КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 76. Дельта-процессы
Рост набора объектов единичной массы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Рост набора объектов единичной массы
 
Роман Уфимцев
20 февраля 2013 года, Калининград
В этом специальном приложении к Прологу 72 анализируются особый случай аддитивного и мультипликативного роста фиксированного множества объектов. Рассматривается результаты роста множества k объектов, которые вначале все имеют единичную массу. Мы хотим установить, к каким распределениям приводит в этих условиях действие аддитивного и мультипликативного процесса.
Аддитивный рост
Формально аддитивный рост фиксированного множества объектов, каким бы ни было исходное распределением масс, приводит к относительному выравниванию их масс, которое тем сильнее, чем дольше идёт процесс. Если исходное множество состоит из единичных масс, следует ожидать, что в процессе аддитивного роста множество в целом будет сохранять равенство масс объектов. Однако, в реальности из-за стохастической природы роста, массы объектов подвержены флуктуациям. Мы хотим установить, какой будет точная форма распределения масс аддитивно растущего множества (без изменения количества объектов), если исходное состояло из k объектов одинаковой единичной массы.
Это довольно просто сделать, если рост происходит по аддитивным правилам, то есть, вероятность прироста любого объекта в каждый момент времени одинакова. Пусть вначале мы имеем k объектов единичной массы и наблюдаем эволюцию множества в течение времени M. В каждый момент времени множество прибавляет в массе на единицу, так что в конце периода наблюдений общая масса множества оказывается равной k+M. Вероятность прироста одинакова для всех объектов и составляет 1/k за шаг времени.
Финальная масса m некоторого объекта является результатом M испытаний, в каждом из которых масса объекта множет прирасти на единицу с вероятностью 1/k. Результирующее распределение является биномиальным распределением (принимая во внимание исходные массы объектов, x=m-1):
При достаточно длительной эволюции, если M велико, биномиальное распределение приближается к нормальному:
Сравнение теоретического нормального распределения с опытным распределением при k=100 и M=1000000:
Принципиально важным обстоятельством является тот факт, что среднее значение этого распределения μ пропорционально дисперсии σ2. Это означает, что с ростом M форма распределения не "расползается", так что все значения масс становятся равновероятными. Напротив, с ростом M относительные случайные различия в массах объектов уменьшаются:
На практике это означает, что в пределе мы получаем равенство масс всех объектов, поскольку измерения масс (как и другие опытные измерения) обеспечивают постоянство относительной погрешности. В данном случае относительные различия масс уменьшаются, и в пределе они оказываются в рамках любого диапазона погрешности измерений, каким бы малым он ни был. Это значит, что в пределе измерения масс объектов будут давать одинаковые опытные значения для всех объектов.
Легко понять, что та же самая логика применима к аддитивному росту некоторого количества объектов вне зависимости от их исходного распределения по массам - в пределе их массы выравниваются несмотря на стохастическую природу роста.
Мультипликативный рост
Развитие нормального распределения масс объектов в только что проанализированном аддитивном росте следует считать комбинаторным эффектом второго порядка, который становится значимым лишь в строго определенных условиях - "низкий старт", то есть, минимальная начальная масса объектов и исходное равенство их масс, и небольшая длительность эволюции. В других случаях результат становится неотличим от простого равенства масс растущих объектов. Это равенство является эффектом первого порядка.
При тех же стартовых условиях мультипликативный рост не создает условий для значимости эффектов второго порядка, поэтому анализ результатов может вестись без их учёта.
Пусть вначале мы имеем множество из k объектов единичной массы. Как будут распределяться массы объектов после эволюции длительностью M, если при росте объектов действует мультипликативное правило "богатый становится богаче"? Изобразим начальную ситуацию рядом клеток единичного размера:
В каждый шаг времени на набор клеток налетает частица единичной массы и попадает в некоторую клетку тем вероятнее, чем больше размер клетки в отношении к общему размеру системы. В начальный момент времени вероятность поглотить первую частицу для всех клеток одинакова. Поглотив частицу, клетка увеличивает свой размер на единицу:
Теперь эта клетка в два раза вероятнее будет поглощать частицы, чем клетки единичного размера. Далее процесс развивается по тем же правилам.
Легко заметить, что в результате развивается ряд, который подобен строке пробелов, в которой небольшое число символов случайно заменены на знаки, отмечающие границы клеток:
Положение пограничных знаков случайно, так что в данном случае мы можем говорить о случайном дроблении континуума - континуумом тут является общая масса множества, дробящимся на массы отдельных клеток. Распределение в этих обстоятельствах является геометрическим (экспоненциальным), параметр которого можно установить из простых соображений. Вероятность, что некоторый знак в строке окажется пробелом равно M/(M+k) - то есть, отношению количества пробелов к общему числу знаков. Это значит, что количество (и частота) клеток размера m+1 будет равно количеству клеток размера m, умноженному на M/(M+k). Наконец, количество клеток единичного размера определяется вероятностью за одним пограничным знаком сразу встретить другой, так что доля клеток единичного размера в общем их числе равна k/(M+k). Отсюда, используя рекурсивные отношения и раскрывая их, получим частотное распределение клеток по размеру:
Или, используя экспоненту:
Если M гораздо больше k, используя свойство логарифма ln(1+A)≈A, если A мало, можно записать:
Таким образом, мы имеем экспоненциальное распределение с параметром, равным обратной средней массе объектов.
Соответствующее уравнение рангового распределения:
Сопоставление теоретической кривой с опытными результатами (k=100, M=10000):
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER