КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 76. Дельта-процессы
Дельта-процесс: пример анализа
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Дельта-процесс: пример анализа
 
Роман Уфимцев
8 февраля 2013 года, Калининград
В этом специальном приложении к Прологу 76 анализируется дельта-аддитивный процесс δА(1). На его примере показаны методы анализа дельта-процессов.
Ответим на следующие вопросы:
  1. Как с течением времени увеличивается количество объектов множества k?
  2. Как выглядит уравнение роста некоторого объекта во времени?
  3. К какому распределению объектов по массам приводит действие этого процесса, если он начинается с момента, когда множество вообще не содержит объектов или содержит один объект единичной массы?
Мы хотим получить ответы на эти вопросы при трёх различных исчислениях времени:
В событийном времени te - в каждый шаг этого времени в системе происходит одно событие - прирост какого-то объекта на единицу или появление нового объекта единичной массы.
В физическом времени t - в этом времени количество событий на множестве пропорционально текущей массе множества. В рамках рассматриваемых процессов это время прямо связано с событийным: te = ect+1 или te ≈ ect, где c - некоторая постоянная, задающая масштаб физического времени, для простоты её можно положить равной единице.
В структурном времени ts - в каждый шаг этого времени во множестве появляется одно и то же количество новых объектов. В простейшем случае ts = k. Этот тип времени очень удобен при анализе дельта-процессов.
Мы проанализируем процесс δА(1) подробно, чтобы проиллюстрировать общие методы анализа дельта-процессов. Для остальных мы будем приводить лишь важнейшие результаты.
Дельта-аддитивный процесс δА(1) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта в каждый момент времени является постоянной величиной, дельта-фактор 1.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
тут мы обозначаем как pi - вероятность прироста объекта i, как pδ - вероятность появления нового объекта, (дельта-вероятность). δ - параметр процесса, который может принимать значения от 0 до бесконечности.
Метод 1: Уравнение баланса
Этот метод анализа результатов дельта-процесса позволяет выяснить форму частотного распределения объектов по массам в стационарном режиме, при количестве объектов растущего множества k стремящемся к бесконечности. Его преимущество в том, что он позволяет получать точные результаты даже в тех случаях, когда вероятность появления нового объекта велика - второй метод, использующий дифференциальные уравнения может в этих условиях приводить к неверным результатам. Недостаток метода заключается в том, что он позволяет найти только предельную форму частотных и ранговых распределений объектов, но не позволяет выяснить динамику их роста.
Рассмотрим растущее множество объектов в некоторый момент времени, когда оно насчитывает k объектов. Обозначим как Фm,k долю объектов, имеющих массу ровно m. Сложив доли объектов всех имеющихся во множестве масс, мы получим единицу. Если объекты, имеющие массу m, занимают долю Фm,k среди всех объектов множества, то таких объектов в количественном выражении оказывается
Разберёмся, как изменится это количество к тому времени, когда количество объектов множества увеличится до k+1, то есть, найдём величину
Во-первых, от количества k*Фm,k отнимутся объекты, которые за рассматриваемый период времени приросли на единицу массы, а потому уже не входят в число объектов с массой m. Во-вторых, к нему добавятся объекты, которые до этого имели массу m-1, но приросли на единицу массы. Чтобы составить уравнение баланса нам теперь нужно выяснить, сколько в среднем из объектов имеющих массу m и m-1 приросли за время, в течение которого количество объектов множества увеличилось до k+1.
Посмотрим на уравнение дельта-вероятности. Оно фактически описывает скорость прироста количества новых объектов за единицу времени. Однако, мы говорим о событийном времени, то есть таком, в каком за каждый шаг общая масса множества увеличивается на единицу. Значит, мы можем записать:
Из этого следует, что за то время, пока во множестве появляется один новый объект, его общая масса увеличивается на
Однако это прирост массы вместе с новым объектом единичной массы. Говоря только о старых объектах, их суммарный прирост составит
Этот прирост делится на все имеющиеся объекты множества в среднем поровну, а значит, ожидаемое количество приросших объектов массы m и m-1 равно соответственно
Теперь мы можем записать уравнение баланса:
Оно только выглядит иначе для объектов массы 1, поскольку их количество не увеличивается из-за того, что прирастают какие-то объекты ещё меньшей массы, но появляется ровно один новый объект единичной массы, так что:
Как будет выглядеть последнее уравнение в пределе, при очень больших k? В этом случае можно положить, что
Тогда мы можем решить уравнение баланса для объектов единичной массы:
Из общего уравнения баланса в пределе больших k получаем:
Это рекурсивное отношение, которое позволяет нам выяснить окончательное значение Фm,k, то есть, долю объектов, имеющих массу m в предельном распределении:
Окончательно получим:
Ясно, что это ничто иное как уравнение частотного распределения объектов множества по массам - и оно, как видим, является экспоненциальным (или, точнее говоря, геометрическим, поскольку это дискретное распределение).
При малых значениях δ (то есть, при малой дельта-вероятности), используя приближенное равенство ln(1+A) = A, которое справедливо при малых A, получим:
Это распределение по форме совпадает с тем, которое мы получаем, используя второй метод анализа дельта-процессов.
Метод 2: Дифференциальные уравнения
Этот метод проще и даёт более полные результаты, нежели метод уравнения баланса. Однако, в случае больших дельта-вероятностей он приводит к погрешностям, связанным с погрешностями описания дискретных процессов непрерывными функциями.
Во-первых, заметим, что вероятность прироста объекта pi управляет скоростью прироста массы объекта i, фактически она равна производной его массы по событийному времени. Аналогично, вероятность pδ равна скорости увеличения количества объектов во множестве, так что мы можем записать следующие дифференциальные уравнения:
Из них мы можем получить дифференциальное уравнение роста объекта i в структурном времени (ts = k):
Решив его, получим:
Величина C должна быть определена из дополнительных условий. Таким условием является учёт момент появления объекта i во множестве. Это происходит в момент ts = i. Положив, что в момент своего появления объект имеет массу 1, мы получим равенство:
Окончательно получаем уравнение роста объекта i в структурном времени:
Очевидно, что в дельта-процессах в среднем чем раньше появляется объект, тем больше его масса в некоторый момент времени среди прочих. Это значит, что уравнение роста объекта в структурном времени совпадает с уравнением рангового распределения объектов по массам:
То есть, уравнение рангового распределения объектов по массам в каждый момент времени имеет логарифмическую форму. Как мы знаем, это означает, что частотное распределение является экспоненциальным. Конкретно, опираясь на метод получения частотного распределения из рангового (PDF из RDF), получим:
Заметим, что уравнение частотного распределения не зависит от времени. Это в частности означает, что с течением времени не изменяется средняя масса объектов множества, она равна
Мы получили ответы на все поставленные вопросы, но только в структурном исчислении времени. Чтобы получить уравнения роста, распределений и т.д. в событийном времени te и физическом t, необходимо установить связь между событийным временем и структурным. Для этого нужно найти уравнение роста количества объектов множества k в событийном времени. Обратимся ко второму из пары дифференциальных уравнений, с которых мы начинали анализ:
Решая его и учитывая условие k(0) = 0, получим:
Это уравнение задаёт связь между структурным временем и событийным, и мы можем использовать его для подстановки в полученные выше результаты для получения их выражения в событийном времени. Например, уравнение роста объекта i в событийном времени:
где tie - момент рождения объекта i в событийном времени.
Далее, мы можем перейти в выражениям в физическом времени, пользуясь связью между событийным и физическим временем:
Например, то же уравнение роста объекта i в физическом времени:
где ti - момент рождения объекта i в физическом времени. То есть, в физическом времени рост объектов происходит линейно.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER