КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
 
Роман Уфимцев
12 февраля 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы начали разговор о дельта-процессах - процессах роста абстрактного множества масс, в котором увеличиваются массы отдельных объектов, а также увеличивается и их количество. Мы познакомились с общим формальным описанием вероятностных законов, управляющих дельта-процессами, ввели систему их обозначения, а также в качестве примера исследовали простейший дельта-процесс - процесс δA(1).
Самыми интересными для нас являются аддитивные и мультипликативные дельта-процессы. Особенно нас занимают мультипликативные, поскольку рост тирона (тирон - растущая структура, которую мы считаем моделью развития когнитивных структур) соответствует одному из базовых типов мультипликативных дельта-процессов. Но мультипликативные процессы вообще несколько сложнее для анализа, чем аддитивные, и поэтому начиная обозрение базовых типов дельта-процессов, их свойств и признаков, мы начнём с аддитивных дельта-процессов.
Анализ различных очевидных разновидностей дельта-процессов оказался настолько увлекательным делом, настолько непредсказуемым по результатам и неожиданным по находкам, что разобравшись с одним, тут же хотелось разобраться и с другим. И так до тех пор, пока не были проанализированы все самые основные типы дельта-процессов (пока только аддитивных - хотя как мы увидим далее, между однотипными аддитивными и мультипликативными дельта-процессами есть некоторое созвучие).
Прежде, чем мы совершим экскурсию по пока небольшому и скромному "зоопарку" дельта-процессов, стоит наверное объяснить, почему мы в Прологах так подробно ими занялись. Дело вовсе не только в тиронном процессе, который необходимо понимать во всех деталях. Важно видеть этот процесс в контексте других дельта-процессов. Например, известный процесс Юла, который сегодня считается классической моделью генерации степенных распределений, оказывается всего лишь одной из тривиальных разновидностей мультипликативных дельта-процессов. Но ведь кроме процесса Юла и тиронного процесса существуют и другие возможности, и кто знает, какими свойствами могут обладать эти ещё неизвестные дельта-процессы. Каждый вновь открытый дельта-процесс - это совершенно новая модель, которая обладает собственным потенциалом с точки зрения описания различных явлений мира, и если весьма большой объяснительной силой обладает процесс Юла или уже исследованный нами простейший процесс δA(1), то остаётся пока только догадываться, что могут дать дельта-процессы, ранее остававшиеся в тени - как прежде был неизвестен тиронный процесс, порождающий закон Зипфа и розовый шум.
"Теория дельта-процессов" открывает перед нами бездну новых возможностей анализа, моделирования и понимания явлений мира, ни больше, ни меньше. А может быть, и ещё кое-что. Во всяком случае, так кажется автору.
Впрочем, из начинающегося экскурса в базовые типы аддитивных дельта-процессов, читатель сможет составить собственное мнение на этот счёт.
Мы вынесли практически всю математику в отдельное справочное приложение: Справочник по дельта-аддитивным процессам. Пытливый читатель сможет ознакомиться с ходом анализа и математическими подробностями относительно каждого из процессов, о которых мы сейчас будем говорить. В этом справочнике некоторые выводы ещё требуют уточнения и проверки, но в целом они хорошо согласуются с результатами числовых опытов.
Итак, в предыдущем Прологе мы исследовали простейший дельта-процесс - аддитивный дельта-процесс δA(1). В нём вероятность появления нового объекта множества остаётся постоянной величиной, и в результате развиваются множества, в которых объекты имеют экспоненциальное (геометрическое) распределение масс. Распространённость таких распределений в самых разных явлениях мира по всей видимости перекликается с тем, что процесс δA(1) действительно самый простой из всех прочих, а природа в своих основаниях любит простоту.
Дельта-фактором, то есть, величиной, управляющей вероятностью появления нового объекта в каждый момент времени (положительно связанной с этой вероятностью), в этом процессе является какое-то постоянное число, в родовом случае - единица. Однако, дельта-фактором вообще-то может быть любая величина или любая комбинация величин. В нашей абстрактной модели растущего множество имеется по меньшей мере две меняющиеся величины, которые также могут определять дельта-фактор: Это, во-первых, общая текущая масса множества M, а во-вторых, текущее количество объектов во множестве k. Следует полагать, что самые фундаментальные, базовые разновидности дельта-процессов соответствуют дельта-факторам, которые представляют собой самые простые функции от M и k. Такими являются:
Дельта-фактор k - вероятность появления нового объекта во множестве управляется текущим количеством объектов множества.
Дельта-фактор M - вероятность появления нового объекта во множестве управляется текущей общей массой множества.
Дельта-фактор 1/k - вероятность появления нового объекта во множестве управляется величиной обратно пропорциональной текущему количеству объектов множества.
Дельта-фактор 1/M - вероятность появления нового объекта во множестве управляется величиной обратно пропорциональной его общей массе.
Дельта-фактор M/k - вероятность появления нового объекта во множестве управляется средней массой объектов множества.
Дельта-фактор k/M - вероятность появления нового объекта во множестве управляется величиной обратно пропорциональной средней массе объектов множества.
Наряду с простейшим процессом δA(1), эти процессы представляют собой семь основных аддитивных дельта-процессов, семь "столпов" (разумеется, есть и семь мультипликативных "столпов"). Приступим же к их обзору - правда, изменив порядок. Мы будем двигаться от более простых и тривиальных к более трудным для понимания и занятным по результатам.
1. Дельта-аддитивный процесс δA(1/k)
В этом процессе дельта-фактором является величина 1/k, то есть, вероятность появления новых объектов негативно связана с их количеством: чем больше уже объектов во множестве, тем меньше шансов для появления новых. Это довольно тривиальный случай дельта-процесса, хотя на фоне остальных дельта-процессов своей тривиальностью он и замечателен.
В результате него развивается множество, соответствующее элементарному линейному ранговому распределению:
А вот так выглядит типичное опытное распределение:
В среднем получается, что масса объекта тем больше, чем меньше его номер:
Вспомним начало нашего обсуждения аддитивных и мультипликативных процессов: чтобы продемонстрировать их различное влияние на множества, в качестве "испытуемого" мы использовали как раз подобное "треугольное" распределение масс. И теперь мы знаем, какой стохастический механизм его порождает.
Добавим ещё только, что количество объектов во множестве, а также масса объектов растёт как квадратный корень событийного времени te.
2. Дельта-аддитивный процесс δA(1/M)
В этом процессе дельта-фактором является величина 1/M, то есть, вероятность появления новых объектов негативно связана с общей массой множества: чем она выше, тем меньше шансов для появления новых объектов.
Казалось бы, этот процесс по свойствам должен быть как-то похож на процесс δA(1/k): тут у нас тоже вероятность появления новых объектов снижается с течением времени - ну и что, что это зависит не от количества объектов, а от их общей массы? Но в том и состоит увлекательность дельта-процессов, что глядя на управляющие ими правила трудно заранее догадаться, к каким результатам они приводят. Тут именно такой случай.
Начнём с того, что результаты процесса δA(1/M) гораздо хуже поддаются анализу, нежели тривиальный процесс δA(1/k). Приходится использовать приближения, потому что возникают уравнения со специальными функциями, не поддающиеся прямому решению. Некоторые параметры процесса, например, среднюю массу объектов, вообще не удаётся установить достоверно. А результат оказывается действительно неожиданным: в пределе продуктом процесса δA(1/M) является однородное ранговое распределение масс:
Важно, что количество объектов во множестве не ограничено - оно продолжает расти бесконечно, их количество увеличивается линейно при физическом исчислении времени, но при этом ранговое распределение оказывается практически однородным - чем больше объектов, тем точнее приближение. Это довольно парадоксальный по своим результатам процесс: с одной стороны количество объектов увеличивается, и при этом более старые объекты имеют больше шансов прироста, так что можно было бы ожидать, что их масса будет выше. Но в действительности почти все объекты выравниваются по массам - и это выравнивание тем лучше, чем дольше идёт процесс.
Итак, продуктом процесса δA(1/M) является однородное ранговое распределение - и этим он напоминает процесс δA(0), который тоже приводит к однородным ранговым распределениям. Может быть, это сходство будет казаться естественным, если заметить, что дельта-фактор этого процесса 1/M, и в пределе (с ростом массы множества M) он равен нулю, то есть, дельта-фактору аддитивного процесса δA(0) без прироста количества объектов.
3. Дельта-аддитивный процесс δА(k/M)
Автор приступал к анализу процесса δА(k/M) - то есть, вероятность появления нового объекта негативно связана со средней массой объектов - с некоторым волнением. Причина в том, что этот процесс является аддитивным аналогом процесса δM(k/M) - тиронного процесса. Тиронный процесс является генератором распределений, отвечающих закону Зипфа. К каким же результатам приводит его аддитивный собрат? - предугадать это заранее было невозможно.
А результаты оказались весьма причудливыми. Прежде всего, этот процесс - как раз тот случай, когда параметр δ существенно влияет на качественные черты развивающихся распределений. Оказалось, что имеется три качественно разных дельта-продукта этого процесса (то есть, результирующих распределений) в зависимости от параметра δ.
В родовом случае, когда δ = 1 ранговое распределение имеет простую, но не виданную нами ранее форму:
Вот как выглядит опытное ранговое распределение в сравнении с теоретической кривой:
Обратим внимание, что ось X тут взята логарифмической, и если бы мы увидели прямую линию, это означало бы, что мы имеем дело с логарифмическим ранговым распределением, которое является спутником экспоненциальных частотных распределений. Но тут кривая несколько "горбится", и уравнение частотного распределения имеет причудливый вид:
Ещё одна особенность процесса - уравнения роста массы объектов или уравнение роста количества объектов нельзя записать, используя событийное или физическое время в качестве аргумента. Рост можно описать только в структурном времени, которое, напомню, идёт синхронно с увеличением количества объектов во множестве. Образно говоря этот процесс "чужд" событийному и физическому времени, не имеет просто выразимых связей с этими типами исчисления времени.
В случае δ < 1 продукт этого процесса выглядит как
Это интересное по гибкости уравнение распределения. Например, при δ=1/2 мы получим линейное ранговое распределение - такое же, какое порождает процесс δА(1/k):
При дальнейшем уменьшении δ мы быстро приходим к распределениям, близким к однородным с малым количеством объектов, например:
И в таком виде этот процесс напоминает ещё один - процесс δA(1/M), который тоже приводит к однородным ранговым распределениям.
Особенностью процесса при δ < 1 является то, что возникает "лазейка" в проблеме выражения уравнений в событийном и физическом времени. Это можно сделать, если δ = 1/n, где n - целое число более 1.
Наконец, при δ > 1 мы получаем логарифмический дельта-продукт:
так что процесс приводит к тем же результатам, что и простейший δA(1) - хотя и с другими параметрами:
Итак, процесс δА(k/M) оказался уникально разнообразным по проявлениям. Фактически, в зависимости от параметра δ мы можем получить результаты, сходные с результатами всех остальных рассмотренных нами уже процессов. И в этом смысле этот процесс является "источником" всех остальных. Интересно, не окажется ли роль мультипликативного дельта-процесса δM(k/M) такой же "архетипической" для остальных мультипликативных процессов? Ответ на этот вопрос у нас ещё впереди.
4. Дельта-аддитивный процесс δА(M/k)
Получив весьма примечательные результаты с процессом δА(k/M), заранее интригуют результаты обратного по дельта-фактору процесса - δА(M/k). В нём вероятность появления нового объекта управляется средней массой объектов множества. И что же выяснилось?
Откровенно говоря, автор был изумлён, когда получил результат:
Оказалось, что этот процесс по сути является простейшим процессом δА(1) - то есть, процессом, в котором вероятность рождения нового объекта остаётся постоянной. Впрочем, с одной особенностью: при тех же значениях δ эта вероятность оказывается больше в φδ раз, где φδ в родовом случае (δ=1) - золотое сечение:
Вот что получается: вероятность рождения нового объекта в этом процессе управляется величиной M/k, но из-за того что в процессе развития множества эта величина остаётся постоянной, остаётся постоянной и вероятность появления новых объектов. И в родовом случае (δ=1) отношение между общей массой объектов M и их числом k оказывается равным золотой пропорции. То есть, средняя масса объектов равна золотому сечению.
Мы с подозрением говорили о шумихе вокруг золотого сечения, и автор менее всего ожидал встретить его в явном виде в процессе, который является в некотором смысле обратным тиронному. И тем не менее, это факт, который ещё надо осмысливать.
При значениях δ≠1 мы получаем другие "золотые пропорции", так что можно обобщить золотую пропорцию так:
Например, интересный результат получается для случая δ=1/2:
Разумеется, появление в этом процессе золотой пропорции - не "волшебство", а прямое следствие формальных правил процесса. Но догадаться о таком его свойстве изначально, глядя лишь на опытные распределения было бы трудно.
5. Дельта-аддитивный процесс δА(k)
Последняя пара сходных между собой процессов - это процессы δА(k) и δА(M). Это "гадкие утята" среди семи столпов аддитивных дельта-процессов, хотя при определённых условиях они превращаются в прекрасных лебедей. В родовом случае δ=1 они оба приводят к моментальному повышению вероятности рождения нового объекта почти до единицы, и после этого процесс генерирует бесчисленное число объектов, имеющих лишь единичную массу. Единственный содержательный режим этих процессов возникает тогда, когда δ очень мала (скажем, менее 1/10), в этом случае продукты этих процессов оказываются весьма интересными.
Начнём с процесса δА(k) - вероятность появления нового объекта управляется их текущим количеством. Но количество объектов растёт и рано или поздно, каким бы малым не было значение δ, дельта-вероятность оказывается очень близкой к единице, и вновь начинает расти "змейка" объектов единичной массы. Однако, до того, как это происходит, успевает развиться некоторое множество объектов, которые после этого "застывают" - ведь после некоторого предела вероятность прироста старых объектов близка к нулю. И оказывается, в этом "застывшем" подмножестве мы увидим в распределениях масс ничто иное как закон Зипфа:
Примерное уравнение рангового распределения для предельного случая (то есть, когда количество объектов множества устремляется к бесконечности) имеет очевидно степенную форму, демонстрирующую закон Зипфа для крупнейших объектов:
Объекты, как уже говорилось. имеют пределы роста, зависящий от номера объекта, например, масса первого объекта множества имеет предельное значение равное интересной величине:
Интересно выглядит приближение распределения к предельной форме - оно постепенно "разворачивается", сохраняя, тем не менее, закон Зипфа в высших рангах:
При этом наиболее полное соответствие чистому степенному распределению достигается в момент, когда количество объектов во множестве k становится равным 1/δ. В этот момент дельта-вероятность становится равной точно 1/2.
Итак, процесс δА(k) интересен существованием предельной формы распределения, которая как минимум частично имеет степенную форму, отвечающую закону Зипфа. Фактически, мы обнаружили ещё один механизм, порождающий статистику Зипфа, и он тем более интересен, что не связан с действием мультипликативного правила "богатый становится богаче" - мы говорили о том, что вопреки распространённому мнению, степенные распределения не вызываются только мультипликативными процессами, хотя действительно часто (как мы вскоре увидим) их сопровождают.
6. Дельта-аддитивный процесс δА(M)
Процесс δА(M) - вероятность появления нового объекта управляется текущей массой множества - по качественным свойствам родственен процессу δА(k), хотя гораздо хуже поддаётся анализу - это приходится делать, используя разные "трюки". Этот процесс также имеет предельное распределение, которое можно записать в приблизительной форме:
Мы вновь видим распределение со степенными характеристиками, но теперь показатель степени равен не единице, а 1/2:
Это означает, что частотное распределение имеет степенную форму с показателем -3.
В остальных отношениях этот процесс действительно похож на δА(k), и это сходство наводит на какое-то загадочное глубинное отношение между двумя параметрами, которые могут управлять дельта-процессом. Условно его можно выразить так:
И дело не только в том, что процесс δА(k) порождает около-степенное распределение с показателем -1, а процесс δА(M) - c показателм -1/2. В процессе исследования различных дельта-процессов эта загадочное отношение появляется снова и снова в разных формах. Например, процесс δА(1/M1/2) порождает такое же линейное ранговое распределение, что и процесс δА(1/k). Однако, смысл этого отношения (если оно действительно существует, а не является иллюзией, возникшей из-за нескольких случайных совпадений, что вряд ли) остаётся ещё выяснить.
Этим мы завершаем обзор простейших разновидностей аддитивных дельта-процессов. Мы увидели, к каким разным, иногда непредсказуемым результатам они приводят. Но впереди нас ждёт нечто ещё более интересное - семь основных мультипликативных дельта-процессов, семь столпов мультипликативного мира.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER