КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 70. Гештальт числа e
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 70. Гештальт числа e
 
Роман Уфимцев
8 января 2013 года, Калининград
Мы продолжаем двигаться в направлении, заданном последними Прологами: мы исследуем альтернативные генеративные модели натуральной пропорции, стремясь ухватить дух, гештальт числа e, которое стоит за этой пропорцией. В этом Прологе мы познакомимся с ещё одной моделью, которая, может быть, является недостающим кирпичиком в общей картине.
Факториал, перестановки и число e
У числа e множество красивых определений (потому что у него много замечательных математических свойств), но одно из самых прекрасных выглядит так:
Это определение демонстрирует глубокую связь между числом e и факториалом (напомню, факториал числа k! = 1*2*3*...*k). Вероятно, некоторый свет на "душу" числа e может пролить сам факториал, смысл этой математической функции. К счастью, этот смысл весьма прост: если у вас имеется k предметов и k ячеек, то существует ровно k! способов разложить предметы по ячейкам так, чтобы в каждой был только один предмет.
Действительно, пусть, например, у нас имеется 3 предмета и 3 ячейки. Будем раскладывать предметы по ячейкам по очереди. Первый предмет мы можем поместить в любую из трёх - то есть, имеется 3 варианта расположения первого предмета. Раскладывая второй предмет, мы можем выбрать одну из двух оставшихся пустыми ячеек, значит, всего вариантов раскладывания двух предметов оказывается 3*2 = 6. Наконец, размещая последний предмет, у нас нет выбора - мы помещаем его в единственную оставшуюся пустой ячейку. Таким образом, у нас всего оказывается 6 вариантов размещения 3 предметов по 3 ячейкам, а 3! = 6. В математике это число называют количеством перестановок 3 объектов. В общем для k объектов имеется k! перестановок.
Легко понять, что 1! = 1, потому что если у нас имеется 1 предмет и 1 ячейка, то существует только 1 вариант размещения. Менее тривиальный факт заключается в том, что факториал 0 тоже равен 1, то есть, 0! = 1. Формально этот факт можно доказать, исходя из того, что
Взяв k = 1, получим, что (k-1)! = 0! = 1.
Интуитивный же его смысл мы выясним чуть далее.
Представим теперь, что у нас имеется k предметов, подписанных числами от 1 до k, и k ячеек, подписанных также. Зададимся вопросом: если мы будем размещать предметы по ячейкам случайно, с какой вероятностью предметы попадут в "правильные" ячейки?
Очевидно существует только 1 правильный вариант перестановки, а всего их k!, значит вероятность, что предметы попадут в "правильные" ячейки равна p(k) = 1/k!. Например, в случае 5 чашек и блюдец эта вероятность равна 1/5! = 1/120.
Обратимся к несколько другому примеру. Пусть мы имеем квадрат единичного размера:
Квадрат расположен так, что одна из его вершин имеет координаты [0,0], а противоположная - координаты [1,1]. Вопрос таков: сколько альтернативных дорог имеется у путешественника, который из первой точки хочет добраться до противоположной, если он может двигаться только вдоль сторон квадрата?
Ясно, что альтернативных дорог всего две - они отмечены синим и зелёным цветом. Но что, если мы поставим тот же вопрос для путешественника, который перемещается не вдоль сторон квадрата, а вдоль ребер куба?
Если считать, что путешественник не плутает и всегда выбирает тропинки, приближающие его к цели, то альтернативных траекторий из точки [0,0,0] в точку [1,1,1] оказывается 6 (на рисунке одна из них). Их общее свойство заключается в том, что каждая траектория состоит из трех сегментов, причём один из сегментов обязательно является сдвигом вдоль оси X, ещё один - вдоль оси Y, третий - вдоль оси Z. С учётом того, что порядок этих сдвигов может быть разным, мы получаем шесть альтернативных траекторий:
Легко заметить, что тут идёт речь, по сути, о вариантах перестановки трех предметов по трём пронумерованным ячейкам:
При k=3 k!=6, это количество перестановок, соответствующее количеству альтернативных траекторий путешественника.
Мы могли бы двинуться в четвёртое измерение и подумать, сколько альтернативных траекторий имеется между точками [0,0,0,0] и [1,1,1,1] гиперкуба (так называется четырёхмерный аналог куба), но ответ уже очевиден: их 4! = 24.
Вообще, оказывается, что для k-мерного куба имеется k! альтернативных траекторий между любыми двумя максимально отдаленными друг от друга вершинами, и этот факт прямо связан с перестановками k предметов по k ячейкам.
"Двухмерным кубом" является квадрат и для него число альтернативных траекторий равно 2! = 2. "Одномерным кубом" является просто отрезок между точками [0] и [1]:
Как и должно быть, количество альтернативных траекторий равно 1! = 1, то есть, альтернатив нет и путешественнику не надо выбирать дорогу - она одна.
И наконец, "Нуль-мерным кубом" является просто точка. Пункт отправления путешественника совпадает с пунктом прибытия: если путешественник оказывается в точке отправления, он одновременно оказывается и в точке назначения. Альтернативных путей не существует, путешественнику тоже не надо ничего выбирать, вариант развития событий один-единственный:
В этом и заключается интуитивный смысл равенства 0! = 1.
Пожалуй, наиболее удобным представлением задачи о количестве альтернативных перестановок является следующее: пусть мы имеем натуральный ряд из k чисел:
Представим, что мы его "встряхнули", так что все члены ряда случайно поменяли своё местоположение. С какой вероятностью этот ряд чисел после "хорошей встряски" вернётся в своё исходное упорядоченное состояние? Ясно, что исходная расстановка является одной из k! альтернативных, а значит, вероятность её возникновения после "встряски" равна p(k) = 1/k!. (К слову, если у нас ряд пустой, то есть, в нём вообще нет членов, то как его ни тряси, всё равно мы получим исходное его состояние - это вновь о том, почему 0! = 1)
Разумеется, этот результат совершенно не зависит от того, каким именно является исходный ряд. У нас это натуральный ряд, но он может быть любым уникальным рядом, составленным из k разных чисел или любых других разных знаков или объектов. Более того, как мы говорили в начале, это может быть не ряд, а просто система из k ячеек, в которых могут располагаться k объектов. И вероятность p(k) = 1/k! - это вероятность случайного возвращения системы в точно исходное состояние после сильной встряски.
Теперь мы понимаем значение слагаемых вида 1/i! из которых набирается число e:
Каждое из них есть вероятность появления "правильной" перестановки среди i предметов. Следующий шаг: генеративная модель, которая позволяет получить число e как бесконечную сумму в соответствии с этим уравнением.
Модель весьма проста:
Пусть в первый момент времени у нас имеется узел с номером 0. Во второй момент времени в системе появляется ещё один узел, его номер 1 – он соединяется с нулевым узлом. В третий момент времени появляется узел с номером 2. Новый узел может присоединиться с одинаковой вероятностью к любому из уже имеющихся узлов. Допустим, он присоединяется к узлу 1. В результате образуется упорядоченная нить 0-1-2.
Далее на каждом шаге времени в системе появляются всё новые и новые узлы и случайно присоединяются к одному из уже имеющихся в сети узлов. Рано или поздно наступит момент, когда новый узел присоединится так, что упорядоченная нить окажется нарушенной: у нас на диаграмме это случилось в момент t=4, когда узел с номером 3 присоединился к узлу с номером 0 вместо того, чтобы "правильно" присоединиться к узлу 2. В этот момент цикл работы модели завершается - структура узлов перестаёт соответствовать строго упорядоченной нити, и её предельный размер в данном случае оказывается равным 3.
Если мы проведем множество циклов развития этой модели (для определённости назовём её моделью нитей порядка), окажется, что в среднем предельный размер упорядоченных нитей равен точно e. Доказательство этого факта - в Математическом приложении к этому Прологу.
Эта модель даёт весьма наглядное представление о механизмах развития натуральной пропорции.
Изобразим усреднённый вид системы в момент нарушения упорядоченности растущей нити. Мы знаем, что среднее число узлов, образующих упорядоченную нить в этот момент равно e. Для наглядности, вместо e возьмём самое близкое целое число 3. Тогда имеется два варианта нарушения упорядоченности нити:
Тут серые узлы образуют упорядоченную нить, этих узлов 3 (на самом деле их e), а красный узел нарушает упорядоченность. Теперь если мы назовём длиной нитей количество связей, из которых они образуются, то длина упорядоченной нити равна e-1, а возникшая "неправильная" нить имеет длину 1. То есть, в среднем длина "правильной" нити соотносится с длиной "неправильной" в натуральной пропорции:
Нарушения особого порядка и пороговый эффект
Внимательный читатель мог заметить, что только что описанная модель, порождающая натуральную пропорцию, по духу похожа на модель "чаши терпения" - первую генеративную модель натуральной пропорции, с которой мы познакомились. Напомню, что она основана на том факте, что если суммировать случайные числа взятые из диапазона от 0 до 1, в среднем потребуется суммировать e случайных чисел, чтобы их сумма превысила единицу.
Действительно, в обоих моделях имеется случайный аддитивный процесс, длительность которого в среднем оказывается равной e. Однако, в модели чаш терпения этим процессом является суммирование случайных чисел, а в нашей новой модели - случайное распределение растущего числа объектов по растущему числу ячеек. С первого взгляда кажется, что это совершенно разные случайные процессы, однако, математический анализ показывает, что между ними есть глубинное сходство, которое вряд ли является случайным. Конкретно,
Свойства модели "чаши терпения" обусловлены следующим фактом: вероятность того, что сумма из k случайных чисел, взятых из диапазона [0,1], окажется меньше 1 равна 1/k! (см. Математическое приложение 6, 3. Достижение единичного порога)
Свойства новой модели обусловлены другим фактом: вероятность того, что случайно расставив k случайных чисел, мы получим ряд, в котором каждый следующий член будет больше предыдущего, равна 1/k! (Разумеется, тут мы можем взять любой конкретный ряд. Например, наоборот, ряд, в котором каждый следующий член меньше предыдущего - речь просто о какой-то одной конкретной перестановке среди множества возможных.)
Одинаковая математика приводит к одинаковому результату: обе модели порождают натуральную пропорцию. Но в математике нет случайных совпадений, и мы должны считать, что у "чаш терпения" и у "нитей порядка" есть какая-то общая силовая основа. Математически эта основа связана с бесконечной суммой слагаемых вида 1/k! и числом e, но в её смысле следует ещё разобраться.
В предыдущем Прологе мы предположили, что число e как-то связано с пороговыми явлениями в стохастических системах. Примером является та самая "чаша терпения" - в ней имеется единичный порог, относительно которого проверяется накапливающаяся сумма случайных чисел. Иными словами, модель чаши терпения подразумевает существование какого-то следящего агента, который наблюдает за тем, чтобы накапливающаяся сумма не превысила единицу. Если она превышает единицу, агент сбрасывает состояние чаши, возвращая её к исходному состоянию:
Роль агента – распознавать момент превышения порога и предпринимать какие-то действия в этой связи (не обязательно этим агентом является какой-то живой наблюдатель, он может быть встроен в структуру системы - например, чаши можно хитро подвесить так, что они сами будут переворачиваться после достижения некоторого уровня "случайной жидкости"). Важно уяснить, что пороговые явления всегда подразумевают резкий переход из одного состояния системы в другое, когда нарушается один порядок и возникает новый. И должен быть агент, который распознает момент этого перехода и изменит поведение системы. А для этого он должен уметь различать разные состояния системы.
Теперь обратимся к модели нитей порядка:
Цикл роста упорядоченной нити завершается, когда нарушается порядок: очередной узел присоединяется "не правильно". И вновь, это подразумевает наличие следящего агента, который распознает нарушение порядка. Чтобы он мог это сделать, он должен уметь различать "правильный" порядок от "не правильного", то есть, различать разные состояния системы - точно также, как агент из модели чаши терпения.
Вероятно, существование агента, способного отличать "правильное" состояние системы от "неправильного" - это и есть общая основа двух моделей, и в этом случае источником натуральной пропорции является деятельность агента, наделенного способностью к различению и распознаванию состояний. Если так, то мы нашли возможную связь между числом e и способностью к осознанию, ведь описание следящего агента очевидным образом похоже на то "нечто", что превращает лишённое осознания оно-состояние в осознающее и различающее себя Я-состояние. Впрочем, пока это слишком смелая и не вполне ясная гипотеза.
Продолжим пока сопоставление двух моделей. Очень интересно, что что между пороговым эффектом и нарушением упорядоченности прослеживается явная и видимо фундаментальная связь. Заметим, что в модели чаши терпения порядок случайных чисел, образующих накапливающуюся сумму (и вообще отношения между ними), не имеет никакого значения. Напротив, в модели нити порядка нет никакого порога, а имеет значение только сохраняющаяся определенная упорядоченность. И тем не менее, "математическая механика" двух моделей оказывается глубоко родственной. Это наводит на мысль, что вообще разного рода пороговые феномены могут быть представлены как явления нарушения некоторого простого порядка. Например, нейроны как яркий пример природных пороговых систем, могут представлять собой механизмы, отслеживающие некоторый простой порядок, и срабатывающие при его нарушении. Обратим внимание, что эта картина не подразумевает решающей роли накопления электрического потенциала на клеточных мембранах и их внезапного электрического пробоя, что сегодня принято считать причиной срабатывания нейронов.
Если так, то на многие хорошо знакомые природные явления мы можем взглянуть с новых позиций. Например, известным примером порогового феномена являются горные лавины. Накопление снега на склоне (подобное накоплению случайной суммы в модели чаши терпения) однажды приводит к превышению некоторого порога, после которого сила трения внутри снежного пласта уже не может компенсировать действующую на него силу тяжести, и происходит лавина. С классической точки зрения лавина весьма сходна с моделью чаши терпения, но видимо должно существовать и альтернативное описание процесса формирования и схода лавин, сходное с моделью нити порядка. Пока на склоне горы накапливается снежная масса, развивается нить какого-то простого порядка. И лишь тогда, когда этот порядок нарушается, происходит сход лавины. И, видимо, чем длиннее выстраивается эта загадочная нить, тем сильнее оказывается лавина.
Сформулируем эту важную гипотезу иначе: пороговые феномены тесно связаны с существованием особого порядка. Там где имеется особый порядок, должны существовать и пороговые феномены. Там, где наблюдаются пороговые феномены, имеется и особый порядок. При этом особый порядок - это особое состояние системы, которое отличается от всех возможных альтернативных состояний тем, что распознаётся, выделяется следящим агентом.
Косвенное подтверждение этой гипотезы находится в решении следующей задачи: возьмём ряд произвольных случайных чисел. Какой будет средняя длина непрерывных восходящих серий в этом ряде? Восходящая серия - это непрерывная последовательность чисел, в которой каждое следующее больше предыдущего.
Эта задача тоже имеет прямое отношение к случайным перестановкам, но она отличается от модели нити порядка в одном важном пункте: в ней нет выделенного порядка – все восходящие последовательности равноценны. И оказывается, средняя длина восходящих серий оказывается равной 2 (доказательство в математическом приложении). Это число мы полагаем "метафизическим" антиподом числа e = 2,718... Из-за того, что в задаче нет выделенного, особого порядка, число e "улетучилось" - см. приложение.
Чаши терпения, нити порядка и антиперсистивность
Попробуем всё-таки разобраться, почему модель чаши терпения так математически похожа на модель нити порядка. Мы хотим разобраться, каким образом пороговые феномены связаны с существованием особого порядка.
Рассмотрим некоторый этап развития нити порядка, когда она образуется строго упорядоченной последовательностью из k связей (обратим внимание, что тут мы исчисляем длину упорядоченной нити числом составляющих её связей, а не узлов):
Вероятность, что очередной узел случайно присоединиться так, что порядок нити сохранится, равна 1/(k+1) (поскольку при длине нити в k связей она состоит из k+1 узлов) – для этого новый узел должен присоединиться к последнему узлу X.
Теперь рассмотрим некоторое состояние чаши терпения, когда она уже накопила сумму из k случайных чисел, взятых из диапазона [0,1]. Мы выяснили, что если сумма k случайных чисел не превышает 1 (то есть, сумма ниже порога), в среднем она равна k/(k+1):
Для того, чтобы прибавка еще одного случайного числа к сумме не привела к превышению порога, сумма должна оказаться в области, отмеченной на диаграмме розовым цветом. Это значит, новое случайное число должно лежать в промежутке от 0 до 1/(k+1). Ясно, что если мы берем случайные числа из промежутка [0,1], это случится с вероятностью 1/(k+1).
Мы видим, что в обоих случаях вероятность "успеха" в обоих моделях гиперболически снижается со временем по одному и тому же закону: с увеличением количества накопленных случайных чисел все менее вероятно, что на очередном шаге их сумма не превысит порог, и с увеличением длины нити порядка всё менее вероятно, что на очередном шаге этот порядок не будет нарушен.
Запишем этот закон вероятности, используя не переменную k, а переменную времени t (до тех пор, пока цикл работы обсуждаемых моделей не завершён, k = t):
В таком виде читатель может узнать в нём ничто иное как простейшее уравнение терминальной вероятности - вероятности прекращения Я-состояния, имеющего возраст t. Именно такую форму оно имеет в тау-модели, нашей первой модели Я-состояния. Напомню, что тау-модель является простейшей генеративной моделью периодов времени, распределенных в соответствии с законом Зипфа, а также порождает шум розового спектра - то есть, является источником двух важных сигнатур когнитивного порядка.
Однако, есть "небольшой" нюанс: в тау-модели это выражение описывает вероятность прекращения некоторого состояния системы, а тут оно описывает, наоборот, вероятность продолжения некоторого состояния. В тау-модели вероятность прекращения состояния гиперболически снижается со временем. У нас же гиперболически снижается вероятность продолжения состояния.
Это любопытное "анти-совпадение": в некотором смысле растущая нить порядка или наполняющаяся чаша терпения обладают антиперсистивностью, в отличие от Я-состояний, которые, наоборот, обладают персистивностью.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER