КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
 
Роман Уфимцев
20 февраля 2013 года, Калининград
Дельта-процессами мы называем стохастические процессы роста множества объектов, которые увеличиваются как в массе, так и в количестве. При этом среди прочих возможностей особое значение имеют аддитивные процессы, при которых вероятности прироста объектов одинаковы вне зависимости от их массы, и мультипликативные, в которых вероятность прироста объекта пропорциональна его массовой доле в общей массе множества.
В предыдущем Прологе мы совершили обозрение простейших типов дельта-аддитивных процессов, и обнаружили немало интересного. Тем не менее, истинный интерес для нас представляют дельта-мультипликативные процессы, поскольку они гораздо ближе по духу к процессам развития и роста, которые мы наблюдаем в окружающем мире. Как мы знаем, только мультипликативный рост множества (если количество объектов в нем не меняется) сохраняет неизменной его энтропию. Фактически это единственный вид роста, который способен поддерживать структуру феномена в неизменном виде. Любой другой рост необходимо приводит к изменениям отношений внутри системы, а потому, к изменению её структуры.
И в этой связи возникает очень интересный вопрос: если мультипликативные процессы поддерживают структуру системы или множества в неизменном виде, какой структурой будет обладать множество, растущее мультипликативно не только по массе, но и по количеству объектов? Каким окажется результат этого роста, если он начинается с пустого множества или с единственного объекта единичной массы?
Это не только интересные, но и важные вопросы, потому что результат мультипликативных процессов, начинающихся с нуля или "почти с нуля" в некотором смысле будет раскрывать "собственные предпочтения" мультипликативного роста. То есть, если мы подвергнем обычному мультипликативному росту некоторое заранее готовое множество объектов, этот рост сохранит исходное отношение масс объектов - процесс примет и поддержит ту структуру системы, которую мы ему "поручили" развивать. Но что, если мы ничего не "поручаем" мультипликативному процессу, что, если он начинает развивать множество с нуля или единицы? Тут мультипликативный процесс разовьет то множество, которое ему больше "по душе".
Мы говорили, что имеется по семь простейших типов дельта-аддитивных и дельта-мультипликативных процессов. Они отличаются вероятностью появления во множестве нового объекта, точнее тем, какой величиной управляется эта вероятность. Простейший тип дельта-процессов - это случай, когда эта вероятность остаётся постоянной. Но кроме того, она может быть положительно связана с общей массой множества M или количеством объектов в нём k - мы говорим, что это процессы с дельта-фактором M и k соответственно, может быть негативно связана с этими величинами (дельта-факторы 1/M и 1/k), наконец, может управляться простым отношением этих величин (дельта-факторы k/M и M/k). Эти типы и образуют семь простейших дельта-процессов каждого рода.
Этот Пролог мы посвятим знакомству с повадками семи типов дельта-мультипликативных процессов - и хочу отметить, что это долгожданное знакомство, по крайней мере для автора.
Как обычно, математические детали анализа каждого процесса - в отдельном справочном приложении: Справочник по дельта-мультипликативным процессам.
1. Дельта-мультипликативный процесс δM(1): Процесс Юла
Это простейший тип дельта-мультипликативного процесса. Пусть вначале множество состоит из одного-единственного объекта единичной массы. Затем на множество начинают налетать частицы единичной массы, по одной за каждый шаг времени. С некоторой вероятностью налетающая частица присоединится к одному из уже имеющихся объектов множества, увеличив его массу на единицу (при этом действует правило "богатый становится богаче", то есть, чем массивнее объект, тем больше шансов, что частица присоединится именно к нему). В остальных случаях она становится новым объектом множества с единичной массой. Процесс δM(1) - простейший случай, когда для каждой налетающей на множество частицы вероятность быть поглощенной другими объектами и наоборот, вероятность стать новым объектом, являются неизменными величинами.
Именно такой процесс происходит при росте масштабно-инвариантной сети, которую мы однажды обсуждали. Напомню, что в этой модели (её также именуют моделью Барабаси-Альберта) вначале имеется одинокий узел. Затем в системе начинают появляться новые узлы, один за другим, и при этом каждый следующий узел присоединяется к одному из уже существующих тем вероятнее, чем больше связей с другими узлами тот уже имеет. В результате развивается древовидная сеть узлов, в которой распределение узлов по количеству связей в пределе является степенным:
Модель масштабно-инвариантной сети снискала большую известность и её часто приводят в качестве примера стохастически развивающейся системы, которая порождает степенные распределения. Не трудно понять, что правила роста масштабно-инвариантной сети соответствуют правилам процесса δM(1): заметим, что в каждый шаг времени в модели 1) появляется один новый узел и 2) одна новая связь - ею новый узел прикрепляется к одному из уже имеющихся узлов сети. В результате новый узел после своего появления несёт только одну связь, а тот узел, к которому он присоединился увеличивает число своих связей на единицу. Взглянем на количество связей узлов как на их массу. Тогда новый узел после появления имеет единичную массу, а узел, к которому он присоединился, увеличивает массу на единицу. Это соответствует процессу, в котором из каждых двух налетающих на множество частиц одна становится новым объектом, а вторая - присоединяется к уже имеющимся объектам. Другими словами, для конкретной налетающей на множество частицы вероятность стать самостоятельным объектом равна 1/2.
Вероятность того, что налетающая на множество частица станет новым объектом (дельта-вероятность) в процессе δM(1) определяется выражением:
Ясно, что дельта-вероятность будет равна 1/2 в том случае, если δ=1, то есть, в родовом случае процесса. Иными словами, рост масштабно-инвариантной сети стохастически соответствует процессу δM(1) в его родовом случае.
В связи с разговорами о масштабно-инвариантных сетях обычно считают, что распределение узлов по количеству связей в таких сетях является степенным и, если говорить о показателе частотного распределения, он равен -3 (соответственно, показатель рангового распределения -1/2). Однако, это не совсем так, что особенно заметно, если мы наблюдаем не очень большую сеть. Вот пример результата процесса δM(1) с не очень большим количеством объектов во множестве, частотное распределение объектов по массам:
Чёрные точки - опытные данные, полученные компьютерным моделированием процесса. Зелёный пунктир обозначает чистое степенное распределение с показателем -3. Мы видим однако, что опытные данные заметно отклоняются от этого степенного распределения, особенно в области малых значений массы объектов. Лишь хвост укладывается на степенную функцию. Фактически, если мы попытаемся глядя на это опытное распределение найти наиболее "похожую" на него степенную функцию, то её показатель должен лежать в промежутке от -2 до -3. Наверное поэтому часто можно встретить утверждение, что масштабно-инвариантные сети порождают распределения в промежутке от -2 до -3 (например, на странице английской Википедии, посвященной масштабно-инвариантным сетям.)
В действительности, узлы масштабно-инвариантой сети распределены вовсе не в соответствии со степенной функцией. Это распределение Юла, которое имеет вид
Заметим, что этот факт заставляет с сомнением относиться к самому наименованию таких сетей как "масштабно-инвариантных". Как мы знаем, масштабная инвариантность - свойство фрактальных структур. Именно фрактальные структуры обладают строго степенной статистикой. Но в данном случае имеются заметные отклонения от степенной статистики для малых объектов. То есть, как минимум, для небольших узлов "масштабная инвариантность" сети Барабаси-Альберта не соблюдается. Как мы увидим далее, структуры, порождаемые другими дельта-процессами имеют граздо больше прав на звание "масштабно-инвариантных".
Конкретно, при δ=1:
где Г(x) - гамма-функция.
Судя по всему, гамма-функция становится для нас важным математическим понятием, поэтому для освежения в голове вузовского курса математики, немного о ней расскажем.
Наверное, почти каждый, кто хоть чуть-чуть занимается какими-либо вычислениями или статистикой, знает, что такое факториал. Это функция, которая обозначается как x!:
Построим график факториала x! в зависимости от x:
По определению, факториал имеет смысл только для целых значений x, поэтому наш график состоит из отдельных точек, соответствующих целым значениям x. Но бросается в глаза, что точки будто укладываются на какую-то плавную кривую. Что это за кривая, как её можно описать математически? Этот вопрос заинтересовал математиков еще в 18 веке, и тогда же был найден ответ. Его нашёл всё тот же великий Леонард Эйлер (вообще, чем дальше мы двигаемся, тем явственнее впечатление, что мы идём по тропам, проторенным ещё Эйлером). Он нашел следующее представление факториала:
Такое представление факториала позволило получить его значения для не-целых x (хотя их вычисление в общем случае - дело, доступное только компьютеру и только приближенно). Эта функция, расширяющая возможности факториала, и называется гамма-функцией, и обозначается как Г(x). Но с одной поправкой: x оригинального факториала и гамма-функции различаются на единицу:
Любой факториал мы можем представить как гамма-функцию, но лишь гамма-функцию от целых чисел мы можем представить обратно как факториал. Например, в уравнении частотного распределения объектов процесса δM(1) при δ=1
две гамма-функции, и аргументы обоих целочисленные, поскольку масса m измеряется в единицах. Значит, мы можем перейти обратно к факториалам и получится:
В общем, гамма-функцию можно понимать как "всеядного" родственника факториала, как факториал не только для целых значений x, но и для любых других (кроме целых отрицательных чисел).
У гамма-функции много замечательных свойств, но одно из них мы много уже использовали и будем использовать ещё не раз. Если a гораздо меньше x, то выполняется приближенное равенство:
Причину этого свойства можно объяснить на факториалах: если какое-то целое a мало по сравнению с целым x, то справедливо приближение
и не трудно понять, почему:
Итак, опираясь на свойство гамма-функции, частотное распределение узлов масштабно-инвариантной сети (для узлов, имеющих много связей) приближенно имеет степенную форму:
Однако, для узлов с небольшими m (ориентировочно, для узлов, имеющих по 3 и менее связей) это приближение не действует, и мы видим существенные отклонения распределения от степенной функции.
И всё же, хотя модель Барабаси-Альберта (придуманная не более двух десятков лет назад) на сегодняшний день - самая известная модель на основе процесса δM(1), первооткрывателем этого процесса следует считать британского статистика и экономиста Удни Юла. Он же впервые вывел и точное уравнение частотного распределения, порождаемого этим процессом, которое в его честь именуют распределением Юла:
Джордж Удни Юл
В 20-x годах прошлого века Юл вместе с биологом Виллисом исследовали следующий любопытный феномен. Известно, что все биологические организмы - животные, растения и т.д. - на основе вполне объективных признаков классифицируются в виды, рода, и т.д. В целом эти единицы классификации называются таксонами. Виллис заметил, что если взять какой-то класс организмов - например, цветковые растения - то оказывается, что роды этих растений по числу содержащихся в них видов распределяются примерно в соответствии со степенной функцией. Это было проверено не только на растениях, но и на других классах организмов - и повсюду находилось распределение, близкое к степенному. (Напомню, что мы предприняли собственное изучение вопроса, используя обширную фактологическую базу, содержащую информацию о 16173 родов и примерно 300 тысячах видов растений. Мы выяснили, что скорее распределение родов по числу видов является не степенным, а логнормальным. Это находит своё объяснение в рамках модели эволюции как развития тирона.)
Для объяснения этого явления Удни Юл выдвинул модель, интересную своей простотой. Пусть мы имеем набор родов организмов, в каждом из которых содержится некоторое количество видов. Пусть также время от времени, в результате мутаций, переселений и пр. от уже существующих видов отпочковываются новые виды. Ясно, что чем больше видов содержит род, тем больше видов за некоторый период в нём возникает - то есть, тут действует обычное правило мультипликативного процесса. Далее, пусть при каждом возникновении нового вида с некоторой постоянной вероятностью этот вид оказывается настолько отличающимся от прочих видов своего рода, что становится родоначальником, образует новый род, содержащий в начале только один вид. Тогда, если рассматривать этот процесс с самого начала - с одного рода, состоящего только из одного вида - после длительной эволюции мы получим распределение родов по количеству видов близкое к степенному.
Анализируя результаты этого процесса - а его именуют процессом Юла - Удни Юл и получил распределение, которое сегодня называют в его честь. Не трудно понять, что процесс Юла, по сути, является процессом типа δM(1): рода выступают объектами, виды - единицами массы объектов, а факт, что при росте массы множества на единицу (появляется новый вид), с некоторой постоянной вероятностью этот вид оказывается родоначальником, то есть, создаёт новый объект множества, означает принцип постоянной дельта-вероятности.
Например, по данным Виллиса оказалось, что в среднем рода цветковых растений содержат примерно по три вида. Это значит, что при возникновении нового вида они становятся родоначальниками нового рода с вероятностью 1/3. Значит,
Из чего следует, что параметр δ для дельта-процесса равен 1/2.
Изменяя вероятность появления нового рода в процессе Юла можно получать распределения, которые близки степенным распределениям с различными показателями, поскольку при небольших δ выполняется приближенное равенство:
Процесс Юла и закон Зипфа
Безусловно, простота и универсальность позволяет считать процесс Юла одной из самых гибких моделей происхождения степенных распределений (см. например, обзорную статью Марка Ньюмана на этом сайте). Однако, эта модель имеет один изъян, который при внимательном рассмотрении оказывается критическим. Дело в том, что процесс Юла не способен порождать степенные частотные распределения с показателем -2 - а это распределения, соответствующие закону Зипфа. Статистика Зипфа (показатель частотного распределения равен -2, рангового: -1) настолько часто встречается в самых разных явлениях, что любая модель, описывающая развитие степенных распределений должна порождать статистику Зипфа в каких-то нормальных режимах или условиях.
Однако, глядя на уравнение степенного приближения распределения Юла, становится ясно, что процесс Юла может порождать статистику Зипфа только при очень малых, экстремальных значениях δ.
Пусть так, пусть δ очень мало - может быть, в этих условиях процесс Юла может объяснить происхождение закона Зипфа?. Увы нет. При очень малых значениях δ, соответствующих условиям, когда вероятность появления нового объекта очень мала (но при этом остаётся постоянной), развивается аномалия, которую лучше проиллюстрировать диаграммой рангового распределения объектов множества по массам:
Как мы видим, основная часть распределения действительно укладывается на степенную функцию с показателем -1, то есть, большая часть объектов множества распределяется по масса в соответствии с законом Зипфа. Однако из общей картины откровенно выбивается первый объект (и отчасти второй). Он приобретает аномально большую массу, на многие порядки превышая ту, которую должен бы иметь в случае чистого степенного распределения (конкретно, его масса в ≈1/δ раз превышает "правильную"). В данном конкретном случае δ=0,01 это означает, что практически 99% массы всего множества сосредоточено в первом, сверх-массивном объекте. Разумеется, это слишком значительная аномалия, чтобы мы могли считать процесс Юла способным порождать статистику Зипфа.
Например, каким образом можно объяснить эту аномалию в случае распределений городов по населению? Разве что предполагая, что кроме наблюдаемых городов с наблюдаемым населением, подчиняющимся закону Зипфа, существуют и "невидимые сверх-города", население которых на несколько порядков превышает всё суммарное население наблюдаемой страны. Нас не смущают смелые гипотезы, но это уже чересчур.
Есть и еще одна трудность с процессом Юла как источником ранговых распределений, близких закону Зипфа. На опыте они часто имеют показатель β несколько больше единицы. Например, распределения слов по частоте их появления в тексте часто имеет показатель степенного рангового распределения больше единицы. Такую же картину мы видели в популяционных распределениях городов (параметр β в таблице). Но взглянем на уравнения ранговых распределений, порождаемых процессом δM(1):
(на приведенной выше опытной ранговой диаграмме - красный пунктир). Его степенное приближение:
Ясно, что ни при каких значениях параметра δ мы не можем получить ранговое распределение с показателем степени более единицы. Таким образом, процесс Юла или, в нашей системе обозначений, процесс δM(1), мало подходит для моделирования происхождения эмпирических законов Зипфа, и не способен объяснить происхождение сигнатуры когнитивного порядка β=1. Как мы увидим далее, этому гораздо лучше служит другой дельта-мультипликативный процесс.
Фундаментальная роль распределения Юла
Обзор всех типов дельта-аддитивных процессов у нас занял всего один Пролог, а начиная знакомство с типами дельта-мультипликативных процессов, мы посвятили целый Пролог только первому и простейшему из них - процессу δM(1). Но он заслуживает того. Не только тем, что является самым известным (практически, пока единственным известным) дельта-мультипликативным процессом, и почитается как наиболее содержательная модель происхождения степенных распределений. Главная причина нашего внимания к этому процессу в том, что он является простейшим типом среди прочих процессов семейства δM(), и при этом демонстрирует результаты, которые следует считать характерными для дельта-мультипликативных процессов вообще. Речь идёт о распределении Юла, которое порождается не только процессом δM(1), но и некоторыми другими дельта-процессами.
И в этом свете главное открытие Удни Юла - не процесс, также названный его именем, а уравнение распределения, которое оказывается описывает не только результаты собственно процесса Юла, но и продукты других дельта-мультипликативных процессов. В определённом смысле распределения Юла - это и есть те загадочные распределения, отражающие "личные предпочтения" мультипликативных процессов, о которых мы говорили в начале этого Пролога.
("Личные предпочтения" дельта-аддитивных процессов, судя по всему, также представлены в простейшем процессе этого семейства - в процессе δA(1). Как мы знаем, процесс δA(1) порождает экспоненциальные или геометрические частотные распределения, весьма типичные для натуральных явлений различной природы.)
И вот теперь, подробно обсудив самый простой процесс семейства, мы готовы к встрече с его более "продвинутыми" родственниками. И эта встреча сулит нам немало поводов для размышлений.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER