КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 76. Дельта-процессы
Дельта-мультипликативные процессы: справочник
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Дельта-мультипликативные процессы: справочник
 
Роман Уфимцев
20 февраля 2013 года, Калининград
В этом специальном приложении к Прологу 78 анализируются простейшие типы мультипликативных дельта-процессов.
1. Дельта-мультипликативный процесс δM(1)
Дельта-мультипликативный процесс δM(1) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта является постоянной величиной, дельта-фактор 1.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче" (условие мультипликативного процесса).
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Сперва мы проанализируем этот процесс, используя метод уравнения баланса - он позволяет получить точную форму частотного распределения при любых значениях δ, хотя и не позволяет найти уравнение роста объектов.
Полагаем, что в начале у нас имеется один объект единичной массы. Тогда из уравнения дельта-вероятности следует, что текущая суммарная масса объектов множества и их количество (в момент появления объекта k) связаны соотношением:
Значит, за время, в течение которого количество объектов увеличится от k до k+1, масса множества увеличится на (1+δ)/δ. С учётом того, что единица из этой прибавки массы составит единичную массу нового объекта, все старые объекты за это время прирастут в общей сложности на
Обозначим как Фm,k долю объектов, имеющих массу m в тот момент, когда во множестве имеется k объектов, и как Фm-1,k - долю объектов с массой m-1, составим уравнение баланса:
Это уравнение отражает тот факт, что количество объектов, имеющих массу m в момент, когда во множестве станет всего k+1 объектов (левая часть равенства), скдладывается, во-первых, из количества объектов с массой m в тот момент, когда объектов всего было k - это первое слагаемое в правой части уравнения. Во-вторых, следует учесть убыток объектов массы m, связанный с тем, что некоторые из них за рассматриваемый период увеличат свою массу на единицу - это второе слагаемое. И, наконец, прибыток, связанный с тем, что некоторое число объектов, имевших прежде массу m-1 увеличат свою массу на единицу - это третье слагаемое.
Ожидаемое число объектов массы m и m-1, которые прирастут на единицу за рассматриваемый период вычисляется, исходя из действия правила "богатый становится богаче": например, общее количество объектов массы m равно k*Фm,k. Значит, их общая масса m*k*Фm,k. Отсюда их доля в общей массе множества m*k*Фm,k/M. Значит, ожидаемое число объектов, которые прирастут за рассматриваемый период на единицу массы: (m*k*Фm,k/M)*(1/δ).
Уравнение баланса для объектов единичной массы выглядит иначе, поскольку последнее слагаемое равно единице:
Теперь, используя тот факт, что M = k*(1+δ)/δ, и переходя к пределу очень больших k, окончательно получим:
Раскрывая рекурсивное отношение, вычислим Фm,k при предельно больших k:
Это распределение, которое иногда именуют распределением Юла в честь Удни Юла, первого исследовавшего результаты роста множества в соответствии с правилами процесса δM(1) - этот процесс называют процессом Юла.
В соответствии со свойствами гамма-функции, в случае, когда величина 2+δ мала по сравнению с m, распределение Юла приближается к степенному распределению:
Метод анализа с помощью дифференциальных уравнений не обладает такой точностью как метод уравнения баланса, особенно при не малых δ, однако он проще и позволяет найти уравнения роста объектов. В случае малых δ он даёт результаты, хорошо согласующиеся с числовыми опытами и точным распределением Юла. Кроме того, он позволяет описать феномен развития сверх-массивного объекта, который наблюдается при очень малых значениях δ.
На основе уравнений вероятности составим основное дифференциальное уравнение, описывающее рост объекта i в зависимости от количества объектов в множестве (то есть, рост объекта в структурном времени ts = k):
Решив его, получим:
Значение постоянной C нужно определить из условия, в соответствии с которым в момент структурного времени i масса объекта i равна 1, и окончательно уравнение роста объекта i в структурном времени:
Поскольку чем старше объект множества, тем он массивнее, это же уравнение задаёт ранговое распределение объектов по массам в некоторый момент структурного времени k:
То есть, распределение близко к степенному:
отклонения от чистой степенной формы возникают лишь для объектов высшего (малого) ранга. Соответствующее частотное распределение также является степенным:
Средняя масса объектов определяется частным M/k, и равна:
Или, при не очень малых значениях δ и больших k:
При очень малых δ рост массы первого объекта множества происходит гораздо быстрее, чем масса остальных. В результате его масса на порядки превышает массу остальных и он видимо выбивается из общей примерно степенной формы рангового распределения:
С ростом количества объектов и уменьшением δ этот эффект становится ещё ярче: тогда все объекты множества кроме первого укладываются на степенную кривую. Первый же объект аномально выбивается из общей картины. Эту аномалию можно оценить, сравнив теоретическую массу объекта в соответствии с точным уравнением рангового распределения и его степенным приближением:
Отсюда приближенно получим, что первый объект имеет массу в ≈1/δ раз превышающую "положенную" по степенному закону. Например, в данном случае первый объект примерно в 100 раз массивнее, чем "положено" по степенному приближению.
Заметим, что это обстоятельство не позволяет считать процесс δM(1) приемлемым методом порождения распределений, соответствующих закону Зипфа, то есть, отвечающих ранговому распределению с показателем степени -1. Для того, чтобы получить такое распределение, параметр δ должен быть взят очень малым. Но в этом случае, как мы видим, развивается аномалия - сверх-массивный объект, выбивающийся из степенного распределения. Если опытные данные не содержат такой аномалии, для моделирования происхождения статистики Зипфа следует использовать другой дельта-процесс.
В заключение отметим, что эта аномалия практически не заметна, если мы анализируем опытные данные, используя не ранговое, а частотное распределение, поскольку она касается небольшого числа объектов, в пределе единственного. В результате, когда вообще объектов много, на частотном распределении она не заметна, не сказывается на его форме.
Используя известную уже нам связь между структурным временем ts = k и событийным te, мы можем записать уравнение роста объекта в событийном времени:
где tie - момент рождения объекта i в событийном времени. При не очень малых δ действительно приближение:
2. Дельта-мультипликативный процесс δM(1/k)
Дельта-мультипликативный процесс δM(1/k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной текущему количеству объектов, дельта-фактор 1/k.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс порождающий, то есть, может начинаться с пустого множества.
Для получения точной формы предельного частотного распределения воспользуемся сначала методом уравнения баланса.
Решая дифференциальное уравнение на основе выражения дельта-вероятности, установим, что между общей массой множества и количеством объектов в нём действует соотношение:
или, обратно, (нам понадобится в дальнейшем):
Отсюда прирост массы множества за время, пока количество объектов увеличится от k до k+1 (не считая единичной массы вновь появившегося объекта):
На основе этого составим уравнения баланса:
Из чего в пределе больших k получим:
Раскрывая рекурсию, имеем окончательное уравнение предельного частотного распределения:
Обратим внимание на интересный факт: форма распределения не зависит от δ.
Заметим, что формально полученное распределение относится к типу распределений Юла, которые получается в процессе δM(1):
При параметре δ = -1/2. Однако, мы не можем считать по этой причине процесс δM(1/k) разновидностью процесса δM(1), поскольку при таком значении δ, дельта-вероятность оказывается отрицательной:
Что абсурдно. Таким образом, несмотря на то, что результаты процессов описываются одинаковыми уравнениями распределения, они не являются простыми разновидностями друг друга.
По свойству гамма-функции, при больших m справедливо приближение степенным распределением:
Это значит, ранговое распределение масс объектов имеет участок, хорошо укладывающийся на степенную функцию с показателем -2.
Предпримем теперь анализ методом дифференциальных уравнений, который даёт тем лучше соответствующие опытным данным результаты, чем меньше параметр δ.
Составим дифференциальное уравнение роста массы объекта i в структурном времени:
При соблюдении условия δ<<k оно имеет простое решение:
Решив его и отнормировав по моменту рождения объекта i, получим уравнение роста в структурном времени:
Или, в форме рангового распределения:
Хвост рангового распределения укладывается на степенную функцию с показателем -2:
Соответствующее приближенное уравнение частотного распределения:
В таком виде выражение примерно соответствует приближенному частотному распределению, полученному методом уравнения баланса.
При больших k cредняя масса объектов растёт линейно вместе с их количеством:
При очень малых значениях δ в этом процессе, также как в процессе δM(1), первый объект оказывается сверх-массивным, выбиваясь из общей формы степенного распределения - он имеет массу в среднем в 1/2δ раз большую, чем "положено" в соответствии со степенным приближением. Например, в данном примере первый объект имеет массу примерно в 50 раз больше "положенной":
Выше нами была установлена связь k и событийного времени te = M. Сделав замену аргумента в уравнении роста, получим рост объекта i в событийном времени:
То есть, в событийном времени рост объектов в пределе является линейным.
3. Дельта-мультипликативный процесс δM(1/M)
Дельта-мультипликативный процесс δM(1/M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной общей массе множества, дельта-фактор 1/M.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс порождающий, то есть, может начинаться с пустого множества.
Для получения точной формы предельного частотного распределения воспользуемся сначала методом уравнения баланса.
Прежде всего найдем зависимость M(k). Мы можем воспользоваться результатом, полученным при анализе процесса δA(1/M):
и
Отсюда прирост массы множества за время, пока количество объектов увеличится от k до k+1 (не считая единичной массы вновь появившегося объекта):
На основе этого составим уравнения баланса, которое при k, стремящемся к бесконечности даёт:
Ясно, что мы не можем раскрыть рекурсию из-за равенства нулю предельной доли объектов с массой 1. Эту долю следует принять какой-то очень малой, но не нулевой величиной A, тогда рекурсия раскрывается в уравнение частотного распределения:
Обычно множитель при частотном распределении можно установить из условия нормирования: сумма долей объектов всех возможных масс должна быть равна единице. Однако, в данном случае этот метод для установления величины A не годится, поскольку сумма долей по всем возможным массам (от 1 до бесконечности) расходится. Но как можно установить, используя второй метод анализа (см. далее), величина А при больших (но не бесконечных) значениях k равна:
Проанализируем рост объектов и ранговое распределение с помощью метода дифференциальных уравнений. Составим основное дифференциальное уравнение роста объекта i, решим его и нормируем по условию, что в момент времени k=i масса объекта i равна единице. Получим уравнение роста:
Отсюда уравнение рангового распределения:
Соответствующее уравнение частотного распределения:
Средняя масса объектов такая же, как и в процессе δA(1/M):
Переход к уравнению роста в событийном времени производится на основе выражения:
Получаем:
где tei - момент рождения объекта i в событийном времени. То есть, объекты растут практически линейно.
4. Дельта-мультипликативный процесс δM(k/M)
Дельта-мультипликативный процесс δM(k/M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной средней массе объектов множества, дельта-фактор k/M.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Начнём анализ с метода уравнения баланса.
Анализируя дельта-аддитивный процесс δА(k/M), в котором уравнение дельта-вероятности выглядит точно также, мы установили зависимость M(k):
При δ, стремящемся к единице, оно превращается в
Однако, имея этот предел в виду, в методе уравнения баланса будем использовать только общее уравнение. Прирост массы множества за время, пока количество объектов увеличится от k до k+1 (не считая единичной массы вновь появившегося объекта):
Тогда, составляя уравнение баланса, получим:
Устремляя k к бесконечности, находим рекурсивные отношения:
И, раскрывая рекурсию, устанавливаем уравнение предельного частотного распределения:
По форме мы вновь получаем распределение Юла, как в процессах δM(1) и δM(1/k). Однако, если прямая попытка рассматривать процесс δM(1/k) как разновидность процесса δM(1) приводила к абсурду, этой проблемы не возникает с процессом δM(k/M): мы можем получить предельные распределения, характерные для процессов δM(1) и δM(1/k) просто подобрав как следует параметр δ. Например, если δ в процессе δM(1) на единицу больше, чем в процессе δM(k/M), мы получим одинаковые распределения. Или взяв δ=1/2, мы получим точно те же результаты, к каким приводит процесс δM(1/k).
В случае, если δ+1 гораздо меньше m, по свойству гамма-функции, действительно степенное приближение:
При δ≤1 этот результат согласуется с тем, который получается при методе анализа дифференциальными уравнениями.
Средняя масса объектов:
Сравним полученные результаты с анализом методом дифференциальных уравнений. Двигаясь по общему направлению метода, получим уравнение роста объекта i в структурном времени:
Или в форме рангового распределения:
Соответствующее частотное распределение:
При малых δ этот процесс не приводит к развитию сверх-массивного первого объекта, который бы выпадал из общей картины степенного распределения. Однако, вообще при уменьшении значения δ ситуация быстро приходит к вырожденной: развивается только один единственный объект множества. Например, теоретически к тому моменту, когда во множестве появляется второй объект, масса первого достигает величины:
Например, при δ=0.05, к тому моменту, когда во множестве появится второй объект, масса первого уже будет более миллиона единиц, а значения δ порядка 0.01 уже вообще не имеют никакого практического применения.
В общем случае переход к уравнениям роста в событийном или физическом времени невозможен, поскольку уравнение M(k) в общем случае не позволяет получить закрытую форму k(M), которая необходима для перехода в событийное время. Этот переход возможен лишь в том случае, если δ=n или δ=1/n, где n - целое число больше 2.
Например, при δ=1/2, как было показано при анализе родственного процесса δA(k/M)
Или, при δ=2
Кроме того, при значениях δ существенно больше или меньше единицы и при больших te действительны приближения:
Отсюда получаем приближенные уравнения роста объекта i в событийном времени:
5. Дельта-мультипликативный процесс δM(M/k)
Дельта-мультипликативный процесс δM(M/k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется средней массой объектов множества, дельта-фактор M/k.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Анализируя процесс δA(M/k), в котором уравнение дельта-вероятности выглядит точно также, как в этом, мы установили уравнение M(k):
Значит, прирост массы множества за время, пока количество объектов увеличится от k до k+1 (не считая единичной массы вновь появившегося объекта):
Прирост является постоянной величиной, и это значит, что используя метод уравнения баланса мы получим тот же результат, что в процессе δM(1), то есть, распределение Юла. Разница лишь в параметрах:
То есть, переход от процесса δM(1) к процессу δM(M/k) выглядит как увеличение параметра δ в φδ раз.
Степенное приближение:
Остальные результаты соответствующим образом аналогичны результатам процесса δM(1).
6. Дельта-мультипликативный процесс δM(k)
Дельта-мультипликативный процесс δM(k) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется количеством объектов во множестве, дельта-фактор k.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Для аддитивного аналога этого дельта-процесса δA(k) оказался возможен точный дискретный анализ. К сожалению, эта возможность не распространяется на процесс δM(k) - нам придётся анализировать его опираясь на приближенные упрощения, практически догадываясь о форме его дельта-продукта. Также, как и при анализе процесса δA(k), мы будем исходить из предположения, что параметр δ мал. В ином случае мы получаем тривиальную картину растущего множества, состоящего практически только из объектов единичной массы. Впрочем, результаты, которые мы получим, охватывают и этот случай.
Анализ процесса методом уравнения баланса в данном случае приводит к неверным результатам из-за особенностей процесса, поэтому обратимся к методу дифференциальных уравнений.
Во-первых, из выражения дельта-вероятности составим дифференциальное уравнение зависимости массы множества M от текущего количества объектов k:
Решив, получим:
Заметим, что точная зависимость, которую можно получить дискретно анализируя приросты M и k выглядит как
Или, используя хорошее логаримфическое приближение гаромнического числа H:
Однако, для простоты мы будем использовать первое, самое простое выражение M(k), имея в виду возможность использовать более точные выражения.
Теперь составим основное дифференциальное уравнение роста объекта i в структурном времени:
Рассмотрим отдельно периоды роста, когда k<1/δ (первый этап роста множества) и k>1/δ (второй этап роста множества)
В первой интересующей нас области значений k выполняется условие k<1/δ. При этом условии мы можем упростить дифференциальное уравнение до
Его решение:
Чтобы найти постоянную C, потребуем, чтобы к тому моменту, когда во множестве появляется объект с номером i, его масса равнялась единице, тогда получим:
Это уравнение роста не пригодно лишь для первого объекта, поскольку при k>1 и i=1 мы получаем бесконечную массу первого объекта, что абсурдно. Форму уравнения роста массы первого объекта мы должны выяснить особо. Массу первого объекта можно найти из соображения, что она равна разности между общей массой множества и массой всех объектов с номером больше 1:
или, подставляя найденное нами уравнение массы объекта i:
Перейдем к интегральному приближению суммы:
Интеграл в этом выражении можно представить как разность двух значений логарифмической интегральной функции li(k):
Значение li(2) известно и равно примерно единице. Кроме того, для больших k выполняется приближенно:
В результате получаем уравнение роста для первого объекта:
Итак, мы нашли уравнения роста всех объектов:
Сопоставление выражений для случаев δ≠ 1 и δ=1 наводит на естественную идею объединить их, используя приближение ln(1+A) ≈ A, которое действительно при малых A:
При малых δ - а именно такие значения этого параметра нас интересуют - оно эффективно обобщает выражения для случаев δ≠ 1 и δ=1. Это представление мы и будем считать общим уравнением роста объекта i. Тогда ранговое распределение:
Соответствующее частотное распределение:
Этот фаза роста завершается примерно в тот момент, когда количество объектов множества достигает количества k' ≈ 1/δ. В этот момент массы имеющихся объектов:
Вот пример опытного рангового распределения объектов к моменту k' ≈ 1/δ:
Второй этап роста множества начинается при выполнении условия k>1/δ. При этом условии основное дифференциальное уравнение может быть упрощено до следующего вида:
Его решение:
Значение постоянной C для объектов, возникших ещё в первой фазе развития множества можно найти из условия, что в момент k' их масса должна соответствовать той, которая была достигнута по результатам первой фазы развития множества. Получим:
Для объектов, которые появились уже во второй фазе развития, результат выглядит иначе:
Заметим, что также, как в родственном дельта-аддитивном процессе δA(k) имеется предел роста: при стремлении k к бесконечности, предельные массы объектов:
При этом для объектов с номерами гораздо больше 1/δ предельная масса оказывается равной единице, то есть, после некоторого предела множество растёт только прибавляя в каждый шаг времени по одному объекту единичной массы.
В заключение запишем окончательные уравнения рангового распределения:
7. Дельта-мультипликативный процесс δM(M)
Дельта-мультипликативный процесс δM(M) подчиняется двум условиям:
  1. Вероятность появления нового объекта управляется общей массой множества, дельта-фактор M.
  2. Вероятности прироста старых объектов определяются правилом "богатый становится богаче".
Процесс управляется вероятностями:
Процесс продолжающий, то есть, может начинаться со множества, содержащего один объект единичной массы.
Этот процесс также сложен для анализа как и процесс δM(k). Его также приходится анализировать по фазам.
Сначала из выражения веротяности прироста объекта i оставим дифференциальное уравнение, описывающее рост объекта i в событийном времени te = M:
Решив его, получим:
Значение постоянной Ci зависит от номера объекта и должно определяться для каждого объекта исходя из условия, по которому в момент своего рождения tei объект имеет единичную массу. Например, мы знаем, что первый объект появляется в момент времени te1 = 1, значит окончательно уравнение роста первого объекта в событийном времени:
Заметим, что устремляя событийное время к бесконечности, мы получим предел роста массы первого объекта, он оказывается равным (1+δ)/δ. Ясно, что и все прочие объекты имеют предел роста, величина которого зависит от номера объекта и постоянной Ci. Чтобы найти эту постоянную для каждого объекта, необходимо знать момент событийного времени tei, в который объект i появляется во множестве. Это можно было бы узнать, установив зависимость M(k) = te(k).
Из дифференциального уравнения, составленного на основе выражения для дельта-вероятности, мы получим обратную зависимость k(M):
В своём полном виде это выражение не позволяет получить обратную нужную нам зависимость M(k), так что необходимо прибегнуть к упрощениям. Взглянем на график зависимости k(M):
Она очевидно состоит из двух сегментов k1(M) и k2(M), соответствующим первой и второй фазе процесса. Мы можем найти уравнения приближенных зависимостей k1(M) и k2(M), анализируя исходное дифференциальное уравнение:
Решая оба упрощённых уравнения, находим зависимости k1(M) и k2(M):
Исходя из условия k(1) = 1, окончательно получаем:
Первое уравнение описывает актуальную зависимость на первой фазе процесса, второе - на второй фазе. Точка смены фазы определяется из условия k1(M) = k2(M). Выясняется, что смена фазы происходит, когда M ≈ 2/δ. В этот момент количество объектов во множестве, в соответствии со строгим уравнением k(M):
Упрощённые выражения позволяют найти и обратные зависимости вида M(k):
Проанализируем теперь результаты процесса по фазам.
Первая фаза. Из уравнений вероятности составим основное дифференциальное уравнение, описывающее рост объекта i в структурном времени ts = k:
Подставляем полученное значение M1(k):
Решаем:
Значение постоянной Ci необходимо найти из условия, по которому в момент появления во множестве объекта i его масса равна единице. Окончательно получим:
Это также и уравнение рангового распределения, справедливое при условии, что k < (2-ln(3))/δ:
Распределение близко к степенному с показателем -1/2. Соответствующее уравнение частотного распределения:
То есть, вплоть до примерного момента k ≈ (2-ln(3))/δ распределение объектов по массам является близким к степенному, при этом показатель степени не зависит от параметра δ. Однако, мы можем показать, что и после того, как объектов во множестве становится больше, чем (2-ln(3))/δ и вообще, в предельном виде, ранговое распределение объектов с номерами i < (2-ln(3))/δ остаётся близким к степенному с показателем -1/2.
Выражение M1(k) задаёт моменты событийного времени tei, в которые появляются объекты с номером i, если i < (2-ln(3))/δ:
Благодаря этому мы можем найти уравнения роста этих объектов в событийном времени, найдя постоянную Ci для каждого:
используя условие, что в момент своего появления tei объект с номером i имеет единичную массу. Отсюда получим уравнение роста объекта i в событийном времени (для объектов i < (2-ln(3))/δ):
Это уравнение полезно тем, что позволяет вычислить предельную массу объектов, то есть, предельное ранговое распределение для первых i < (2-ln(3))/δ объектов. Устремляя te к бесконечности, получим:
Вот сравнение опытного распределения для ситуации, когда k >> (2-ln(3))/δ с теоретической кривой предельного распределения:
Вторая фаза. Подставляя M2(k) в основное дифференциальное уравнение роста объекта, получим:
Решаем:
Для объектов, появившихся уже на второй фазе развития (то есть, имеющие номер i > (2-ln(3))/δ), значение Ci должно определяться из условия, что в момент появления объекта i его масса равна единице:
Отсюда, устремляя k к бесконечности, получим предельное распределение для объектов, появившихся на второй фазе развития множества:
Заметим, что это выражение верно только для рангов более (2-ln(3))/δ), и это значит, что максимальная предельная масса объектов, появляющихся на второй фазе развития равна
Соответствующее предельное частотное распределение (верное только для объектов, масса которых меньше или равна 3):
В пределе количество объектов единичной массы бесконечно - что естественно для предельной ситуации. Интереснее результат, в соотвтествии с которым существует предельное число объектов, имеющих массу 2: их оказывается порядка 1/(δ*2*ln(2)2) ≈ 1/δ.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER