КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 76. Дельта-процессы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 76. Дельта-процессы
 
Роман Уфимцев
8 февраля 2013 года, Калининград
Мы подобрались к важному рубежу наших исследований. Уже некоторое время мы занимаемся изучением свойств обобщённых процессов - так, тоже обобщённо, мы именуем механизмы роста (или, ещё общее, изменения), которые можно наблюдать в феноменах мира. Мы исследуем эти механизмы, моделируя растущие системы как множества объектов различной массы, размера и т.д. - тут годится любой изменяющийся параметр, которым можно характеризовать части системы. В процессе роста параметры объектов изменяются (особенно мы интересуемся ростом), но это может происходить в соответствии с разными закономерностями.
Мы рассмотрели целый спектр таких закономерностей и обнаружили, что две из них имеют особое значение. Первая закономерность - аддитивный процесс, во время которого все объекты множества прирастают за единицу времени одинаково, на одну и ту же абсолютную величину. Вторая, и во многих отношениях уникальная закономерность, которая, видимо, лежит в основе организации окружающего нас мира и нашего собственного сознания - мультипликативный процесс. Его особенность в том, что приросты объектов за единицу времени одинаковы не в абсолютном, а относительном смысле - каждый объект растёт тем сильнее, чем он уже больше. Можно сказать, что параметры объектов в каждый шаг времени умножаются на некоторую постоянную величину. Мы познакомились с мультипликативным процессом с разных сторон и убедились, что это единственный процесс, который способен поддерживать рост систем, сохраняя отношения внутри системы, сохраняя её структуру - может быть поэтому этот процесс необходим миру в самих его основаниях - иначе мир был бы слишком хаотичен.
Теперь мы готовы сделать следующий важный шаг в изучении обобщённых процессов, и в частности, самого замечательного – мультипликативного.
До сих пор, говоря об обобщённых процессах мы исходили из того, что количество частей растущей системы, количество растущих объектов во множестве неизменно. Мы изучали рост параметров, но не рост самого множества. Но почти любой рост в мире сопровождается не только увеличением размера, массы и пр. имеющихся частей системы, но и появлением новых частей. Не учитывая этого обстоятельства, мы не можем рассчитывать на понимание процессов развития в окружающем нас мире, ведь рост систем с полным сохранением количества составных частей - это скорее исключение, чем правило. Чтобы расти, дерево не может беспредельно наращивать три ветки, которые в нём когда-то появились. Оно непременно должно отращивать всё новые и новые. Чтобы развиваться и превратиться в государство, семь племенных поселений не могут беспредельно наращивать свой размер, превращаясь в семь больших и становящихся ещё больше городов. Необходимо, чтобы появлялись всё новые и новые поселения - только так может развиваться государство.
Итак, нам необходимо новое обобщение обобщённых процессов - теперь мы должны исследовать их на множествах, в которых количество объектов тоже увеличивается. Мы называем такие процессы дельта-процессами, от греческой буквы δ, которая стала общепринятым символом изменения, прироста.
Мы обратимся к этой теме на основательном теоретическом фундаменте. Автор постарается беречь читателей от лишней математики (будем её прятать в приложения), однако, чтобы наш разговор о серьёзном вопросе не превратился в простое мечтание и фантазии, мы будем опираться на ясную логику и специальные обозначения.
Дельта-вероятность и дельта-фактор
Обсуждая обобщённые процессы, мы применяем модель множества объектов, на которые в каждый шаг времени налетает частица единичной массы. До сих пор мы полагали, что налетающая частица присоединится к одному из имеющихся объектов, увеличив тем самым его массу на единицу. В аддитивном процессе вероятность присоединения к любому из объектов одинакова, а в мультипликативном определяется правилом "богатый становится богаче": вероятность прироста для объекта равна его массовой доле в массе всего множества.
Если мы хотим предусмотреть возможность роста количества объектов множества, мы должны дать налетающей частице шанс не присоединиться к одному из имеющихся объектов, а стать новым самостоятельным объектом единичной массы. Мы будем называть вероятность этого события дельта-вероятностью и обозначать так:
Соответственно, с вероятностью 1-pδ частица всё же будет поглощена одним из уже имеющихся объектов.
Какой может быть дельта-вероятность, от чего она может зависеть? Тут имеется множество возможных ответов. Она может быть постоянной, она может меняться с ходом времени, с изменением количества объектов и т.д. В общем случае мы можем считать, что дельта-вероятность пропорциональна какой-то постоянной или меняющейся положительной величине X с коэффициентом пропорциональности b:
Однако, описание связи между X и pδ в таком виде не слишком удобно: по определению дельта-вероятность должна лежать в промежутке от 0 до 1. Но величина X, которая прямо влияет на дельта-вероятность, в общем случае может быть любой, а значит, каждый раз нам придётся следить, чтобы коэффициент b был подобран так, чтобы ни при каких возможных значениях величины X дельта-вероятность не оказывалась бы больше 1. Нам нужна более универсальная и удобная характеристика дельта-вероятности.
И вот какая вполне подходит:
где δ может принимать значения от 0 до бесконечности, регулируя влияние величины X на дельта-вероятность. В такой форме вне зависимости от того, насколько большими и малыми оказываются значения X, дельта-вероятность заведомо будет лежать в промежутке от 0 до 1. Именно в таком виде мы далее и будем её задавать.
Тогда вероятность прироста объекта c номером i в аддитивном процессе:
в мультипликативном процессе:
где mi - текущая масса объекта i, М - общая масса объектов множества.
Далее, величину X, которая управляет дельта-вероятностью мы будем именовать дельта-фактором.
Зависимость дельта-вероятности pδ от дельта-фактора X имеет следующий вид (при δ=1):
Мы будем говорить, что дельта-фактор X управляет дельта-вероятностью, имея в виду их положительную связь: чем больше дельта-фактор, тем выше дельта-вероятность.
Ещё для удобства введём единую систему обозначения дельта-процессов. Мы будем пока рассматривать только аддитивные и мультипликативные дельта-процессы, и станем их обозначать как δA(X) и δM(X) соответственно. Например, дельта-процесс δA(1) - это аддитивный процесс, в котором дельта-фактор является постоянной величиной, равной единице. То есть, в этом процессе дельта-вероятность определяется выражением:
На примере этого простейшего дельта-аддитивного процесса давайте и познакомимся с некоторыми основными методами анализа и свойствами дельта-процессов.
Простейший дельта-процесс: δA(1)
Говоря о дельта-аддитивных процессах естественно рассматривать их с самого начала, с момента пустого (или почти пустого) множества, в котором вообще нет объектов или имеется один-единственный, единичной массы. С ходом дельта-процесса во множестве начинают появляться новорождённые объекты, их количество растёт, сами объекты увеличивают массу, и т.д. И с точки зрения описания свойств дельта-процесса интерес представляют несколько вещей:
  1. Как с течением времени увеличивается количество объектов множества k?
  2. Как растёт масса объектов во времени?
  3. К какому распределению объектов по массам приводит действие дельта-процесса?
Найдя ответы на эти вопросы, мы получим достаточно полное представление о любом дельта-процессе.
Итак, дельта-процесс δA(1) управляется вероятностями:
Дельта-фактором тут у нас является единица: X=1. Но в действительности, ничего принципиально не изменится, если мы положим дельта-фактором любое постоянное число, потому что мы снова можем прийти к X=1 просто изменив параметр δ:
Дельта-вероятность управляется еще и параметром δ. Чем он выше, тем больше дельта-вероятность, так что параметр δ задаёт интенсивность появления новых объектов во множестве. То есть, говоря конкретно о процессе δA(1), мы имеем не один определённый процесс, а целое семейство процессов с одинаковым фактором X=1 и разными значениями δ. Обычно величина δ не влияет на основные свойства дельта-процесса, они остаются качественно родственными по результатам. Но не всегда: иногда в зависимости от выбора δ картина процесса существенно меняется. Родовым процессом в каждом семействе мы будем полагать процесс с δ=1.
Ещё одно замечание: при δ=0 дельта-вероятность в любом дельта-процессе оказывается равной нулю, то есть, новые объекты не появляются. Можно сказать, что при δ=0 процесс δA(1) превращается в обычный аддитивный, без изменения количества объектов – это даёт нам основание обозначать обычный аддитивный процесс как δA(0). Наоборот, при значении δ, стремящемся к бесконечности, окажется, что в каждый момент времени появляется новый объект. Это значит, старые объекты вообще не прирастают, и мы в конечном итоге получим большое множество объектов единичной массы. К таким результатам приводят предельные значения δ в любом дельта-процессе.
Итак, мы готовы познакомиться с результатами и свойствами процесса δA(1).
Тут мы не будем вдаваться в метод анализа дельта-процессов - он требует некоторых навыков в математике, и чтобы не загромождать текст, автор вынес собственно выкладки по анализу различных дельта-процессов в специальное приложение-справочник. В первой его части излагаются методы анализа дельта-процессов на примере процесса δA(1). Тут мы лишь будем обсуждать результаты и сравнивать их с результатами числового моделирования.
Проведем числовой опыт: 50 тыс. циклов времени при параметре δ=1. То есть, налетающие частицы становятся новыми объектами ровно в половине случаев. Ясно, что всего объектов во множестве должно оказаться около 25 тыс. Так и есть - посмотрим на распределение количества объектов по массам:
Серой линией отмечено теоретическое распределение, которое соответствует уравнению:
где k - общее количество объектов во множестве, а как Ф(m) мы обозначаем функцию частотного распределения.
Мы видим, что дельта-процесс δA(1) порождает экспоненциальные распределения объектов по массам, которые весьма распространены в натуральных феноменах. Теперь мы можем предполагать, что их источником является простейший дельта-процесс δA(1).
Этому частотному распределению соответствует следующее уравнение рангового распределения:
Ранговое распределение масс объектов во множестве, которое развивается из пустого (или почти пустого) в результате действия дельта-процесса мы будем именовать продуктом дельта-процесса или просто дельта-продуктом. Дельта-продуктом процесса δA(1) является указанное логарифмическое ранговое распределение.
Понятие дельта-продукта - потенциально мощный инструмент формального анализа сложных стохастических процессов развития. Как минимум, он даёт возможность записывать действие дельта-процессов в элегантном виде. В качестве примера возьмем действие простого аддитивного и мультипликативного процессов, которые можно рассматривать как дельта-процессы δA(0) и δM(0) соответственно.
Как мы знаем, простой аддитивный процесс, при котором не происходит увеличения количества объектов, приводит в пределе к однородному распределению масс объектов, поэтому мы можем сказать, что дельта-продуктом процесса δA(0) является однородное ранговое распределение. Мы также знаем, что простой мультипликативный процесс без прироста количества объектов не изменяет формы исходного распределения объектов по массам, а значит, дельта-продуктом процесса δM(0) (так можно обозначить простой мультипликативный процесс) является исходное распределение. Эти факты можно записать следующим образом соответственно:
Тут как R обозначено исходное распределение, как U - однородное распределение. В правой части каждого выражения - продукт соответствующего дельта-процесса.
Ещё одно заслуживающее упоминания свойство процесса δA(1) - в пределе линейный рост массы объектов в физическом времени. Например, вот опытные кривые роста первого и десятого объектов множества при δ=0,02:
При этом наклон кривых роста разных объектов одинаков и при небольших значениях δ равен 1/δ. В этом есть нечто занятное: в процессе δA(1) количество объектов во множестве растёт линейно в событийном (и структурном) времени, а массы объектов растут линейно в физическом.
Мы говорили о том, что физическое время, при котором количество событий на множестве пропорционально текущей массе множества, вероятно лучше подходит для описания натуральных обобщённых процессов, поэтому полезно представлять уравнения роста массы объектов или их количества не только в событийном времени, которое синхронизировано с шагами работы абстрактной модели, но и в физическом времени. Но полезно ввести ещё одно исчисление времени - структурное время. Структурное время синхронизировано с количеством объектов во множестве - это очень удобно при анализе дельта-процессов. Итак, мы используем три разных исчисления времени:
Событийное время te - в каждый шаг этого времени в системе происходит одно событие - прирост какого-то объекта на единицу или появление нового объекта единичной массы.
Физическое время t - в этом времени количество событий на множестве пропорционально текущей массе множества. В рамках рассматриваемых процессов это время прямо связано с событийным: te = ect+1 или te ≈ ect, где c - некоторая постоянная, задающая масштаб физического времени, для простоты её можно положить равной единице.
Структурное время ts - в каждый шаг этого времени во множестве появляется одно и то же количество новых объектов. В простейшем случае ts = k.
Отношения родитель-отпрыск
Завершая введение в "теорию дельта-процессов", следует обсудить ещё один интересный аспект.
До сих пор мы описывали дельта-процессы следующим образом:
  1. На множество налетает частица. С некоторой дельта-вероятностью pδ она становится новым объектом множества.
  2. Оставшаяся вероятность 1-pδ становится вероятностью прироста уже имеющихся объектов множества. Она распределяется между ними или равномерно (в аддитивном процессе) или в соответствии с правилом "богатый становится богаче" (в мультипликативном процессе).
В таком описании не имеет смысла вопрос кто является родителем нового объекта, если он появился. Новый объект "ничей", он полностью самостоятелен. Однако, мы можем представить дельта-процесс иначе:
  1. На множество налетает частица. Она направляется к одному из имеющихся объектов множества в соответствии с правилами обычного аддитивного или мультипликативного процесса.
  2. Попав в распоряжение того или иного объекта множества, частица с некоторой вероятностью поглощается им и тем самым увеличивает его массу на единицу, или становится отпрыском объекта - новым объектом единичной массы. Старый объект оказывается родителем нового объекта.
Такое описание связывает всё множество в единое дерево отношений родитель-отпрыск - и это очень полезно, потому что многие натуральные системы устроены иерархически, в них имеются явные отношения типа родитель-отпрыск или подобные.
Разберёмся в этом на примере мультипликативного процесса. Итак, пусть вначале каждый объект получает в своё распоряжение налетающую частицу в соответствии с чистым правилом "богатый становится богаче":
Преобразуем и разделим эту вероятность так:
Заметим, что суммарная вероятность появления отпрысков по всем объектам даёт обычную дельта-вероятность:
Иными словами, в этом виде процесс управляется точно такими же вероятностями, что и без отношений родитель-отпрыск. Но это не единственная возможность ввести эти отношения.
Заметим, что вероятность появления отпрыска у объекта тут тем выше, чем выше его массовая доля в целом множестве - то есть, "право порождать отпрысков" распределяется между объектами в соответствии с тем же правилом "богатый становится богаче". Ясно, что в случае аддитивного процесса это право между объектами будет распределяться равномерно. Но можно ли распределить это право между объектами однородно и в мультипликативном случае?
Этот вариант можно представить так:
Обратим внимание на две вещи. Во-первых, действительно вероятность появления отпрыска для всех объектов одинакова и не зависит от собственной массы объекта. Во-вторых, нам пришлось несколько модифицировать исходное правило "богатый становится богаче" (верхнее уравнение).
Как этот вариант согласуется со схемой вообще без учёта отношений родитель-отпрыск? Выясним это, суммируя вероятности появления отпрысков у всех объектов множества:
Сопоставим результат с обычным выражением дельта-вероятности:
Из чего следует:
Подставляя X вместо X', получим схему деления вероятности:
Как видим, вероятность собственного прироста для каждого объекта осталась точно такой же, как и была. Вероятность порождения отпрыска стала для всех объектов одинаковой.
Подведём итог: учет отношений родитель-отпрыск может подразумевать разные вероятности появления личного отпрыска у разных объектов. Тут может действовать правило "богатый становится богаче". Но есть и альтернатива, когда вероятности появления отпрысков у всех объектов одинакова. В этом случае, в некотором смысле, объекты растут мультипликативно, а отпрыски у объектов появляются аддитивно. Но если мы не учитываем отношений родитель-отпрыск или речь идет не о дельта-мультипликативном, а о дельта-аддитивном процессе, эти варианты становятся неразличимы между собой.
В целом, анализ древовидных структур, в которые развиваются растущие множества при учёте отношений родитель-отпрыск - это ещё один горизонт изучения дельта-процессов, и пока мы его отложим. Впрочем, для одного из дельта-процессов - самого интересного для нас, тиронного - мы изучили вопрос весьма подробно. К слову, вскоре мы увидим, что тиронный процесс - это процесс, который в нашей нотации записывается как дельта-процесс δM(k/M).
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER