случайные графы, именно с них начинается любое изложение достижений "науки сетей", и именно им посвящено максимальное количество литературы. Первое основательное изучение свойств случайных графов в конце 50-х годов прошлого века предприняли венгерские математики Эрдеш и Реньи, которые опубликовали посвященную им серию статей, ставших классическими. Благодаря этому случайные графы сегодня часто называют "моделью Эрдеша-Реньи" или "сетями Эрдеша-Реньи" (или сокращенно, ER).
Случайный граф Эрдеша-Реньи - это просто некоторое множество узлов (их количество мы обозначаем как N), между каждой парой которых с некоторой вероятностью p имеется связь. Среднее количество связей, которое приходится на один узел, равно произведению N*p. И вот эти простейшие, вроде бы, математические объекты, оказались неисчерпаемой областью исследований, которой увлечённо занимаются математики вот уже более полувека - и до полной ясности в свойствах таких графов ещё далеко.
Конечно, в рамках Прологов мы не станем хоть как-то полно представлять результаты, полученные Эрдешом и Реньи, а также многими современными исследователями случайных сетей - этой теме действительно посвящено множество книг и тысячи статей. Однако, некоторые наиболее интересные свойства случайных графов прямо относятся к нашей теме.
Интуитивно ясно даже не специалисту, что насыщенность случайного графа связями является его важной характеристикой. Действительно, если связей среди множества узлов графа мало, он скорее всего представляет собой множество мелких островков - одиноких узлов и небольших объединений. С другой стороны, если связей много, то весь граф наверняка образует один большой запутанный клубок, так что остается не много не связанных с ним узлов и островов. Иными словами, количество связей или средняя степень узлов графа является важной величиной, определяющей особенности его структуры.
Эрдеш и Реньи исследовали, как именно зависит структура случайного графа от средней степени его узлов. И они обнаружили нечто интересное. Прежде, чем мы обсудим сделанные ими выводы, познакомимся с результатами числового опыта на случайном графе, состоящем из 500 узлов. Для начала, в качестве очевидной характеристики структуры случайного графа мы возьмем тот же параметр, который был хорошо изучен Эрдешом и Реньи, и который стал традиционным при описании структуры сетей. Это размер самого крупного связного куска графа, то есть, самое большое связное объединение узлов. Пару слов о терминологии. Связные куски сетей - то есть, части сети, между всеми узлами которой есть связи - именуют компонентами сети или графа. Например, если вся сеть связна и в ней нет отдельных островов, то сеть имеет только один компонент. Наоборот, если сеть разорвана на изолированные куски, в ней есть много компонентов.
Ясно, что с ростом средней степени узлов (то есть, общего количества связей в сети) размер самого большого компонента должен расти - вплоть до единственного компонента, который охватывает всю сеть. Но как именно? И вот к какому результату приводит опыт:
Невооруженным глазом видно, что после того, как средняя степень сети достигает значения 1 (в научной литературе этот параметр часто обозначают как z) - то есть, в момент, когда в сети из N узлов появляется N/2 связей - происходит нечто. Размер крупнейшего компонента после перехода этой планки начинает быстро, взрывным образом, расти - накопившиеся отдельные небольшие компоненты начинают стремительно сливаться, объединяться, образуя один большой клубок. (Рекомендую хорошую анимированную иллюстрацию этого процесса)
Как показали Эрдеш и Реньи, критическим моментом является z = 1 - именно в этот момент структура случайного графа подвергается качественной перестройке, причём состояние структуры графа в критический момент отличается как от его структуры до критического перехода, так и после него. Благодаря этому случайные графы с z = 1 даже получили собственное название - критические случайные графы. То есть, наша "молекулярная" модель натуральной пропорции опирается не просто на случайный граф, но именно на критический случайный граф.
Критические случайные графы: особенность структуры
Следует подчеркнуть: кроме количественных особенностей, критические графы и качественно отличаются от остальных. Это удобно проиллюстрировать, наблюдая изменение характерного распределения размеров компонентов графа с увеличением средней степени его узлов - что мы сейчас и сделаем.
Мы рассмотрим опытное распределение размеров компонентов случайного графа, состоящего из 10000 узлов в трех состояниях: сперва в субкритическом, когда средняя степень узлов z < 1, затем в суперкритическом, когда z > 1, и наконец, в интересующем нас критическом, когда z = 1.
Субкритический случайный граф
Как установили Эрдеш и Реньи, в случайном графе, для которого z < 1 имеется множество небольших компонентов, при этом крупнейший из них имеет размер порядка ln(N) (в нашем случае это около 9). Теоретическая форма частотного распределения размеров компонентов имеет вид (выполняется для z ≤ 1):
Тут синим пунктиром отмечено теоретическое распределение, точками - данные вычислительного опыта:
Суперкритический случайный граф
У графов, у которых z > 1, крупнейший компонент захватывает большую часть узлов графа, так что он имеет размер чуть меньше N, то есть, чуть меньше размера всей сети. Оставшиеся немногие мелкие островки имеют, по утверждениям математиков, качественно то же распределение размеров, что и все компоненты субкритического графа, и это наверняка так:
Гигантский компонент резко вываливается из общего распределения, и действительно приближается по размерам к размеру всей сети - этим структура суперкритического графа коренным образом отличается от субкритической.
Критический случайный граф
Но как выглядит структура критического графа? Мы могли бы ожидать, что в критическом графе зарождается гигантский компонент (а это действительно так), и что при этом от обычной формы распределения начинает отрываться одна точка. Но на самом деле происходит нечто гораздо более интересное - распределение компонентов по размерам в целом приобретает другую форму:
Распределение размеров компонентов графа становится вдруг степенным (или по меньшей мере очень близким к нему). О том, почему это происходит, можно получить представление, сравнив динамику роста крупнейшего компонента графа с динамикой 2-3 других крупных компонентов:
Как мы видим, с достижением порога z = 1 не только размер крупнейшего компонента, но и размеры других крупных компонентов начинают быстро увеличиваться. Это происходит потому, что они начинают лавинообразно сливаться с многочисленными мелкими и средними компонентами, и именно в этот критический момент граф приобретает аномальное степенное распределение. Однако, далее наступает момент, когда начинают сливаться и крупнейшие компоненты - на диаграмме это отмечено моментами резкого снижения размеров 2-го и 3-го крупнейших компонентов графа - тут они поглощаются гигантским собратом. Этот процесс происходит лавинообразно, и по его окончании "свободно плавающих" мелких компонентов, не поглощенных гигантским, остается мало. При этом они сохраняют исходное докритическое распределение размеров, поскольку волей случая оказались "вне эволюционного процесса". Разумеется, с дальнейшим ростом z рано или поздно и они все оказываются поглощенными гигантским компонентом.
То, что распределение размеров компонентов случайного графа в критическом случае приближается к степенному, можно показать, исходя из уравнения распределения:
Мы преобразуем это выражение, воспользовавшись приближением факториала по формуле Стирлинга, которая выполняется для достаточно больших x:
Получим:
Или, при z = 1:
Тут C - некоторая константа, которая обеспечивает нормировку распределения (то есть, равенство единице суммы вероятностей появления компонентов каждого размера).
Результаты вычислительных опытов хорошо согласуются с теоретической оценкой показателя степени 5/2:
Опираясь на гипотезу о том, что тут мы действительно имеем дело со степенным распределением, можно иначе подойти к получению показателя степени, и тогда мы получаем значение чуть меньшее, чем 5/2.
Хотя приведенные доводы в пользу того, что компоненты критического графа обладают степенным распределением, достаточно убедительны, математики "стесняются" говорить о том, что мы тут имеем дело со степенным распределением - этот факт малоизвестен. И это довольно странно, поскольку степенное распределение тут является спутником критического состояния графа - а критические состояния сложных систем в последнее время находятся в фокусе внимания многих исследователей.
Впрочем, исследователи других, более "приземленных" специальностей, заметили это свойство критических графов и используют его в качестве модели некоторых натуральных феноменов. Например, автору попадалась работа, в которой критический случайный граф являлся моделью образования углеродных молекулярных распределений в атмосфере Титана - отдельные атомы углерода представляли в ней узлы случайного графа, а образующиеся компоненты - углеродные молекулы, содержащие то или иное количество атомов - по наблюдениям астрофизиков, их количество подчиняется степенному распределению.
Итак, критические случайные графы интересны не только тем, что они естественным образом порождают натуральную пропорцию, но также тем, что их структура имеет степенную статистику. Как мы знаем, это обычно указывает на фрактальную организацию феномена. Иными словами, случайный граф в критическом состоянии, вероятно, имеет фрактальную структуру. И нам предстоит ещё разобраться с тем, какой свет это может пролить на структуру и сущность Я-состояний. Об этом в следующих Прологах.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER