КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
 
Роман Уфимцев
18 декабря 2012 года, Калининград
Без лишних слов я рекомендую начать с предыдущего Пролога, потому что это - его прямое продолжение, и без знакомства с предыдущим, этот будет непонятен. А вообще, мы говорим о структуре Я-состояний, и проблема этой структуры сродни проблеме строения атома в физике - такая же непростая и основополагающая, но касается не устройства материи, а устройства сознания. Чтобы войти в контекст, однако, требуется начать с самого начала.
В предыдущем Прологе, на основе модели критического случайного графа мы нашли простейшую генеративную модель натуральной пропорции - модель блох и табакерок. Мы также обозначили необходимость найти мост между нею и другой моделью - "чаш терпения". В этом Прологе мы и займёмся поисками общего знаменателя всех имеющихся у нас моделей происхождения натуральной пропорции, рассчитывая таким образом приблизиться к фундаментальной сути этой пропорции и стоящего за ней числа e.
Критические графы, блохи и табакерки
Для начала возьмёмся за простую задачу: установим общий знаменатель модели блох и табакерок с одной стороны (и её прямой вариации, метода случайного раскладывания) и модели критического случайного графа – с другой. Как мы знаем, они обе порождают натуральную пропорцию в количестве оставшихся пустыми табакерок или одиноких узлов.
Начнём с блох, табакерок и метода случайного раскладывания N предметов по N ячейкам. Их общим знаменателем была полная случайность в отношениях между блохами и табакерками: фактически, речь идет о случайном сопоставлении объектов двух типов, A и B (блох и табакерок, предметов и ячеек). Если количество объектов A и B одинаково (это принципиально важно), то случайно сопоставляя объекты типа A с объектами типа B, мы получим характерное распределение Пуассона (как предельный случай биномиального распределения), натуральную пропорцию, и т.д. Изобразим это наглядно:
В модели блох и табакерок в стартовом состоянии I каждая блоха (A) упорядоченно соотносится с одной табакеркой (B). Затем, в результате случайных перемещений блох модель приходит в стохастически стационарное состояние II, в котором распределение объектов типа B по количеству относящихся к ним объектов типа A является пуассоновским. Кроме того, доля пустых табакерок равна 1/e (а также доля табакерок, к которым отнесена ровно одна блоха также равна 1/e.)
Мы можем обойтись и без стартового упорядоченного состояния, если просто начнём случайно проводить стрелки-отношения от объектов А к объектам B - так действует "раскладная" модель. В обоих случаях результат один и тот - случайные отношения между объектами двух типов.
Однако, в таком виде объекты двух типов имеют разные роли: объекты типа A являются источниками стрелок-отношений, а объекты B - получателями. Далее, если объекты типа B пуассоновски распределены по количеству принятых стрелок, то каждый объект типа A имеет ровно одну исходящую стрелку. И это наводит на мысль уравнять объекты двух типов в правах:
Стрелки-отношения становятся обоюдоострыми и превращаются просто в связи между объектами двух типов. Не трудно понять, что в этой ситуации объекты типа A также будут иметь пуассоновское распределение по количеству связей и доля объектов, оставшихся совсем без связей составит 1/e.
Наконец, сделаем ещё один шаг и вообще избавимся от типизации объектов: пусть они станут все одинаковы. Для этого нужно разрешить появление связей между объектами одного типа:
Легко заметить, что так мы получаем ничто иное как критический случайный граф, поскольку среднее число связей, принятых каждым объектом равно 1.
Вышесказанное наводит на мысль, что в критическом случайном графе все узлы должны делиться на две равные половины, на два разных типа так, что между узлами каждого типа нет прямых связей, а прямые связи существуют только между узлами разных типов. Такие графы именуются двудольными. Внутри каждой из долей прямые связи между узлами отсутствуют.
Это свойство можно сформулировать иначе: граф состоит из узлов двух цветов и все прямые связи существуют только между разноцветными узлами. В теории графов минимальное количество цветов, позволяющих выполнить это требование называется хроматическим числом графа. Так вот, чтобы раскрасить таким образом узлы случайного графа в критическом состоянии нужно только две краски. Изредка может понадобиться и третья, но её будет нужно очень мало. Это связано с тем, что компоненты случайного графа в критическом состоянии в абсолютном большинстве случаев имеют древовидную структуру и почти не имеют циклов. Любые же древовидные сети можно раскрасить только двумя красками, то есть, они имеют хроматическое число 2. Мы говорим почти, потому что, как мы далее увидим, уникальность критических графов заключается ещё и в том, что с вероятностью, приближающейся к единице, они содержат как минимум один цикл. В этом смысле критические графы лежат точно на рубеже между двудольными случайными графами, имеющих хроматическое число 2 и графами, имеющими хроматическое число 3 и выше.
Подробнее об этом чуть далее.
Критический случайный граф состоит из однотипных узлов, но всё же в нём имеется два вида объектов: сами узлы и связи между ними, так что случайный граф можно изобразить как соотнесение объектов типа A с объектами типа B:
В критическом графе связей ровно в два раза меньше, чем узлов. Но каждая связь соотносится не с одним, а с двумя узлами. Если мы условно разделим каждый объект типа "связь" на два, мы получим картину нормального соотнесения блох и табакерок:
Так мы совершили полную "прогулку" по общему знаменателю модели блох и табакерок, "раскладной" модели и увидели, как они тесно связаны с критическими случайными графами. Мы видим, что в основе каждой из них лежит один и тот же мотив, принцип - случайное сопоставление объектов двух типов между собой. Если объектов каждого типа поровну, мы получаем натуральную пропорцию в количестве объектов, оказывающихся вообще не охваченными связями или отношениями.
Мост от чаш терпения к табакеркам
Теперь решим более сложную задачу: найдем общий знаменатель гораздо более различающихся между собой моделей - модели блох и табакерок с одной стороны и модели чаш терпения с другой. Модели существенно отличаются между собой и провести между ними мост единства гораздо труднее. В частности, чаша терпения обладает пороговым свойством: она суммирует случайные числа и следит за моментом, когда их сумма превысит единицу. Но, кажется, ничего подобного не происходит в модели блох и табакерок - о каком пороговом эффекте там может идти речь?
Это интересный и непростой вопрос. Для начала двинемся с другой стороны, и попробуем с помощью чаш терпения имитировать поведение множества блох и табакерок.
Поставим большое множество N чаш, которые могут накапливать случайные числа до тех пор, пока их сумма не превысит 1. Будем называть потенциалом чаши текущую сумму накопленных ею случайных чисел. Если в очередной момент времени потенциал чаши превышает 1, она сбрасывается в исходное состояния с потенциалом 0.
Итак, в первый момент врмени у нас имеется N пустых чаш с потенциалом 0:
Теперь пусть каждая из чаш поглотит одно случайное число в диапазоне от 0 до 1. Поскольку этого заведомо недостаточно, чтобы потенциал какой-то из чаш превысил порог, мы увидим чаши, в каждой из которых находится одно "пойманное" ею случайное число (разумеется, все эти числа разные):
В следующий момент времени снова все чаши поглощают по ещё одному случайному числу. Однако, мы знаем, что с вероятностью 1/2 сумма двух случайных чисел превысит 1, и это значит, что в среднем половина из чаш достигнет порога и вернется в нулевое состояние. Вторая половина будет содержать уже по два случайных числа:
Далее, на все чаши снова налетает по одному случайному числу, но последствия этого различаются: пустые чаши приобретут по одному случайному числу. А чаши, которые имели по два случайных числа - 2/3 из них достигнет порога и перейдёт в нулевое состояние, а 1/3 "проглотит" и третье случайное число (эти цифры следуют из того, что сумма трех случайных чисел не превысит 1 с вероятностью 1/6):
Мы не будем прослеживать судьбу чаш дальше - наверное, логика событий понятна. Вместо этого заметим самое интересное для нас: начиная с момента t=2 всего в чашах находится N случайных чисел. В каждый следующий момент времени происходит только их перераспределение среди чаш, но общее количество остаётся неизменным.
Представим себе состояние множества чаш после некоторого периода эволюции: в этом состоянии по-прежнему в чашах будет заключено в общей сложности N случайных чисел. То есть, их количество равно количеству самих чаш. Эта картина прямо сходна с тем, что мы видели в модели блох и табакерок. И это сходство фундаментальное: как мы убедились в предыдущем Прологе, распределение чаш по количеству содержащихся в них случайных чисел в точности совпадает с распределением табакерок по количеству содержащихся в них блох. В частности, доля пустых чаш в каждый момент времени близка к 1/e:
Конечно, сходство между двумя моделями не полное:
Во-первых, тут у нас не одинаковые блохи, а разные случайные числа - хотя это почему-то не влияет на общее поведение моделей.
Во-вторых, блохи перескакивают из одной табакерки в другую и их общее количество остаётся точно равным количеству табакерок. Тут же у нас случайные числа не скачут из одной чаши в другую (а приходят из какого-то внешнего источника), и общее накопленное их число является случайно флуктуирующей величиной, которая только в среднем равна N. (Впрочем, если мы возьмём очень много чаш, флуктуации будут близки к нулю.)
В-третьих, есть тонкое отличие в динамике накоплений отдельной табакерки и отдельной чаши. Чаши линейно накапливают в себе случайные числа, а затем сразу избавляются от всех накоплений. Табакерки могут накапливать и избавляться от блох как угодно - и постепенно и сразу.
Тем не менее, представим, что мы глядим на большое множество чаш издалека, так что не видим, что в них скапливаются разные случайные числа - все они нам кажутся просто одинаковыми предметами. Тогда глядя на динамику и общую статистику системы мы не сможем отличить её от большой системы блох и табакерок: они ведут себя совершенно одинаково.
У только что описанной модели чаш есть ещё одно любопытное свойство, которого нет (и по определению не может быть) у модели табакерок. Поскольку каждая чаша имеет изменяющийся со временем потенциал, разумно задать вопрос: а каким является средний потенциал всего множества чаш? Естественно предполагать, что при достижении равновесия, средний потенциал должен устремляться к какому-то постоянному значению. Проверим:
Трудно сказать, удивляет нас этот результат или нет, но средний потенциал равен всё тому же "волшебному" значению 1/e. Этот факт прямо связан с другим фактом: что в среднем потенциал любой чаши на протяжении длинного промежутка времени также равен 1/e (легко понять, что это вообще-то один и тот же факт). Доказательство, а также вывод некоторых других свойств описанной выше модели - в приложении к этому Прологу.
Итак, мы узнали, как с помощью чаш терпения, способных накапливать потенциал и обладающих пороговым эффектом, построить систему, которая была бы внешне неотличима от системы блох и табакерок. Мы проложили мост от модели чаш к модели табакерок. Но это полдела. Теперь нам нужен мост в обратную сторону.
Стохастическое устройство чаши терпения
Задача выглядит так: с помощью блох, табакерок, случайных графов и другими сходными средствами нам нужно смоделировать поведение одной чаши терпения - с её накоплением и суммированием случайных чисел, с её пороговым эффектом.
Это оказалось настоящей головоломкой. Проблема в пороговом эффекте, который является самым выразительным, значимым качеством чаши терпения. Ничего подобного нет ни в модели блох и табакерок, ни в модели случайного раскладывания - в них отсутствуют пороговые эффекты. А это значит, с их помощью нам не удастся смоделировать поведение чаши терпения.
Но у нас есть ещё модель критического случайного графа, и по очень любопытному совпадению, ярчайшим свойством случайных графов Эрдеша и Реньи является существование порогового эффекта, когда с ростом насыщенности случайного графа связями происходит фазовый переход, когда граф резко, скачком меняет многие свои структурные характеристики. Более того, критические случайные графы как раз и находятся в самом центре этого перехода.
Итак, мы должны попробовать смоделировать порговый эффект чаши терпения порговым эффектом при развитии случайного графа. И после некоторых поисков вот что у нас получилось.
Пусть мы имеем N узлов будущего случайного графа. В исходном состоянии между ними связи отсутствуют. Затем на эту систему из "внешнего космоса" начинают налетать волны связей, причём каждая волна содержит в себе случайное число связей от 0 до N/2. С каждой волной система узлов насыщается связями, достигая порога. Таким порогом является возникновение в структуре случайного графа первого цикла. Если в графе возникает цикл, он сбрасывается до исходного состояния, то есть, его узлы сбрасывают с себя все накопленные связи. Далее процесс повторяется.
Для наглядности рассмотрим работу этой системы по шагам:
  1. В исходном состоянии мы имеем набор из N узлов, между которыми нет ни одной связи. Первая волна связей "из космоса" несет случайное количество связей в диапазоне от 0 до N/2 (или, что тоже самое "полусвязи" в случайном количестве от 0 до N).
  2. Налетевшие связи встраиваются в граф. Если не возникло ни одного цикла (а его не возникло), налетает следующая случайная волна.
  3. Снова новые связи встраиваются, и если нет цикла, налетает очередная волна.
  4. Когда в результате очередного налёта в графе появляется как минимум один цикл, система сбрасывается в исходное состояние.
В среднем (если число узлов достаточно велико) система будет "усваивать" ровно e волн до появления первого цикла и сброса в исходное состояние.
Эта система будет вести себя точно также как чаша терпения. В частности, в среднем будет необходимо e волн из космоса, чтобы граф прошёл порог и вернулся в начальное состояние - точно также как чаше терпения нужно суммировать e случайных чисел, чтобы переполниться. Далее, в модели чаши терпения величина порогового потенциала чаши - обозначим его как A - связана с диапазоном поглощаемых ею случайных чисел - они должны лежать в промежутке между [0,A] (говоря о чашах, мы полагали A = 1). У нас же аналогом порогового потенциала является число узлов в графе N, и в каждой волне из космоса на систему налетает случайное число "полу-связей", которое лежит в промежутке [0,N]. (Иначе говоря, на систему налетают связи, их количество равно случайному числу в диапазоне [0,N/2] - ясно, что это одно и то же, потому что каждая связь это две "полу-связи".)
Подобно тому, как чашу терпения можно понять как счётчик-накопитель случайных чисел, срабатывающий в тот момент, когда их сумма превысит A, описанную модель можно понимать как счетчик-накопитель особых частиц, "полу-связей", срабатывающий в тот момент, когда этих частиц накопится ровно N. Момент срабатывания этого счетчика имеет яркий и качественный структурный признак - момент возникновения в структуре случайного графа первой циклической траектории. В этот же момент случайный граф становится критическим случайным графом, поскольку в среднем степень узлов в нём оказывается равной единице.
Теперь нам следует поговорить о структуре компонентов случайных графов, и о пороговом феномене, связанном с появлением первого цикла в их структуре.
Деревья и циклы
В субкритическом случайном графе, то есть, в графе, в котором средняя степень узлов существенно меньше единицы, компоненты (не считая изолированных узлов) представляют собой небольшие древовидные структуры характерного вида, которые именуют "деревьями Бернулли". С ростом насыщенности графа связями эти деревья постепенно становятся больше, однако, вероятность появления цикла остается незначительной - вплоть до момента, когда средняя степень узлов оказывается равной единице:
Граф становится критическим, и как мы говорили, размеры компонентов графа приобретают степенное распределение. Однако, в этот момент происходит и ещё нечто интересное - по мере приближения графа к критическому состоянию вероятность появления как минимум одного цикла в его структуре начинает быстро увеличиваться, причем в критическом графе она оказывается равной единице. То есть, в критическом случайном графе любого (достаточно большого) размера почти наверняка будет иметься как минимум 1 цикл. Например, тут мы имеем случайный граф размером в 200 узлов, между которыми случайно установлено 100 связей - и в графе имеется один цикл - он выделен красным. Далее, с дальнейшим ростом насыщенности графа связями, количество циклов лавинообразно, очень быстро увеличивается, так что количество циклов в случайном графе является действительно пороговым структурным признаком.
Проиллюстрируем это результатами числового опыта со случайным графом, состоящим из 500 узлов. Будем добавлять в граф каждый шаг времени по одной связи и отслеживать общее количество циклов в графе:
Как мы видим, примерно в момент времени, когда средняя степень узлов достигает единицы (то есть, количество связей в графе становится равным половине числа узлов), в графе возникает первый цикл. Затем количество циклов начинает быстро расти. Числовыми опытами не трудно убедиться, что в данном случае в среднем первый цикл действительно возникает ровно при 250 связях в графе.
В критическом случайном графе в почти наверняка имеется как минимум один цикл - этот удивительный факт доказан ещё самими Эрдешом и Реньи ("On the Evolution of Random Graphs", стр. 42, теорема 5b) и он кажется даже интереснее, чем возникновение гигантского компонента, о котором обычно говорят в связи с пороговыми явлениями в случайных графах. Появление первого цикла в структуре графа происходит до того, как в нём начинают происходить другие заметные пороговые структурные изменения - такие как резкое снижение количества компонентов, развитие гигантского компонента и т.д. Однако, нам ещё предстоит разобраться, какой смысл может иметь появление цикла в случайном графе, как это трактовать применительно к "тонкой механике" развития Я-состояний.
Об этом (и о многом интересном другом) мы будем говорить в дальнейших Прологах.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER