В предыдущем Прологе мы начали разговор о дельта-процессах - процессах роста абстрактного множества масс, в котором увеличиваются массы отдельных объектов, а также увеличивается и их количество. Мы познакомились с общим формальным описанием вероятностных законов, управляющих дельта-процессами, ввели систему их обозначения, а также в качестве примера исследовали простейший дельта-процесс - процесс δA(1).

Самыми интересными для нас являются аддитивные и мультипликативные дельта-процессы. Особенно нас занимают мультипликативные, поскольку рост тирона (тирон - растущая структура, которую мы считаем моделью развития когнитивных структур) соответствует одному из базовых типов мультипликативных дельта-процессов. Но мультипликативные процессы вообще несколько сложнее для анализа, чем аддитивные, и поэтому начиная обозрение базовых типов дельта-процессов, их свойств и признаков, мы начнём с аддитивных дельта-процессов.

Анализ различных очевидных разновидностей дельта-процессов оказался настолько увлекательным делом, настолько непредсказуемым по результатам и неожиданным по находкам, что разобравшись с одним, тут же хотелось разобраться и с другим. И так до тех пор, пока не были проанализированы все самые основные типы дельта-процессов (пока только аддитивных - хотя как мы увидим далее, между однотипными аддитивными и мультипликативными дельта-процессами есть некоторое созвучие).

Прежде, чем мы совершим экскурсию по пока небольшому и скромному "зоопарку" дельта-процессов, стоит наверное объяснить, почему мы в Прологах так подробно ими занялись. Дело вовсе не только в тиронном процессе, который необходимо понимать во всех деталях. Важно видеть этот процесс в контексте других дельта-процессов. Например, известный процесс Юла, который сегодня считается классической моделью генерации степенных распределений, оказывается всего лишь одной из тривиальных разновидностей мультипликативных дельта-процессов. Но ведь кроме процесса Юла и тиронного процесса существуют и другие возможности, и кто знает, какими свойствами могут обладать эти ещё неизвестные дельта-процессы. Каждый вновь открытый дельта-процесс - это совершенно новая модель, которая обладает собственным потенциалом с точки зрения описания различных явлений мира, и если весьма большой объяснительной силой обладает процесс Юла или уже исследованный нами простейший процесс δA(1), то остаётся пока только догадываться, что могут дать дельта-процессы, ранее остававшиеся в тени - как прежде был неизвестен тиронный процесс, порождающий закон Зипфа и розовый шум.

"Теория дельта-процессов" открывает перед нами бездну новых возможностей анализа, моделирования и понимания явлений мира, ни больше, ни меньше. А может быть, и ещё кое-что. Во всяком случае, так кажется автору.

Впрочем, из начинающегося экскурса в базовые типы аддитивных дельта-процессов, читатель сможет составить собственное мнение на этот счёт.

Итак, в предыдущем Прологе мы исследовали простейший дельта-процесс - аддитивный дельта-процесс δA(1). В нём вероятность появления нового объекта множества остаётся постоянной величиной, и в результате развиваются множества, в которых объекты имеют экспоненциальное (геометрическое) распределение масс. Распространённость таких распределений в самых разных явлениях мира по всей видимости перекликается с тем, что процесс δA(1) действительно самый простой из всех прочих, а природа в своих основаниях любит простоту.

Дельта-фактором, то есть, величиной, управляющей вероятностью появления нового объекта в каждый момент времени (положительно связанной с этой вероятностью), в этом процессе является какое-то постоянное число, в родовом случае - единица. Однако, дельта-фактором вообще-то может быть любая величина или любая комбинация величин. В нашей абстрактной модели растущего множество имеется по меньшей мере две меняющиеся величины, которые также могут определять дельта-фактор: Это, во-первых, общая текущая масса множества M, а во-вторых, текущее количество объектов во множестве k. Следует полагать, что самые фундаментальные, базовые разновидности дельта-процессов соответствуют дельта-факторам, которые представляют собой самые простые функции от M и k. Такими являются:

Наряду с простейшим процессом δA(1), эти процессы представляют собой семь основных аддитивных дельта-процессов, семь "столпов" (разумеется, есть и семь мультипликативных "столпов"). Приступим же к их обзору - правда, изменив порядок. Мы будем двигаться от более простых и тривиальных к более трудным для понимания и занятным по результатам.

В этом процессе дельта-фактором является величина 1/k, то есть, вероятность появления новых объектов негативно связана с их количеством: чем больше уже объектов во множестве, тем меньше шансов для появления новых. Это довольно тривиальный случай дельта-процесса, хотя на фоне остальных дельта-процессов своей тривиальностью он и замечателен.

В результате него развивается множество, соответствующее элементарному линейному ранговому распределению:

А вот так выглядит типичное опытное распределение:

В среднем получается, что масса объекта тем больше, чем меньше его номер:

Вспомним начало нашего обсуждения аддитивных и мультипликативных процессов: чтобы продемонстрировать их различное влияние на множества, в качестве "испытуемого" мы использовали как раз подобное "треугольное" распределение масс. И теперь мы знаем, какой стохастический механизм его порождает.

Добавим ещё только, что количество объектов во множестве, а также масса объектов растёт как квадратный корень событийного времени t_e.

В этом процессе дельта-фактором является величина 1/M, то есть, вероятность появления новых объектов негативно связана с общей массой множества: чем она выше, тем меньше шансов для появления новых объектов.

Казалось бы, этот процесс по свойствам должен быть как-то похож на процесс δA(1/k): тут у нас тоже вероятность появления новых объектов снижается с течением времени - ну и что, что это зависит не от количества объектов, а от их общей массы? Но в том и состоит увлекательность дельта-процессов, что глядя на управляющие ими правила трудно заранее догадаться, к каким результатам они приводят. Тут именно такой случай.

Начнём с того, что результаты процесса δA(1/M) гораздо хуже поддаются анализу, нежели тривиальный процесс δA(1/k). Приходится использовать приближения, потому что возникают уравнения со специальными функциями, не поддающиеся прямому решению. Некоторые параметры процесса, например, среднюю массу объектов, вообще не удаётся установить достоверно. А результат оказывается действительно неожиданным: в пределе продуктом процесса δA(1/M) является однородное ранговое распределение масс:

Важно, что количество объектов во множестве не ограничено - оно продолжает расти бесконечно, их количество увеличивается линейно при физическом исчислении времени, но при этом ранговое распределение оказывается практически однородным - чем больше объектов, тем точнее приближение. Это довольно парадоксальный по своим результатам процесс: с одной стороны количество объектов увеличивается, и при этом более старые объекты имеют больше шансов прироста, так что можно было бы ожидать, что их масса будет выше. Но в действительности почти все объекты выравниваются по массам - и это выравнивание тем лучше, чем дольше идёт процесс.

Итак, продуктом процесса δA(1/M) является однородное ранговое распределение - и этим он напоминает процесс δA(0), который тоже приводит к однородным ранговым распределениям. Может быть, это сходство будет казаться естественным, если заметить, что дельта-фактор этого процесса 1/M, и в пределе (с ростом массы множества M) он равен нулю, то есть, дельта-фактору аддитивного процесса δA(0) без прироста количества объектов.

Автор приступал к анализу процесса δА(k/M) - то есть, вероятность появления нового объекта негативно связана со средней массой объектов - с некоторым волнением. Причина в том, что этот процесс является аддитивным аналогом процесса δM(k/M) - тиронного процесса. Тиронный процесс является генератором распределений, отвечающих закону Зипфа. К каким же результатам приводит его аддитивный собрат? - предугадать это заранее было невозможно.

А результаты оказались весьма причудливыми. Прежде всего, этот процесс - как раз тот случай, когда параметр δ существенно влияет на качественные черты развивающихся распределений. Оказалось, что имеется три качественно разных дельта-продукта этого процесса (то есть, результирующих распределений) в зависимости от параметра δ.

В родовом случае, когда δ = 1 ранговое распределение имеет простую, но не виданную нами ранее форму:

Вот как выглядит опытное ранговое распределение в сравнении с теоретической кривой:

Обратим внимание, что ось X тут взята логарифмической, и если бы мы увидели прямую линию, это означало бы, что мы имеем дело с логарифмическим ранговым распределением, которое является спутником экспоненциальных частотных распределений. Но тут кривая несколько "горбится", и уравнение частотного распределения имеет причудливый вид:

Ещё одна особенность процесса - уравнения роста массы объектов или уравнение роста количества объектов нельзя записать, используя событийное или физическое время в качестве аргумента. Рост можно описать только в структурном времени, которое, напомню, идёт синхронно с увеличением количества объектов во множестве. Образно говоря этот процесс "чужд" событийному и физическому времени, не имеет просто выразимых связей с этими типами исчисления времени.

В случае δ < 1 продукт этого процесса выглядит как

Это интересное по гибкости уравнение распределения. Например, при δ=1/2 мы получим линейное ранговое распределение - такое же, какое порождает процесс δА(1/k):

При дальнейшем уменьшении δ мы быстро приходим к распределениям, близким к однородным с малым количеством объектов, например:

И в таком виде этот процесс напоминает ещё один - процесс δA(1/M), который тоже приводит к однородным ранговым распределениям.

Особенностью процесса при δ < 1 является то, что возникает "лазейка" в проблеме выражения уравнений в событийном и физическом времени. Это можно сделать, если δ = 1/n, где n - целое число более 1.

Наконец, при δ > 1 мы получаем логарифмический дельта-продукт:

так что процесс приводит к тем же результатам, что и простейший δA(1) - хотя и с другими параметрами:

Итак, процесс δА(k/M) оказался уникально разнообразным по проявлениям. Фактически, в зависимости от параметра δ мы можем получить результаты, сходные с результатами всех остальных рассмотренных нами уже процессов. И в этом смысле этот процесс является "источником" всех остальных. Интересно, не окажется ли роль мультипликативного дельта-процесса δM(k/M) такой же "архетипической" для остальных мультипликативных процессов? Ответ на этот вопрос у нас ещё впереди.

Получив весьма примечательные результаты с процессом δА(k/M), заранее интригуют результаты обратного по дельта-фактору процесса - δА(M/k). В нём вероятность появления нового объекта управляется средней массой объектов множества. И что же выяснилось?

Откровенно говоря, автор был изумлён, когда получил результат:

Оказалось, что этот процесс по сути является простейшим процессом δА(1) - то есть, процессом, в котором вероятность рождения нового объекта остаётся постоянной. Впрочем, с одной особенностью: при тех же значениях δ эта вероятность оказывается больше в φ_δ раз, где φ_δ в родовом случае (δ=1) - золотое сечение:

Вот что получается: вероятность рождения нового объекта в этом процессе управляется величиной M/k, но из-за того что в процессе развития множества эта величина остаётся постоянной, остаётся постоянной и вероятность появления новых объектов. И в родовом случае (δ=1) отношение между общей массой объектов M и их числом k оказывается равным золотой пропорции. То есть, средняя масса объектов равна золотому сечению.

Мы с подозрением говорили о шумихе вокруг золотого сечения, и автор менее всего ожидал встретить его в явном виде в процессе, который является в некотором смысле обратным тиронному. И тем не менее, это факт, который ещё надо осмысливать.

Разумеется, появление в этом процессе золотой пропорции - не "волшебство", а прямое следствие формальных правил процесса. Но догадаться о таком его свойстве изначально, глядя лишь на опытные распределения было бы трудно.

Последняя пара сходных между собой процессов - это процессы δА(k) и δА(M). Это "гадкие утята" среди семи столпов аддитивных дельта-процессов, хотя при определённых условиях они превращаются в прекрасных лебедей. В родовом случае δ=1 они оба приводят к моментальному повышению вероятности рождения нового объекта почти до единицы, и после этого процесс генерирует бесчисленное число объектов, имеющих лишь единичную массу. Единственный содержательный режим этих процессов возникает тогда, когда δ очень мала (скажем, менее 1/10), в этом случае продукты этих процессов оказываются весьма интересными.

Начнём с процесса δА(k) - вероятность появления нового объекта управляется их текущим количеством. Но количество объектов растёт и рано или поздно, каким бы малым не было значение δ, дельта-вероятность оказывается очень близкой к единице, и вновь начинает расти "змейка" объектов единичной массы. Однако, до того, как это происходит, успевает развиться некоторое множество объектов, которые после этого "застывают" - ведь после некоторого предела вероятность прироста старых объектов близка к нулю. И оказывается, в этом "застывшем" подмножестве мы увидим в распределениях масс ничто иное как закон Зипфа:

Примерное уравнение рангового распределения для предельного случая (то есть, когда количество объектов множества устремляется к бесконечности) имеет очевидно степенную форму, демонстрирующую закон Зипфа для крупнейших объектов:

Объекты, как уже говорилось. имеют пределы роста, зависящий от номера объекта, например, масса первого объекта множества имеет предельное значение равное интересной величине:

Интересно выглядит приближение распределения к предельной форме - оно постепенно "разворачивается", сохраняя, тем не менее, закон Зипфа в высших рангах:

При этом наиболее полное соответствие чистому степенному распределению достигается в момент, когда количество объектов во множестве k становится равным 1/δ. В этот момент дельта-вероятность становится равной точно 1/2.

Итак, процесс δА(k) интересен существованием предельной формы распределения, которая как минимум частично имеет степенную форму, отвечающую закону Зипфа. Фактически, мы обнаружили ещё один механизм, порождающий статистику Зипфа, и он тем более интересен, что не связан с действием мультипликативного правила "богатый становится богаче" - мы говорили о том, что вопреки распространённому мнению, степенные распределения не вызываются только мультипликативными процессами, хотя действительно часто (как мы вскоре увидим) их сопровождают.

Процесс δА(M) - вероятность появления нового объекта управляется текущей массой множества - по качественным свойствам родственен процессу δА(k), хотя гораздо хуже поддаётся анализу - это приходится делать, используя разные "трюки". Этот процесс также имеет предельное распределение, которое можно записать в приблизительной форме:

Мы вновь видим распределение со степенными характеристиками, но теперь показатель степени равен не единице, а 1/2:

Это означает, что частотное распределение имеет степенную форму с показателем -3.

В остальных отношениях этот процесс действительно похож на δА(k), и это сходство наводит на какое-то загадочное глубинное отношение между двумя параметрами, которые могут управлять дельта-процессом. Условно его можно выразить так:

И дело не только в том, что процесс δА(k) порождает около-степенное распределение с показателем -1, а процесс δА(M) - c показателм -1/2. В процессе исследования различных дельта-процессов эта загадочное отношение появляется снова и снова в разных формах. Например, процесс δА(1/M^1/2) порождает такое же линейное ранговое распределение, что и процесс δА(1/k). Однако, смысл этого отношения (если оно действительно существует, а не является иллюзией, возникшей из-за нескольких случайных совпадений, что вряд ли) остаётся ещё выяснить.

Этим мы завершаем обзор простейших разновидностей аддитивных дельта-процессов. Мы увидели, к каким разным, иногда непредсказуемым результатам они приводят. Но впереди нас ждёт нечто ещё более интересное - семь основных мультипликативных дельта-процессов, семь столпов мультипликативного мира.

Далее: Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы