КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
 
Роман Уфимцев
23 февраля 2013 года, Калининград
В этом Прологе мы продолжаем обзор свойств простейших типов дельта-мультипликативных процессов, начатый в предыдущем Прологе. Заодно мы обсудим некоторые общие вопросы, связанные с дельта-процессами различных типов.
Наглядные и "ненаглядные" дельта-процессы
Раздумывая над способами наглядного представления механизмов различных дельта-процессов, автор обнаружил, что из 14 рассматриваемых нами дельта-процессов (7 аддитивных и 7 мультипликативных) лишь 5 легко наделяются "здравомысленным" или наглядным смыслом: два дельта-аддитивных и три дельта-мультипликативных процесса.
Вот о чём идет речь. Добавим в нашу абстрактную модель растущего множества наглядности: представим растущие объекты как растения на плантации, растущие под питательными лучами солнца:
Заметим разницу между любым аддитивным и любым мультипликативным процессом: агентом роста, принимающим лучи солнца и обращающим их в прирост массы объектов в первом случае являются объекты как единицы - и все они одинаковы независимо от их массы. Во втором случае агентами роста являются отдельные частицы массы, из которых сложены объекты. Именно это обстоятельство и определяет отличие в общих правилах аддитивных и мультипликативных процессов: в первых вероятность прироста любого объекта одинакова, во вторых - действует правило "богатый становится богаче".
При видимой тривиальности этого различия, оно иллюстрирует основополагающую полярность аддитивных процессов с одной стороны и мультипликативных - с другой. Различие между ними - в источнике причинности. В аддитивных процессах им являются объекты целиком, как единицы. Или, если говорить о всём множестве, их количество k. В мультипликативных процессах источником причинности является масса объектов, в совокупности образующая общую массу множества M.
Объект как единица и объект как совокупность тождественных единичных частиц массы - это два предельных уровня его организации. Когда объект действует (или реагирует на действия) на своём высшем уровне организации, выступая единицей, возникают условия для развития аддитивных процессов. Наоборот, когда объект действует на своём низшем уровне организации, выступая совокупностью массовых частиц, развиваются мультипликативные процессы:
С этой точки зрения количество объектов множества k - это характеристика его высшего уровня организации, а общая масса M - наоборот, низшего. Несколько фигурально, k определяет предельную форму множества, а M - его предельное содержание. Различные функции, связывающие k и M - это способы взаимодействия формы и содержания в процессе развития множества. Именно такой смысл могут иметь дельта-факторы в рассматриваемых нами процессах, которые как раз представляют собой простейшие функции от k и M. Результатом же их взаимодействия выступают соответствующие дельта-продукты - распределения различных типов. Распределения объектов множества по массам (в ранговом или частотном представлении) - это, по сути, специфические для каждого дельта-фактора результаты взаимодействия формы и содержания.
Далее, кроме агентов роста в дельта-процессах имеются генераторы новых объектов. Генератор новых объектов время от времени, с постоянной скоростью порождает новый объект множества. Пять наглядных дельта-процессов характеризуются тем, что мы можем ясно и наглядно определить, чем являются эти генераторы. Например, сравним два наглядных дельта-аддитивных процесса:
В первом из них, в простейшем дельта-аддитивном процессе δA(1), генераторами новых объектов являются сами объекты: то есть, объекты являются агентами роста, и они же генераторами новых объектов. В этом случае на некоторое постоянное количество событий прироста массы объектов выпадает постоянное число рождений новых объектов - это и есть правила процесса δA(1).
Процесс δA(1/k) отличается тем, что генератором является только один объект - первый, последний родившийся, или вообще какой-то особый. Это приводит к тому, что с ростом количества объектов k доля событий рождения новых объектов в общей доле событий снижается как 1/k - это и есть особенность процесса δA(1/k).
К сожалению, только эти два дельта-аддитивных процесса могут получить подобное наглядное описание. Остальные пять - δA(1/M), δA(k/M), δA(M/k), δA(M) и δA(k) - требуют более абстрактного рассмотрения (что не обязательно плохо).
Обращаясь к дельта-мультипликативным процессом, аналогом наглядной пары δA(1) и δA(1/k) является пара δM(1) и δM(1/M):
В первом, простейшем из дельта-мультипликативных процессов, генераторами новых объектов являются все массовые частицы, из которых сложены объекты. Во втором генератором является только одна частица одного из объектов (или, что равнозначно, только один объект множества как единица).
Но рассмотрение объектов сразу на двух уровнях - на высшем, когда они выглядят как цельные единицы, и на низшем, когда они выглядят как совокупности массовых частиц - позволяет наглядно представить ещё один дельта-мультипликативный процесс - δM(k/M):
Как мы видим, в этом процессе генераторами являются ровно по одной частице в каждом из имеющихся объектов множества. Этот процесс любопытен тем, что агентами роста в нём являются частицы массы объектов - как и в любом мультипликативном процессе - а вот генераторами новых объектов являются единичные частицы массы в каждом объекте или, что эквивалентно, отдельные объекты как единицы. Последнее сближает этот процесс с простейшим процессом δA(1), в котором генераторами также являются все объекты множества как единицы.
Заметим ещё пару связей: в процессе δM(1) рост отдельного объекта можно отождествить с процессом δA(1):
В процессе δM(k/M) рост отдельного объекта можно отождествить с правилами процесса δA(1/k):
Итак, у нас имеется всего три наглядных дельта-мультипликтивных процесса: δM(1), он же процесс Юла. Процесс δM(k/M) - он же тиронный процесс, ради полного понимания которого мы и начали общее исследование дельта-процессов. И δM(1/M) - он же Я-структурный процесс. Чуть дальше мы объясним, почему он так называется.
В заключение, следует поставить вопрос: а какую роль играет наглядность дельта-процесса в том смысле слова, который мы здесь используем? Разумеется, наглядность расширяет возможности трактовки процесса и его применения для объяснения различных натуральных явлений. И всё же, не следует сбрасывать со счетов и те 9 дельта-процессов, которым мы пока не сумели дать наглядное, интуитивно внятное представление. Каждый из них сам по себе интересен, а найти наглядные представления - дело наверняка решаемое.
Продолжим теперь знакомство с мультипликативными дельта-процессами.
2. Дельта-мультипликативный процесс δM(1/k)
В этом процессе с увеличением численности объектов k новые объекты появляются всё реже.
тут pi - вероятность прироста объекта, имеющего массу mi, а pδ - вероятность рождения нового объекта в каждый шаг времени. И хотя этот процесс не является наглядным, у его правил есть довольно ясная трактовка.
Пусть в каждый шаг физического времени масса множества удваивается - то есть, каждая частица массы, из которых состоят объекты множества, даёт прирост массы на единицу. Значит, прирост массы равен ∆M = M. И пусть количество появившихся за этот период новых объектов пропорциональна средней массе объектов: ∆k = a*M/k. Тогда получим, что вероятность появления нового объекта в числе всех событий:
Мы получили уравнение дельта-веротяности в процессе δM(1/k). То есть, генератором новых объектов выступает средняя масса объектов.
К каким же результатам приводит этот процесс? Сравним продукты процессов δM(1) и δM(1/k) - предельные формы частотных распределений:
Предельные формы уравнений частотного распределения получаются при устремлении количества объектов множества к бесконечности. То есть, их следует считать предельным, окончательным результатом соответствующего процесса.
Во-первых, заметим, что результат процесса δM(1/k) описывается распределением Юла, также как и продукт процесса δM(1). Однако, он не является частным случаем процесса δM(1), поскольку требует, чтобы параметр δ в процессе δM(1) был равен -1/2, что абсурдно. То есть, результат процесса δM(1/k) невозможно получить ни при каких параметрах процесса δM(1).
Во-вторых, обратим внимание, что предельный продукт процесса δM(1/k) не зависит от значения параметра δ. Это весьма примечательный факт, который заставляет подозревать, что распределения такой формы должны играть какую-то важную, инвариантную роль по меньшей мере в некоторых аспектах реальности.
Далее, мы знаем, что распределения Юла при не очень малых значениях массы объектов хорошо приближаются к степенным. В случае продукта процесса δM(1/k) это приближение выглядит так:
Ему соответствует степенное ранговое распределение:
Существует пример фундаментального и универсального процесса, порождающего степенные распределения с такими показателями. Это обычное случайное блуждание:
Если мы имеем случайно блуждающую величину, то периоды между возвращениями к какому-то определенному значению (например, к нулю - это выглядит как пересечение графиком нулевой планки), распределяются именно так. Также в пределе распределяются и вообще времена первого прохода блуждания через какую-то планку, если начинать с какого-то фиксированного значения, например, с нуля. К слову, этот факт прямо связан с тем, что случайное блуждание порождает коричневый шум, то шумы степенного спектра с показателем -2.
Говоря предварительно, процесс δM(1/k) является аналогом броуновского блуждания (или как его еще называют, винеровского процесса). Винеровский процесс относится к процессу δM(1/k) также, как тау-модель, порождающая временные ряды (которые подчиняются статистике Зипфа), относится к модели тирона, которая порождает древовидные структуры (также подчиняющиеся статистике Зипфа). Винеровский процесс - это процесс, разворачивающийся во времени, он порождает временной ряд, для которого характерны степенные частотные распределения с показателем -3/2. Процесс δM(1/k) порождает множество, обладающее той же степенной статистикой и которое может быть представлено как древовидная структура. Можно сказать, что процесс δM(1/k) генерирует "винеровские" или, более традиционно, "броуновские структуры".
Предположим, что порождаемые процессом δM(1/k) можно обнаружить в окружающем нам мире, или, смелее, что они играют в нём важную роль. Попробуем сузить область поисков. Броуновская структура - это множество объектов, чьи массы соответствуют ряду:
Как доказал всё тот же Леонард Эйлер (совершив по тем временам нечто невозможное), сумма бесконечного числа элементов этого ряда сходится к удивительному пределу:
Ограниченность этой суммы (в отличие, например, от суммы гармонического ряда 1 + 1/2 + 1/3 + ..., которой соответствует общая персистивность тиронной структуры) наводит на мысль, что предельно развитые броуновские структуры могут существовать в физическом пространстве мира как компактные агрегаты. Кроме того, присутствие числа пи в сумме ряда, а также мотивы доказательства этой суммы, в котором используются элементы тригонометрии и преобразования Фурье, может свидетельствовать о том, что броуновские структуры имеют отношение к периодическим процессам и колебаниям. Впрочем, это только гипотеза.
Разумеется, известно немало феноменов, для которых характерны получающиеся в этом процессе распределения. Например, распределение богатства среди богатейших людей обычно следует частотному степенному распределению с показателем -3/2 - именно этот факт был обнаружен Парето и именно из-за него степенные распределения часто именуют распределениями Парето. Есть и интересные сходные случаи, например, по некоторым данным, интенсивность войн, землетрясений и вспышек на солнце следуют степенным законам с показателями степени частотных распределения в диапазоне –1,6 - –1,7, что довольно близко к -3/2. Другой пример - размеры лавин возбуждения нейронов в тканях мозга, для распределения которых исследователи называют ту же цифру -3/2. И тем не менее, канонический пример броуновских структур ещё ждёт своего открытия.
3. Дельта-мультипликативный процесс δM(1/M)
Процесс δM(1/M), в котором вероятность появления нового объекта управляется величиной, обратной общей массе множества, по видимому – тот самый механизм, поискам которого мы посвятили немало времени. Речь идёт о стохастическом генеративном механизме, который мог бы порождать множество объектов, которые распределяются по массе также, как персистивность структурных частей Я-состояний - в соответствии с экспоненциальным ранговым распределением (именно ранговым, не частотным):
где N - общее количество объектов в тиронной структуре.
Этим механизмом оказался процесс δM(1/M), порождающий в зависимости от параметра δ ранговые распределения вида
В родовом случае процесса, при δ=1, получаем полное сходство с распределением структурных частей Я-состояния:
При этом количество структурных частей Я-состояния соответствует количеству объектов растущего множества k и связано с общим числом объектов тиронной структуры N следующим образом:
Процесс δM(1/M) именно таков, каким мы искали генеративный механизм "плоской" (мы ещё её именовали спиральной) структуры Я-состояния: объекты в нём растут не последовательно, а параллельно, он порождает не одну только натуральную пропорцию, а весь ряд структурных частей Я-состояния, и он имеет ясное созвучие с моделью тирона (которая, как мы вскоре увидим, основана на процессе δM(k/M)). Можно уверенно утверждать: одна из проблем, обозначенных в Прологе-интерлюдии, решена. И, как это часто бывает, неожиданным образом.
Мы ещё будем обсуждать эту тему, лежащую на основной тропе нашего исследования, подробно. А пока рассмотрим процесс δM(1/M) как ещё один бриллиант в нашей сверкающей коллекции дельта-процессов.
Процесс δM(1/M), который по понятным причинам мы будем далее также называть Я-структурным процессом - наглядный в выше изложенном смысле, один из немногих. В родовом случае (δ=1) он порождает геометрическую прогрессию замечательного вида
Сопоставление результатов числового опыта с теоретической формой рангового распределения:
Предельное частотное распределение имеет вид
где A зависит от количества объектов множества и равна A = δ/k. Формально это степенное распределение, но оно также является и распределением Юла вида:
Причём это тот единственный случай, когда распределение Юла не примерно, а в точности соответствует дискретному степенному распределению. То есть, частотный продукт процесса δM(1/M) не является исключением и также является распределением Юла, частным его случаем. Однако, результат этого процесса нельзя получить ни при каких параметрах уже рассмотренных нами процессов δM(1) и δM(1/k).
Наконец, интересной особенностью этого процесса является линейный рост объектов, если исчислять время событийно:
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER