КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 70. Гештальт числа e
Математическое приложение 9
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
Математическое приложение 9
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Математическое приложение 9
 
Роман Уфимцев
8 января 2013 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 70 и Прологу 71 доказываются некоторые утверждения, касающиеся свойств моделей, описанных в основном тексте.
1. Модель нитей порядка
При многократном запуске модели нитей порядка, в среднем предельный размер упорядоченных нитей равен точно e. Докажем это.
Проанализируем рост упорядоченной нити:
Очевидно, что с вероятностью 1 нить пройдёт стадии, в которых она состоит только из одного узла и из двух узлов (P(1) = 1 и P(2) = 1). Далее, только с вероятностью 1/2 нить перейдет к состоянию трёх узлов, поэтому вероятность того, что нить пройдёт через эту стадию P(3) = 1/2.
Далее, с вероятностью 1/3 упорядоченная нить, состоящая из 3 узлов станет нитью, состоящей из 4 узлов, поскольку у нового присоединяющегося узла имеется 3 альтернативы и только в одной из них нить останется упорядоченной. Это значит, что 4-узловая стадия появится с вероятностью P(4) = P(3)*1/3 = 1/6.
Двигаясь точно также далее выясним, что вообще, упорядоченная нить, состоящая из k узлов появится с вероятностью P(k) = 1/(k-1)!. Заметим, что это вероятность появления нити соответствующей длины, а не вероятность того, что нить этой длины окажется предельной. Чтобы посчитать вероятность того, что нить, образованная k узлами окажется предельной, нужно воспользоваться выражением:
Среднее значение количества узлов в предельной нити вычисляется как:
где для удобства мы учитываем только предельные нити длиной не менее 2 узлов (k=2) - предельных нитей длиной в один узел быть не может, поэтому мы их можем не учитывать в подсчете среднего. Тогда, переходя к индексу i = k-2, окончательно получим:
2. Возрастающие последовательности в случайном ряде
Возьмём ряд из N произвольно распределенных случайных чисел. Докажем, что распределение длин серий, в которых каждое следующее число больше предыдущего соответствует выражению:
При этом длина серий считается как количество входящих в них чисел. Докажем это.
Возьмём два любых соседних числа в случайном ряде. Очевидно, что с вероятностью 1/2 второе число больше первого. Это вероятность, что данна пара чисел является частью восходящей серии. Взяв три соседних числа, лишь одна случайная перестановка этих чисел даёт восходящую серию, значит, если мы возьмём любые три соседних числа, с вероятностью 1/6 они окажутся частью восходящей серии. Вообще, если мы возьмем любые k соседних чисел случайного ряда, они окажутся частью восходящей серии с вероятностью 1/k!.
Обозначим как xi = 1/i! - ожидаемое количество восходящих фрагментов длины i в случайном ряде, и как yi - количество отдельных восходящих серий длины i в случайном ряде. Тогда количество отдельных восходящих серий длины 2 в случайном ряде равно:
поскольку каждая отдельная восходящая серия длиной 3 содержит 2 фрагмента длиной 2, серии длиной 4 содержат 3 фрагмента длиной 2 и т.д. Аналогично:
Получающаяся система уравнений поддаётся решению методом подстановки с результатом
Всего отдельных восходящих серий в случайном ряде длины N:
Отсюда средняя длина восходящих серий:
Полезная альтернативная запись результата:
Его можно представить в виде
Заметим, что по своей форме V(x) точно совпадает с выражением распределения вероятности предельных длин нитей порядка, если исчислять длину нитей количеством связей, а не количеством узлов:
Причина "улетучивания" числа e из результата расчета средней длины восходящих серий становится ясна из следующего:
То есть, число e возникает при расчете среднего значения V(k), но, поскольку выражение P(k) содержит разность V(k) - V(k+1), число e исчезает из результата. При расчете же средней предельной длины нити порядка используется только один компонент вида V(k), и в результате число e сохраняется.
3. Модель "велик велика больше": средняя длина серий
Будем одно за другим брать случайные числа из диапазона [0,1] до тех пор, пока каждое следующее оказывается больше предыдущего. В этом случае средняя длина наборов, то есть восходящих серий случайных чисел равна e-1. Докажем это.
Вычисление средней длины восходящих серий аналогично вычислению средней длины упорядоченных нитей в модели нитей порядка. Во-первых, вычислим вероятность появления восходящей серии длины k.
Ясно, что если взять одно случайное число, то с вероятностью 1 оно окажется восходящей серией длины 1. Если мы возьмем два случайных числа, то с вероятностью 1/2 второе окажется больше первого. Если мы возьмём три случайных числа, они образуют восходящую серию с вероятностью 1/6, и т.д. В целом, речь идет о вероятности одной определенной перестановки среди k объектов: в данном случае эти объекты - случайные числа, а определенная перестановка - это порядок, в котором каждое следующее число больше предыдущего. Таким образом, вероятность появления восходящей серии из k случайных чисел равна 1/k!.
Теперь рассчитаем вероятность, что, например, два первых случайных числа образуют восходящую серию, а третье нарушает её. То есть, нам нужна вероятность того, что модель породит восходящую серию длиной k=2. Эта вероятность равна разности 1/2 - 1/6 = 1/3. Вообще, вероятность того, что мы получим серию длиной k равна:
Отсюда среднее значение длины восходящей серии:
4. Модель "велик велика больше": средние величины членов серий
В восходящей серии длины k член с номером k имеет среднее значение, равное
Докажем это.
Обозначим как Vk среднюю величину последнего члена восходящей серии, достигшей длины k. Отметим её на отрезке [0,1] - на этом отрезке лежат все случайные числа, которые могут появится в модели:
Для того, чтобы следующее случайное число оказалось больше, чем Vk, необходимо, чтобы оно попало в промежуток, отмеченный красным цветом. Поскольку мы берем однородно распределенные случайные числа из промежутка [0,1], это может случиться с вероятностью 1-Vk. С другой стороны, мы знаем: вероятность того, что восходящая последовательность длины k достигнет и длины k+1 равна 1/(k+1). Из этого следует равенство:
Из чего получаем:
Например, средняя величина второго члена восходящих серий достигших длины 2 равна 2/3.
Вообще, если обозначить как Vk,n средние величины членов восходящих серий длины k, имеющих номер n, то
Например, в восходящих сериях длины 2 в среднем первый член имеет величину V2,1 = 1/3, второй - V2,2 = 2/3.
Это уравнение вытекает из того, что k членов восходящей серии являются однородно распределенными случайными числами, в среднем взятыми из промежутка [0, k/k+1]. При этом в восходящей серии эти случайные числа выстроены упорядоченно: каждый следующий больше предыдущего.
Этот результат позволяет оценить среднюю величину первых членов восходящих серий, которые получаются в большом ряде случайных чисел взятых из промежутка [0,1]. Как мы знаем, средняя длина восходящих серий в таком ряде равна 2. В соответствии с полученным нами выражением, средняя величина первого члена восходящих серий длины 2 равна 1/3.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER