КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
 
Роман Уфимцев
24 февраля 2013 года, Калининград
В этом Прологе мы завершаем обзор простейших типов дельта-процессов. Особое внимание мы уделяем дельта-мультипликативным процессам. Нам остаётся познакомиться с оставшимися четырьмя типами этих процессов, включая самый интересный для нас - процесс δM(k/M).
4. Дельта-мультипликативный процесс δM(k/M)
Мы предприняли "массированное" изучение дельта-процессов главным образом для того, чтобы увидеть в содержательном контексте процесс развития тиронной структуры. Тирон - это растущая древовидная фрактальная структура, которая в соответствии с нашей центральной гипотезой подходит для описания взаимодействия когнитивного и физического порядков в различных явлениях мира. В процессе этого взаимодействия развиваются фракталы, степенная статистика которых отвечает закону Зипфа, то есть, распределения масс или размеров структурных частей тирона имеют степенную форму с показателями -1 (сигнатура β = 1) для рангового распределения и -2 для частотного.
Модель тирона появилась как результат поиска стохастического механизма, который бы мог порождать фрактальные структуры с необходимыми статистическими характеристиками. Как мы говорили, обычно на роль универсального механизма, способного порождать степенную статистику выдвигается процесс Юла (в нашей классификации - процесс δM(1)), однако мы убедились, что возможности этого процесса ограничены с точки зрения показателей степени, которые можно получать в порождаемых этим процессом распределениях. Теоретически процесс Юла может порождать множества объектов, чьи массы имеют показатели степени частотных распределений от -2 и меньше (то есть, -3, -4 и т.д.). Это значит, что статистика Зипфа с показателем -2 теоретически входит в диапазон возможностей процесса Юла, хотя и находится на его пределе. Однако практически процесс Юла способен порождать стохастические фрактальные структуры, отвечающие закону Зипфа лишь с очень существенной аномалией: первый объект множества в процессе развития множества оказывается сверх-массивным, вбирая в себя практически всю массу множества. И лишь оставшиеся объекты распределяются в соответствии с законом Зипфа. И эта аномалия становится тем существеннее, чем ближе к закону Зипфа мы хотим подобраться, подбирая параметры процесса Юла. Кроме того, с помощью процесса Юла вообще невозможно получать частотные распределения с показателями менее -2, но на практике феномены, демонстрирующие закон Зипфа часто варьируют показатели степени, так что они иногда имеют значения чуть более -2, иногда - чуть менее -2. То есть, для их моделирования необходим процесс, в котором показатель -2 является не экстремальным, как в процессе Юла, а некоторым типичным результатом, который в некоторых пределах может флуктуировать.
Этим условиям полностью отвечает процесс δM(k/M) или тиронный процесс. В наглядном представлении его отличие от процесса δM(1) заключается в том, что генераторами новых объектов являются не все массовые частицы, из которых сложены объекты множества, а только по одной частице каждого объекта:
Альтернативно генераторами новых объектов можно считать сами объекты.
Эта модификация исходного процесса Юла существенно увеличивает диапазон возможных распределений, которые можно получить с его помощью. Сравним частотные продукты:
Или, в степенном приближении:
Мы видим, что процесс δM(k/M) порождает распределение Юла, но диапазон возможных значений показателей степени (при степенном приближении распределения Юла) лежит в диапазоне от -1 и меньше, что шире диапазона, доступного для процесса Юла. Это значит, что c точки зрения результатов мы можем рассматривать процесс δM(1) как частный случай процесса δM(k/M).
Более того, доступный диапазон δM(k/M) перекрывает также и результаты процессов δM(1/k) и δM(1/M). Для первого показатель степени частотного распределения равен -3/2, для второго -1. И то и другое значение может быть получено в процессе δM(k/M) (хотя последнее только в экстремальном случае, при очень малых δ). Кроме того, как мы далее увидим, и процесс δM(M/k) также с точки зрения результатов перекрывается возможностями тиронного процесса:
Треугольниками отмечены родовые случаи каждого процесса (β = 1). Таким образом, мы видим, что процесс δM(k/M) является наиболее широким по возможностям - и это прямо перекликается с аналогичным дельта-аддитивным процессом δА(k/M), который по нашим наблюдениям оказался наиболее гибким по своим результатам, охватывая по возможностям прочие дельта-аддитивные процессы.
Самое ценное свойство процесса δM(k/M) заключается в том, что в своём родовом случае (β = 1) он порождает распределения, практически идеально соответствующие закону Зипфа - опытный результат в ранговом представлении:
В частотном представлении заметно тонкое отличие распределения Юла от степенного приближения:
Таким образом, мы уточнили анализ тиронного процесса и получили более точное описание его результатов, особенно в части количества объектов малой массы/персистивности в тиронной структуре - их существенно меньше, чем следует из степенного описания распределений (в частности, в случае β = 1 объектов с массой/персистивностью 1 в тиронной структуре ровно в два раза меньше, чем предсказывается степенным приближением). Принимая во внимание важность модели тирона для наших исследований, это ценный результат.
5. Дельта-мультипликативный процесс δM(M/k)
Обсуждая аналогичный процесс δA(M/k) мы установили его неожиданную связь с золотым сечением: в родом случае процесса средняя масса объектов оказывалась равной золотому сечению. При этом в остальных своих чертах он оказался подобным процессу δA(1) - изменяя необходимым образом параметр δ процесс δA(M/k) способен показывать точно те же результаты, что и процесс δA(1), и обратно.
Точно такие же отношения имеются и между процессами δM(1) и δM(M/k): они отличаются лишь параметром:
То есть, за исключением параметра δ, процесс δM(M/k) обладает точно такими же свойствами, что и процесс δM(1). Его интересная особенность состоит лишь во "вплетении" в его результаты золотой пропорции. Например, в родовом случае, при δ=1, частотное распределение приближается к степенному:
Или вот сравнение опытного рангового распределения с теоретической кривой степенного приближения:
6. Дельта-мультипликативный процесс δM(k)
Как мы заметили, обсуждая процессы δA(k) и δA(M), они являются своего рода "отщепенцами" в ряду своих дельта-родственников. Из-за того, что управляющими факторами в них являются растущие величины - количество объектов k и общая масса множества M - при нормальных значениях параметра δ они быстро достигают тривиальной формы, порождая бесконечный ряд объектов единичной массы. Поэтому интерес представляют лишь процессы, в которых параметр δ очень мал.
Это в полной мере относится и к процессам δM(k) и δM(M). Их развитие складывается из двух фаз. Если δ мало, то первые примерно 1/δ объектов процесса образуют какое-то не-тривиальное распределение. Но затем, на второй фазе процессов, эти объекты "застывают", перестают прибавлять в массе, а вместо этого начинают плодиться объекты единичной массы (которые также не растут). Таким образом, интерес представляют лишь предельные формы распределений первых около 1/δ объектов. Они образуют "остовы" процессов δM(k) и δM(M), которые может быть можно наблюдать в каких-то натуральных феноменах как следы соответствующих процессов. При этом, поскольку речь идёт о распределениях крупнейших объектов множеств, целесообразно опираться не на частотные, а на ранговые распределения.
Процессы δM(k) и δM(M) оказались сложны для анализа. Его приходилось вести, опираясь на приближения, анализируя процесс по фазам. Поэтому результаты следует принимать как приближенные и пригодные только для объектов, номер которых не превышает примерного рубежа 1/δ - то есть, для объектов, развившихся ещё до перехода процессов во вторую, тривиальную фазу.
Итак, примерное уравнение рангового распределения для "остова" процесса δM(k) выглядит так:
Оно любопытно перекликается с "остовом" процесса δA(k), который подчиняется закону Зипфа:
Замтим, что даже в двойных логарифмических координатах кривая распределения быстро спадает - распределение весьма "острое":
7. Дельта-мультипликативный процесс δM(M)
Продукт процесса δM(M) имеет более традиционный степенной вид с показателем рангового распределения -1/2:
То есть, хвост "остова" этого процесса удовлетворительно укладывается на степенную функцию:
Интересно, что аналогичный дельта-аддитивный процесс δA(M) демонстрирует подобный результат:
Это единственный случай, когда результаты дельта-аддитивного и дельта-мультипликативного процессов оказываются качественно сходными между собой. То есть, глядя только на результат, на "остов", мы не сможем уверенно различить, какой из процессов его породил: δA(M) или δM(M).
Сводная таблица продуктов простейших дельта-процессов
Для удобства, объединим полученные результаты для всех рассмотренных нами 14 дельта-процессов в две таблицы.
Этим мы завершаем общее исследование дельта-процессов, чтобы вернуться к основной тропе наших поисков. Этот экскурс был весьма полезен: мы добыли ещё несколько недостающих кусочков в общей мозаике.
Постскриптум для посвящённых читателей
В статье Ижири и Симона "Некоторые распределения, связанные со статистикой Бозе-Эйнштейна", которая была опубликована в 1975 году (Yuji Ijiri, Herbert A. Simon "Some Distributions Associated with Bose-Einstein Statistics") авторы приводят занятную модель, которая в двух своих вариантах генерирует либо степенные распределения либо геометрические. Их связь с квантовой механикой и статистикой Бозе-Эйнштейна, которую проводят авторы, скорее обусловлена тематическими интересами авторов, чем собственно самим предметом, но модель достаточно интересна, чтобы мы кратко с ней познакомились.
Пусть мы имеем два типа знаков: "звёзды" и "перегородки". Перегородки задают границы клеток, в которых располагаются звёзды:
Назовём клеткой промежуток между двумя перегородками, а размером клетки будем полагать количество содержащихся в ней звёзд плюс один (чтобы не иметь дела с клетками нулевого размера). Работа модели начинается с последовательности двух перегородок, то есть, с одной клетки единичного размера. Далее, в каждый шаг времени по определенным правилам добавляется один новый символ - звезда или перегородка. Кроме того, пусть вероятности появления звезды или перегородки постоянны.
В первом варианте модели если появляется звезда, она размещается равновероятно в любом месте между любыми имеющимися уже знаками. Но если появляется перегородка, она размещается только рядом с какой-то другой перегородкой. В этом случае, как отмечают авторы, после длительной эволюции развивается строка, в которой распределение клеток по размеру оказывается близким к степенному. Точнее, развивается распределение Юла. Этот факт вполне ясен, если заметить, что этот вариант модели Ижири и Симона представляет собой ничто иное как простейший дельта-мультипликативный процесс δM(1), он же процесс Юла. Действительно, появление перегородки соответствует в нашей модели растущего множества рождению нового объекта единичной массы - ведь перегородка оказывается по соседству с другой перегородкой и тем самым образует новую клетку единичного размера. Если же появляется звезда, то вероятность для неё оказаться в какой-то клетке равна доле размера этой клетки в общем размере строки - то есть, действует обычное правило "богатый становится богаче". Таким образом, рост строки в первом варианте модели - это типичный процесс Юла. И интересно, какими с виду разными могут казаться модели, генерирующие этот процесс. Например, модель масштабно-инвариантной сети полностью идентична данной (если звёзды и перегородки возникают с одинаковой вероятностью).
Во втором варианте модели и перегородки и звёзды размещаются случайно и где угодно - в любой промежуток между уже имеющимися знаками. В этом случае, как отмечают авторы, частотное распределение клеток по размеру становится геометрическим (экспоненциальным). При этом результат оказывается точно тождественен результатам простейшего дельта-аддитивного процесса δA(1). Напомню, что в этом процессе 1) новые объекты множества появляются с фиксированной вероятностью, и 2) вероятность прироста для всех объектов одинакова вне зависимости от их массы.
Приведём "быстрое" доказательство, в котором вывод результатов работы второго варианта модели Ижири и Симона гораздо проще, чем у авторов (хотя и менее строгий). Рассмотрим строку, полученную в результате длительной работы второго варианта модели Ижири и Симона. Обозначим вероятность появления перегородки как a, а вероятность появления звезды как 1-a. Ясно, что из-за случайного размещения знаков, вероятность что любой произвольно взятый из строки знак окажется перегородкой равна a, а звездой - 1-a. Оценим теперь, сколько клеток размера n имеется в нашей строке. Для этого заметим, во-первых, что вообще, клетки размера n должны встречаться в (1-a) раз реже, чем клетки размера n-1 (поскольку каждое увеличение размера клетки на единицу требует ещё одного знака звезда, а вероятность их появления равна (1-a)). Значит, обозначив частоту появления клеток размера n как Фn, а частоту клеток размера n-1 как Фn-1, можно записать:
Чтобы мы могли полностью раскрыть это рекурсивное соотношение, нужно лишь найти частоту появления клеток единичного размера Ф1. Очевидно, что такие клетки возникают повсюду, где прямо соседствуют две перегородки. Вероятность того, что за некоторой перегородкой сразу последует другая равна a. Значит Ф1=a. Раскрываем рекурсию, и получаем уравнение частотного распределения клеток по размеру:
Сравним это с частотным продуктом дельта-процесса δA(1). В нём вероятность появления нового объекта (то есть, "перегородки") равна a = δ/(1+δ). Подставляя в последнее уравнение, получим:
Что полностью совпадает с частотным продуктом дельта-аддитивного процесса δA(1).
Это интересно: такие разные с первого взгляда генеративные механизмы приводят в точности к одному и тому же результату. Тем не менее, общий знаменатель двух моделей - последовательности, в которых каждое следующее звено с некоторой фиксированной вероятностью может стать последним. В этих условиях развиваются множества таких последовательностей (клеток в модели Ижири и Симона или объектов в нашей абстрактной модели), отвечающие геометрическому распределению. Тот факт, что второй вариант модели звёзд и перегородок генерирует такие последовательности, мы использовали в выводе результатов её работы. Менее очевидно, что процесс δA(1) тоже генерирует такие последовательности. Посмотрим на выражение вероятности появления нового объекта в этом процессе:
Из него следует, что за время, пока во множестве появится новый объект единичной массы, масса уже существующих объектов в сумме увеличится на величину (поскольку в каждый шаг событийного времени множество прибавляет в массе на единицу):
Обозначим теперь как Фm долю (частоту) объектов, имеющих массу m, и как Фm-1 - долю объектов, имеющих массу m-1. Тогда мы можем записать:
Это так называемое уравнение баланса. Оно описывает, какой станет доля объектов массы m Фm, за время, пока во множестве появляется один новый объект. Эта доля, во-первых, увеличится из-за прироста объектов массы m-1 - этот вклад равен δ*Фm-1, а во-вторых, она уменьшится из-за того, что объекты массы m вырастут и приобретут массу m+1 - вклад этого фактора равен δ*Фm. Получим рекурсивное отношение:
По форме оно в точности повторяет то рекурсивное отношение, которое мы получили выше при анализе модели Ижири и Симона, что говорит и о тождественности распределений.
Подведём итог. Модель Ижири и Симона в её двух модификациях демонстрирует, что исследованные нами простейшие дельта-аддитивные процессы многолики. Их не обязательно можно представлять только в привычной форме множества объектов, на которое налетают частицы единичной массы. Например, процесс δM(1) можно представить и как рост масштабно-инвариантной сети, и как первый вариант модели Ижири и Симона. Процесс δA(1) в этом отношении ещё более гибок: наличие двух типов объектов - звёзд и перегородок, возможность дробления клеток перегородками - всё это видимо отличает механизм, описанный Ижири и Симоном от правил процесса δA(1). Однако, анализ демонстрирует их принципиальное сходство. Они как две разные дороги, приводящие в одно место. Разница лишь в следующем: то, что у Ижири и Симона происходит в результате совершенно случайных расстановок символов, в процессе δA(1) происходит немного более упорядоченно.
Наконец, следует отметить, что два варианта описанной модели дают нам ещё одно содержательное и неожиданное описание отношения процессов δM(1) и δA(1). Для нас разница между этими процессами состояла в разных правилах распределения вероятностии роста между объектами - одинаковая вероятность или правило "богатый становится богаче". Ижири и Симон нарисовали альтернативный взгляд: их разница в разных правилах размещения перегородок: если новые перегородки размещаются только рядом со старыми, мы получаем процесс δM(1), если где угодно - процесс δA(1). Это наводит на мысль о возможности формулировки аддитивных и мультипликативных правил в альтернативной форме, представленной авторами статьи. Тут есть о чём подумать.
Хочу ещё поблагодарить читателя Прологов, скрывающегося за псевдонимом druggist, наведшего меня на эту статью Ижири и Симона.
1
Роман, а к какому пределу стремится средняя плотность(вернее обратная величина) - (к/M), где к - общее кол-во объектов, M -суммарная масса - в результате длительного процесса "дельтаM(k/M)" при фиксированном дельта?
Что касается модели Симона, то здесь очевидное замечание: в модели Юла мы каждый раз увеличиваем массу на единичку иногда увеличивая при этом и кол-во объектов. В модели Симона мы увеличиваем суммарную массу (количество звезд) и количество объектов( состояний, "ящиков", клеток и т.д.) с НУЛЕВОЙ массой независимо. Кстати, размер "нулевой" клетки не обязательно должен быть равен единичке, а может лежать в пределах от 0 до бесконечности.
Вывод геометрического (т.е. экспоненциального с целочисленным аргументом) распределения просто замечательный,(раньше не встречал). Нечто аналогичное сделать бы и с первым распределением Симона(Парето) и проблема была бы во многом снята :)
druggist druggist59@mail.ru (27.02.2013 15:53)
2
Средняя масса в процессе дельтаM(k/M)
Предельная средняя масса в этом процессе при дельта (d) больше 1 сходится к d/(d-1). При d меньше 1 средняя масса расходится. При d=1 медленно расходится как гармоническое число от количества объектов.
Разница между моделью Юла в ее исходном виде и моделью Симона есть. Но стохастически они подобны. С процессом же дельтаМ(1) модель Симона полностью совпадает - там тоже есть "нулевой знак", рождение нового объекта. Размер нулевой клетки или новорожденного объекта действительно может быть любым, и это приводит к в принципе просто рассчитываемым отклонением хвостов распределений от чистого распределения Юла - там возникает обрез. Но по неким эстетическим соображениям эти случаи мне на так интересны :)
По поводу вывода распределения для первого варианта модели Симона - у Симона приведен практически тот же вывод, что и я использовал в справочнике по дельта-мультипликативным процессам для вывода дельтаM(1) (www.cognitivist.ru/er/kernel/prologi_76app_multiplicative.xml.). Там смысл тот же: составляется рекурсия из простых соображений, и решается - метод уравнения баланса.
Роман Уфимцев (27.02.2013 16:29)
3
" Средняя масса в процессе дельтаM(k/M) "
Имеется в виду средняя масса объекта =M/k ?
druggist (27.02.2013 16:41)
4
Да, средняя масса M/k
То, что в случае дельта=1 она расходится как гармоническое число в общем-то прямо следует из того, что такой процесс порождает распределение со статистикой Зипфа.
Роман Уфимцев (27.02.2013 16:43)
5
Роман, я вот не до конца понимаю в модели Симона одну вещь, допустим мы стартуем с достоточно большого кол-ва перегородок N и кол-во звезд в начальный момент М=0. Мы кидаем только звезды в соответствии с обычным правилом Гибрата(пропорционально числу звезд в клетке плюс единичка). Что у нас будет с частотным распределением звезд по клеткам? Вроде бы вначале падающая экспонента ~exp(-bm), где m число звезд в клетке. С ростом M (прои постоянном N) коэфф-нт b обратится в 0 и станет отрицательным, т.е., экспонента станет растущей с m, Так ли это, как вы считаете?
druggist (28.02.2013 12:11)
6
Ах да, у вас клетки все вначале единичные...
Тогда формально с мультипликативным ростом они должны сохранять форму распределения, то есть оставаться одинаковыми по размеру. Да, но тут проявляются стохастические эффекты уже другого порядка... Хм. Полагаю, что будет экспоненциальное распределение со стабильным параметром, возможно сходящимся к переделу какому-то, зависящему от N. Интересно. Нужно посмотреть.
Роман Уфимцев (28.02.2013 12:22)
7
Интересные вы вопросы ставите :)
А ответ простой оказывается - получается экспонента, почему в общем понятно. А её показатель, элементарно, равен - среднему значению массы. Средняя масса при фиксированном количестве клеток растет без предела, значит и показатель экспоненты ведёт себя также.
Роман Уфимцев (28.02.2013 12:46)
8
Видимо, я что-то перемудрил:)
Хотелось бы чуть по-подробнее, при большой средней массе тоже будет падающая экспонента? Видимо, будет обрезание и на что будет похоже распределение при очень больших M?
druggist (28.02.2013 15:46)
9
Просто экспонента
Без обрезаний при каких угодно общих массах, чистая экспонента с лямбда, равным средней массе.
UPD. Если взять 33 клетки :) то форма распределения совпадает с известной феноменологией очень хорошо.
Роман Уфимцев (28.02.2013 17:48)
10
Кстати, о буквах
Проверил данные из книги Яглом "Вероятность и информация". Там даны частоты букв плюс пробел в русских текстах. Характерная деталь пробел существенно выпадает, т.е. не ложится на прямую(в соответствующих координатах) а существенно выше.
druggist (3.03.2013 16:43)
11
Да, замечал.
Это говорит о том, что слово - основная единица языка, а буквы, слоги и пр. - это только субстанция, глина.
Роман Уфимцев (3.03.2013 18:55)
12
"Без обрезаний при каких угодно общих массах, чистая экспонента с лямбда, равным средней массе. "
Что-то никак не могу уяснить ситуацию с этой моделью. А если у нас начальное распределение с достаточно большими начальными массами m(i, t=0), так, чтo общая начальная масса M(t=0)>>N, то как будет развиваться ситуация? Каждая масса m(i,t) ,будет расти линейно со временем с коэффициентом пропорциональным начальной массе m(i, t=0), так, вроде бы должно быть?
druggist (6.03.2013 22:04)
13
Я имел в ввиду произвольное начальное распределение
druggist (6.03.2013 22:07)
14
Это интересный вопрос
И ответ меня огрочил :) Я полагал, что стохастические вещи при мультипликативном росте не ломают исходного распределения. Но ломают. В пределе получаем экспоненциальное распределение при любом исходном. Энтропия, едят её мухи. Другое дело, что степенные распределения долго сопротивляются, но в пределе результат один. Вообще, тут подробнее о том, что происходит если исходно все клетки одного размера:
http://cognitivist.ru/er/kernel/prologi_76app_zerostart.xml
Вообще это был философски значимый результат. Значит, все-таки энтропия сильнее мультипликативного процесса.
Роман Уфимцев (6.03.2013 22:27)
15
" Чтобы мы могли полностью раскрыть это рекурсивное соотношение, нужно лишь найти частоту появления клеток единичного размера Ф1. Очевидно, что такие клетки возникают повсюду, где прямо соседствуют две перегородки. Вероятность того, что за некоторой перегородкой сразу последует другая равна a. Значит Ф1=a. Раскрываем рекурсию, и получаем уравнение частотного распределения клеток по размеру"
Тут мне опять что-то непонятно. Вероятность, что объект окажется перегородкой равна a=k/(k+M), того, что звездой 1-a=M/(k+M). А вероятность встретить две перегородки подряд вроде бы должна быть пропорциональна квадрату a, т.е., имеем событие: выбор берегородки с вер-тью a и затем выбор следующего объекта в качестве перегородки с вер-тью a. Поскольку события независимые, то вер-ти должны перемножаться
druggist (13.03.2013 8:44)
16
Если мы вычисляем вероятность того, что два произвольно взятых знака будут перегородками, вы правы, нужно брать вероятность перегородки в квадрате. Но если мы считаем количество клеток единичного размера, то одна перегородка - стартовая - у нас есть априори. Поэтому без квадрата.
Роман Уфимцев (13.03.2013 8:48)
17
Это при нахождении распределения по размерам у фиксированной клетки. Но можно подсчитывать это же распределение как долю всех клеток имеющих данный размер, т.е., ko/k, где ko - кол-во еденичных клеток
druggist (13.03.2013 9:05)
18
Может так будет яснее: в каждой клетке не две перегородки, а только одна, стартовая (например). Если мы имеем за спиной стартовую перегородку, мы находимся в связанной с ней клетке. И если сразу после стартовой перегородки встречаем другую, значит клетка единичного размера. Это касается не только выделенной клетки, а всех клеток. То есть, идентификация какой-то клетки как клетки подразумевает ровно одну перегородку априори и она не должна учитываться при вычислении вероятностей. Без перегородки этой стартовой вообще нет клетки как таковой.
Роман Уфимцев (13.03.2013 9:19)
19
На самом деле аккуратный вывод формулы для распределения клетки по размером не сложен и при определенных условиях действительно получается геометрическое распределение:
http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0601/0601192.pdf, стр.17
Но это тоже распределение конкретной клетки по размерам.Мы берем клетку и наблюдаем за ее размерами во времени достаточно долгое время, затем подсчитываем долю полного времени, которое клетка провела в состоянии с размером m. Другой подход, мы имеем мгновенную "фотографию" т.е., мгновенные значения размеров каждой клетки и строим распределение мгновенных количеств k(m). В случае эргодического поведения системы эти подходы должны давать одинаковое распределение. Я думаю, так оно и есть, надо поаккуратнее разобраться с кажущимся противоречием
druggist (13.03.2013 9:53)
20
А противоречие, если почетче в том, что формула геометрического распределения дает для доли пустых клеток(или клеток единичного размера) дает k/(k+N), что конечно же неверно, это доля перегородок...
druggist (13.03.2013 10:10)
21
Спасибо за ссылку
Там меня заинтересовало описание двух вариантов процесса Юла - базового и модифицированного. Судя по всему, первый - это и есть дельтаM(k/M), а второй - дельтаM(1). Если так, то именно Юл нашел процесс, который я называю тиронным, а Ньюман, которому я верил в описании процесса Юла, описал его модифицированную версию.
Хотя эта пара авторов "прославилась" вот этим трудом:
http://arxiv.org/pdf/1201.2458.pdf
Так что надо фильтровать :)
Роман Уфимцев (13.03.2013 10:16)
22
По поводу симоновой модели второй вариант
Доля клеток единичного размера действительно равна a, то есть вероятности появления перегородки, как вы пишете, k/(k+N). Тут вот в чем дело: вероятность появления перегородки это доля перегородок в общем количестве знаков, а частота единичных клеток - это их доля в общем количестве клеток. Но клеток меньше, чем знаков - их ровно a*S, где S - общее количество знаков. Отсюда и кажущееся противоречие.
Роман Уфимцев (13.03.2013 14:56)
23
"Так что надо фильтровать "
У Симкина есть еще занятный сайт, размещенный там тест "Моцарт vs Сальери" выявил полное отсутствие у меня музыкального вкуса :)
"Но клеток меньше, чем знаков - их ровно a*S, где S - общее количество знаков. Отсюда и кажущееся противоречие."
Я уже тоже, кажется понял, действительно, из геом. распр-я имеем вероятность клетке иметь единичный размер (m=0), P(0)=k/(M+k).
Но P(0) также равно k(0)/k, тогда для среднего числа единичных клеток имеем k(0)=k^2/(M+k), тогда как перегородок больше, ровно k штук
druggist (13.03.2013 16:08)
24
Да, это так
"Интересные вы вопросы ставите :)
А ответ простой оказывается - получается экспонента, почему в общем понятно. А её показатель, элементарно, равен - среднему значению массы. Средняя масса при фиксированном количестве клеток растет без предела, значит и показатель экспоненты ведёт себя также."
Да, это так, но довольно удивительным выглядит тот факт, что если еще кроме линейного(с постоянной скоростью) увеличения массы(числа частиц) увеличивать также и число ячеек(количество мест) с постоянной БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ скоростью(при этом средняя плотность постоянна), то экспонента превращается в степенную функцию с показателем степени 2( для плотности распределения).
druggist (1.11.2013 11:00)
25
Вот-вот
Вот эта бесконечно малое, но необходимое приращение ячеек и нсть суть закона Зипфа :)
Роман Уфимцев (1.11.2013 11:34)
26
Вы имели в виду, очевидно,
что это суть закона(роцесса) Юла-Симона. Суть закона Зипфа(применительно к человеческим текстам или поселениям) пока не знает никто:)
druggist (17.11.2013 10:42)
27
Ну, скорее так:
Бесконечно малое но необходимое приращение числа объектов это подсказка о сути закона Зипфа. Впрочем, что считать сутью - это субъективный вопрос.
Для меня эта суть (и применительно к поселениям и текстам в частности) относится к волокнистой структуре системы, которая тут описывалась в связи с моделью тирона. Бесконечно малое но необходимое приращение количества объектов и их организация в родовое дерево, в котором через все уровни идут волокна. Но конечно смысл этой "волокнистости" сам по себе не вполне ясен, хотя я пожалуй, догадываюсь, и описывал идеи на это счет.
Роман Уфимцев (17.11.2013 11:05)
28
Освежил:)
Это я насчет "волокнистости". Конечно,тут есть о чем поспекулировать, например, о смысле коэффициентов "дробления", "этажности" и пр. Странно, что Вы совершенно обходите очевидную связь "соц.географических волокон" с административным делением, откуда совершенно естественным образом вытекает этажность порядка 3 - край(округ), область, район(ср. с дореволюц.(губерния-волость-уезд) и коэф. дробления порядка 20(кол-ва краевых, областных, районных центров). В то же время коэф. дробления 3 совершенно естественен для другой разновидности "волокон", скорее соц.политической, имеются в виду ВС: три отделения -взвод, три взвода -рота, батальон, полк дивизия, армия, округ. Кстати, Симон, известный экономист, судя по его публикациям, достаточно много размышлял о природе закона Ципфа применительно к поселениям, но единственное, к чему он пришел, это некая интуитивная аналогия с перколяцией.
druggist (18.11.2013 11:33)
29
Административное деление
Есть хороший пример закона Зипфа, в котором объяснение носит ясный характер: площади бассейнов рек. Каждая точка земли может входить одновременно в много бассейнов, потому что бассейны вложены друг в друга. И там закон Зипфа появляется естественно как результат каскадного дробления территорий. И этот пример хорошо контрастирует с административным делением: если бы мы нашли закон Зипфа в количестве людей, относящихся к тем или иным административным единицам вне зависимости от их уровня, мы бы нашли закон Зипфа и это было бы понятно почему, также как с бассейнами рек. Но населенные пункты не вложены друг в друга как бассейны, в этом и состоит загадка. Отсюда и идея волокон - что есть люди на разных уровнях чего-то (точно не административного деления страны), которые на самом деле представляют один "объект" - подобно тому как одна и та же точка земли представлена в разных бассейнах рек разного уровня.
Впрочем, наверное волокнистая структура, уровни, этажность и т.д. - это имеет отношение к административной иерархической организации общества, но это отношение не прямое, во всяком случае административное деление и его уровни не объясняют закон Зипфа в населении городов.
Роман Уфимцев (18.11.2013 12:28)
30
Метафора "волокон" это просто отражение того обстоятельства, что для фрактального закона число частиц или общая масса всех объектов уровня на всех уровнях("этажах") должна быть постоянна. Кроме этого необходимо, чтобы средняя масса объекта уровня уменьшалась бы с возрастанием номера уровня экспонентциально, а число объектов уровня возрастало бы также экспонентциально. Для административного деления это худо-бедно выполняется. Сам же уровень это иерархическое понятие, он не имеет никакой привязки к месту. Население района не "вложено" в райцентр как маленькие площади объединяются в большую, но принадлежат соседним "этажам". При этом метафора потоков(энергия-информация, инь-янь и т.п.) остается в силе
druggist (18.11.2013 17:05)
31
==Метафора "волокон" это просто отражение того обстоятельства, что для фрактального закона число частиц или общая масса всех объектов уровня на всех уровнях("этажах") должна быть постоянна.==
Считаю, что волокна - больше чем метафора. Эти волокна хорошо видны в модели тирона, которая показывает как развивается многоуровневая стохастически-фрактальная структура с каскадным дроблением. То, что уровни почему-то должны быть одинаковы по массе - у этого нет более простого объяснения кроме волокон.
==Кроме этого необходимо, чтобы средняя масса объекта уровня уменьшалась бы с возрастанием номера уровня экспонентциально, а число объектов уровня возрастало бы также экспонентциально. ==
Это естественно выполняется в том случае если речь не просто о каком-то каскадном дроблении, а о законе дробления который одинаков на всех уровнях или стохастически одинаков, как в тироне. То есть, структура должна быть особого рода фракталом - когнитивным фракталом, как он называется тут.
==Население района не "вложено" в райцентр как маленькие площади объединяются в большую, но принадлежат соседним "этажам". При этом метафора потоков(энергия-информация, инь-янь и т.п.) остается в силе==
То есть, есть граждане, принадлежащие более высокой административной единице, а есть - более низкой? Ну, это не совсем традиционное понимание административного деления стран, но если понимать их как предлагаете вы, то в общем я бы согласился. Единственное, что меня смущает в прямолинейном отождествлении каскадов дробления с административными уровнями - что уровней по расчетам может быть существенно больше чем разумное число административных уровней. Скажем, 9 - это многовато для административных иерархий. Думаю все-таки что между административными уровнями и каскадами нет однозначной связи. Знаете, что распределение стран по населению тоже неплохо соответствует Зипфу - как быть тут с административными уровнями?
Роман Уфимцев (18.11.2013 17:34)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER