КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 76. Дельта-процессы
Дельта-аддитивные процессы: справочник
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Дельта-аддитивные процессы: справочник
 
Роман Уфимцев
12 февраля 2013 года, Калининград
В этом специальном приложении к Прологу 77 анализируются простейшие типы аддитивных дельта-процессов.
1. Дельта-аддитивный процесс δА(1/k)
Дельта-аддитивный процесс δА(1/k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной текущему количеству объектов, дельта-фактор 1/k.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс порождающий, то есть, может начинаться с пустого множества.
Для анализа этого процесса достаточно метода дифференциальных уравнений. Двигаясь по его логике, получим уравнение роста объекта i в событийном времени:
Отсюда уравнение рангового распределения
То есть, дельта-продуктом этого процесса является линейное распределение.
Частотное распределение - однородное и в дискретной форме отвечает элементарному уравнению:
Среднее значение массы объектов:
Теперь для представления процесса в событийном времени, решим дифференциальное уравнение:
Решение, с учётом условия, что в момент времени te=0 кличество объектов во множестве k=0
Из этого уравнение роста объекта в событийном времени:
где tie - момент рождения объекта i в событийном времени.
Уравнение роста в физическом времени:
где ti - момент рождения объекта i в физическом времени.
2. Дельта-аддитивный процесс δА(1/M)
Дельта-аддитивный процесс δА(1/M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной общей массе множества, дельта-фактор 1/M.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс порождающий, то есть, может начинаться с пустого множества.
Составим из уравнения дельта-вероятности и решим дифференциальное уравнение, связывающее количество объектов k и общую массу множества M:
Из условия, что при нулевой массе множества количество объектов в нём также нулевое, найдём C и окончательно получим:
Таким образом, количество объектов во множестве неограниченно растёт, хотя в пределе очень медленно. Поскольку M = te, это же уравнение задаёт связь между структурным и событийным временем:
Зависимости k(M) и k(te) статистически неустойчивы, что иллюстрирует сравнение опытных зависимостей и теоретической кривой:
Опытные кривые подвержены своего рода случайному блужданию, которое с течением времени приводит ко всё большему отклонению опытных данных от теоретических значений количества объектов. При этом расхождение опытного количества объектов с теоретическим даже на единицу приводит к кратной ошибке в теоретической оценке других параметров: средней массы объектов, массы некоторого объекта в определенный момент времени и т.д. В целом из-за вносимой этой неустойчивостью неопределённости опытные параметры этого процесса обычно совпадают с теоретическими только с точностью до некоторого конечного множителя.
Очень просто выглядит выражение для количества объектов в физическом времени:
То есть, в физическом времени количество объектов множества растёт линейно. Сопоставление результатов трех числовых опытов с теоретической кривой:
Далее,
На основе уравнений вероятности составим основное дифференциальное уравнение:
Подставим в него полученную выше зависимость M(k):
Отсюда масса объекта i при общем числе объектов k равна интегралу:
Результат можно представить на основе интегральной показательной функции Ei(x):
где Ei(x) определяется как
Интегральная показательная функция - специальная функция, не позволяющая записать уравнение роста объекта в закрытом виде. Однако, поскольку при больших x функция f(x) = ex растёт гораздо быстрее, чем функция f(x) = x, мы можем перейти к приближению:
Вот как выглядит теоретическая кривая роста для первого и десятого объектов множества при δ=1:
После некоторого начального периода массы объектов начинают расти практически одинаково, укладываясь на одну и ту же кривую, близкую к экспоненте:
Это означает, что массы всех объектов, за исключением самых молодых, выравниваются, и ранговое распределение с ростом k приближается к однородному:
При небольших k из-за стохастической неустойчивости зависимости k(M), ранговое распределение вида
только с точностью до некоторого конечного множителя A соответствует опытным данным. Это также приводит к сильному разбросу средней массы объектов по результатам числовых опытов вокруг теоретического значения:
Уравнение роста объекта в событийном времени:
Она также согласуется с опытными данными только до некоторого множителя A. Сопоставление с результатами числового опыта (черные линии - теоретические кривые):
Уравнение роста объекта в физическом времени:
3. Дельта-аддитивный процесс δА(k/M)
Дельта-аддитивный процесс δА(k/M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной средней массе объектов множества, дельта-фактор k/M.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Применяя метод дифференциальных уравнений, получим основное уравнение:
Для его решения необходимо найти зависимость M(k). Составим дифференциальное уравнение общей массы множества, используя уравнение дельта-вероятности:
Оно имеет разные решения в случаях δ=1 и δ≠1:
Окончательно основное дифференциальное уравнение:
Решая уравнение, получаем выражения для роста объекта i в структурном времени:
Для последнего уравнения действительны приближения:
Таким образом, мы имеем три качественно разных типа роста объектов в зависимости от значения параметра δ. Дальнейший анализ целесообразно вести раздельно по трем случаям.
Случай δ = 1
Уравнение рангового распределения:
Частотное распределение:
Средняя масса:
Переход к выражениям в событийном или физическом времени невозможен из-за невозможности закрытого решения уравнения относительно k:
Однако, выполняется красивое равенство:
Случай δ < 1
Уравнение рангового распределения:
Частотное распределение:
Средняя масса:
Переход к закрытым выражениям в событийном и физическом времени возможен лишь при некоторых значениях δ, поскольку только при некоторых значениях параметра имеются закрытые решения следующего уравнения относительно te:
В общем случае решения имеются, если параметр δ имеет форму 1/n, где n - целое число больше 2. Например, при δ=1/2:
При достаточно малых δ мы можем упростить зависимость M(k):
И это позволяет найти простую приближенную связь между k и te:
Тогда приближенное уравнение роста в событийном времени:
Случай δ > 1
При анализе методом дифференциальных уравнений, мы получаем следующее выражение рангового распределения:
Соответствующее частотное распределение:
Однако, для дельта-процессов с высокими дельта-вероятностями - а при δ > 1 мы имеем как раз такую ситуацию - лучшие результаты с точки зрения точности уравнений распределений даёт метод анализа с помощью уравнения баланса. Используя его, получим уравнение дискретного частотного распределения, которое лучше отвечает опытным данным при δ > 1:
И уравнение рангового распределения в этом случае:
Средняя масса:
Относительно перехода к уравнением в событийном и физическом времени справедливы те же соображения, что и для случая δ < 1. Мы можем воспользоваться приближением, справедливым при больших δ:
Тогда
То есть, при больших δ количество объектов во множестве увеличивается практически линейно, и это сближает этот процесс по свойствам с процессом δА(0).
4. Дельта-аддитивный процесс δА(M/k)
Дельта-аддитивный процесс δА(M/k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется средней массой объектов множества, дельта-фактор M/k.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Начнём с метода дифференциальных уравнений. Основное уравнение, определяющее рост массы объекта i в структурном времени:
Для его решения необходимо сначала установить зависимость M(k). Мы можем это сделать на основе уравнения дельта-вероятности, получим:
Решим его, сделав предположение, что M(k) = a*k, то есть, является линейной функцией. Тогда:
Отсюда находим a, и получаем зависимость M(k):
Тут мы обозначили линейный коэффициент буквой φ с умыслом: дело в том, что при δ=1, то есть, в родовом случае процесса, это число оказывается равным золотому сечению, которое принято обозначать греческой буквой φ:
Ещё один интересный результат получается при δ=1/2:
Может быть, ряд чисел φδ, получаемых при различных рациональных значениях δ можно рассматривать как обобщение золотого сечения.
Обратим внимание, что если зависимость M(k) является линейной, то уравнение дельта-вероятности можно записать так:
То есть, дельта-вероятность оказывается постоянной величиной, и это значит, процесс δА(M/k) является разновидностью процесса δА(1), в котором также дельта-вероятность постоянная. Мы можем анализировать процесс δА(M/k) как δА(1), приняв
где δ' - оригинальный дельта-параметр процесса δА(M/k), а δ - параметр в тождественном по результатам процессе δА(1). Этот факт позволяет поставить на этом точку в анализе процесса - к нему применимы все выводы, что мы сделали для процесса δА(1). Исключением является лишь дельта-параметр родового случая процесса.
5. Дельта-аддитивный процесс δА(k)
Дельта-аддитивный процесс δА(k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется количеством объектов во множестве, дельта-фактор k.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Этот процесс поддаётся точному дискретному анализу.
Пусть в нулевой момент времени te = 0 множество содержит 1 объект единичной массы. Тогда вероятность появления нового объекта за следующий шаг времени:
Значит, ожидаемый период до появления нового объекта:
После того, как появляется второй объект, дельта-вероятность увеличивается:
Отсюда период, требующийся для появления третьего объекта:
и т.д. Из этого получим ожидаемый момент появления объекта k:
Отсюда средняя масса объектов:
Заметим, что найти закрытую форму обратной функции k(te) нельзя, так что уравнения роста не переводятся в событийное и физическое время.
Далее, зная моменты появления объектов и используя тот факт, что вероятности прироста всех имеющихся во множестве объектов в каждый момент времени одинаковы, получим ожидаемую массу объекта i в тот момент, когда во множестве появляется объект k:
Это строгое уравнение роста объекта в событийном времени, и оно же задаёт строгую форму рангового распределения:
При малых значениях δ форма рангового распределения имеет интересную особенность: область высших рангов укладывается на кривую 1/rank, что является признаком закона Зипфа. Вот теоретические кривые ранговых распределений при δ=0,01:
Максимально полное сходство со степенным распределением возникает в тот момент, когда количество объектов достигает величины k=1/δ.
Для качественной оценки перейдём к интегральному представлению:
При k=1/δ:
Заметим, что в момент k=1/δ дельта-вероятность оказывается равной 1/2.
Но и при значениях k, отличных от величины 1/δ, начало ранговых распределений укладывается на степенную функцию k/rank:
Причем чем выше k, тем большая часть распределения укладывается на степенную функцию k/rank.
Особенность процесса - наличие быстро достигаемого предела роста у объектов множества. Устремляя в строгом уравнении роста k к бесконечности, получим предельную массу объекта i:
В частности, предельная ожидаемая масса первого, крупнейшего объекта множества равна:
Вот как выглядит предельная теоретическая форма рангового распределения при различных параметрах δ:
Хорошее непрерывное приближение предельного рангового распределения задаётся функцией:
Соответствующее частотное распределение:
6. Дельта-аддитивный процесс δА(M)
Дельта-аддитивный процесс δА(M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется общей массой множества, дельта-фактор M.
  2. Вероятности прироста старых объектов равны между собой (условие аддитивного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
По своим качественным свойствам этот процесс похож на δА(k) - также имеется предел роста объектов, также распределения имеют степенные признаки. Однако, в отличие от процесса δА(k) этот не поддаётся точному дискретному анализу, который бы позволял получить содержательные результаты. Это значит, что метод анализа процесса на основе решения дифференциальных уравнений может дать корректные результаты лишь при условии малого значения δ, и лишь для начального периода развития множества, пока дельта-вероятность остаётся невысокой. Проанализируем сначала процесс исходя из этих условий.
Основное дифференциальное уравнение роста:
Необходимо найти функцию M(k). Имеем из уравнения дельта-вероятности:
Решаем:
Теперь мы можем составить дифференциальное уравнение роста объекта i в событийном времени:
К сожалению, это уравнение не поддаётся прямому решению, поэтому нам необходимо найти его приближенную форму, которая бы удовлетворяла необходимым условиям. Рассмотрим функцию:
Легко показать, что эта функция имеет значения в диапазоне от 1 до 2, при этом в области малых значений x имеет предел 2, в области больших значений x - предел 1:
Заметим, что делитель этой функции сходен с делителем в нашем дифференциальном уравнении, так что x=M*δ. Таким образом при значениях M*δ < 1 справедливо приближение:
Это уравнение имеет простое решение, и мы получаем уравнение роста объекта i в событийном времени при условии M = te < 1/δ :
где tie - момент рождения объекта i в событийном времени. Ясно, что при стремлении tie к бесконечности (то есть, даже за пределами условия tie < 1), рост каждого объекта имеет предел, а значит существует предельное распределение, как в процессе δА(k). Найдём его форму.
Для того, чтобы перейти от уравнения роста к ранговому распределению нам необходима зависимость M(k) = tie(k). К сожалению, выше мы получили только обратную зависимость k(M) и обратное выражение в закрытом виде не существует. Однако, это не мешает найти уравнение частотного распределения (мы будем двигаться по методу получения частотного распределения из рангового (PDF из RDF)).
Итак, мы имеем в закрытом виде зависимость k(te), обозначим эту функцию как F:
Гипотетическую обратную функцию, которая могла бы выразить зависимость te(k) обозначим как
Тогда мы можем записать на основе уравнения роста выражение для рангового распределения масс объектов:
Запишем это выражение в форме функции y(x):
Тут мы ещё перешли от абсолютных значений ранга rank к относительным ранговым единицам x. Теперь найдем обратную функцию x(y):
В пределе, при большом количестве объектов k получаем:
Уравнение частотного распределения определяется как:
В итоге получаем:
Обратим внимание, как это выражение похоже на уравнение предельного частотного распределения в процессе δА(k):
Оба выражения имеют свойства степенного распределения при больших значениях m (степенные хвосты), отличаясь лишь показателем степени. Это ещё раз говорит о какой-то родственности дельта-процессов δА(M) и δА(k).
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER