КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
 
Роман Уфимцев
28 февраля 2013 года, Калининград
Завершенный нами в предыдущем Прологе обзор простейших типов дельта-процессов показал, что лишь некоторые из них обладают свойством "наглядности". Лишь 5 из 14 рассмотренных нами дельта-процессов управляются правилами, которые легко истолковать в рамках картины растущего множества объектов, образованных частицами единичной массы. Это процессы:
δA(1): в этом процессе источником роста массы объектов и их количества являются сами объекты. В этих условиях общий прирост массы объектов (а он распределяется между ними равномерно) пропорционален приросту количества объектов.
δA(1/k): в этом процессе источником роста массы объектов являются сами объекты, а генератором новых объектов является только один из объектов множества. В этом случае рост количества объектов k отстаёт от роста их суммарной массы как 1/k.
δM(1) (процесс Юла): в этом процессе источником роста массы объектов и их количества являются частицы, из которых сложены объекты. В этих условиях общий прирост массы объектов (а он распределяется между ними в соответствии с правилом "богатый становится богаче") пропорционален приросту количества объектов.
δM(1/M)(Я-структурный процесс): в этом процессе источником роста массы объектов являются составляющие их частицы, а генератором новых объектов является только один из объектов множества или, что эквивалентно, одна из частиц одного из объектов. В этом случае рост количества объектов k отстаёт от роста их суммарной массы M как 1/M.
δM(k/M)(тиронный процесс): в этом процессе источником роста массы объектов являются составляющие их частицы, а генераторами новых объектов являются сами объекты множества как единицы или, что эквивалентно, по одной частице каждого из объектов. В этом случае рост количества объектов k отстаёт от роста их суммарной массы M как k/M.
В этом Прологе мы будем говорить об альтернативном представлении дельта-процессов, и увидим, что только 2 из 5 наглядных дельта-процессов (и вообще, из 14 простейших) обладают особым свойством, которое мы обозначим как структурно-временная изоморфность.
Дельта-процессы δT(X) и структурно-временной изоморфизм
Мы исследовали дельта-процессы на основе абстрактной модели растущего множества, в котором у нас имеется некоторое увеличивающееся количество объектов, которые растут во времени. Рост объектов в общем случае происходит параллельно, то есть, они не растут один за другим, а все одновременно, хотя и с разными скоростями. Однако, глядя на некоторый результат такого развития - множество объектов различной массы - можно поставить вопрос: а можно ли представить процесс развития не как параллельный, а как последовательный? То есть, вместо одновременного роста всех объектов, мы должны получить поочередный рост объектов до некоторой массы:
При последовательном росте если в ряду появляется новый объект, то росший до этого момента объект прекращает свой рост. Ясно, что если исчислять время событийно, ряд последовательно растущих объектов можно представить как ряд последовательных промежутков времени - чем длиннее промежуток, тем дольше рос соответствующий объект и тем больше окончательную массу он приобрёл:
Тут все объекты, кроме шестого, достигли предельной массы, а шестой продолжает расти вместе с ходом времени.
Чтобы ясно различать параллельность или последовательность роста объектов, удобно говорить о том, что в первом случае развивается структура, а во-втором - временная серия. В нашем исследовании дельта-процессов мы описывали их как процессы параллельного роста структур. Но потенциально мы можем взглянуть на каждый из процессов как на развитие временных серий, состоящих из промежутков различной длительности.
Чтобы перейти к временному представлению дельта-процессов, воспользуемся подходом, который мы применили и для структурного их представления. Установим, что вероятность pi - это вероятность того, что объект i - у нас это период с номером i как очередной член временной серии - это вероятность, что в следующий шаг времени этот объект прирастёт на единицу, то есть, активный период станет длинее на единицу. Вероятность pδ - это вероятность, что родится новый объект, то есть, период i прекратится, и начнётся следующий период, i+1. Запишем:
Тут X - управляющий фактор дельта-процесса, играющий такую же роль, что и в структурном представлении, хотя дельта-процессы, разворачивающиеся во временные серии имеют тут свою специфику.
Будем обозначать такие дельта-процессы как δТ(X). Рассмотрим сначала простейший случай, когда X=1, то есть, управляющим фактором является постоянная величина. К какому распределению длин периодов во временной серии будет это приводить? Для процесса δТ(1) управляющие вероятности:
То есть, вероятность продолжения (и завершения) любого периода в серии pδ в каждый момент времени является постоянной величиной.
Заметим, что вероятность продолжения активного периода pi соответствует суммарной вероятности прироста уже существующих объектов в процессах δA(1) или δМ(1). Или, потому что если речь идёт не о вероятностях прироста отдельных объектов, а о вероятности прироста всего набора уже имеющихся объектов, разницы между дельта-аддитивными и дельта-мультипликативными процессами нет. Убедимся в этом: суммарная вероятность прироста объектов в процессе δA(1):
В процессе δМ(1):
Не приводя здесь элементарную логику, мы придём к выводу, что в этих условиях развивается временная серия, периоды в которой подчиняются геометрическому (экспоненциальному) распределению:
Если как m обозначать длительность периода, что несколько необычно. Таким образом, с точки зрения результатов процесс δТ(1) приводит в точности к тем же результатам, что и процесс δA(1). Этот факт мы обозначим как структурно-временной изоморфизм процесса δA(1): кроме традиционного структурного представления он может быть представлен и как процесс δТ(1), генерирующий временную серию. Обратим внимание, что речь именно о процессе δA(1), поскольку процесс δМ(1) приводит к совершенно другим результирующим распределениям: изоморфизма между процессами δТ(1) и δМ(1) нет.
В этой связи возникает вопрос о том, какие из δA(X) и δM(X) дельта-процессов обладают этим свойством и имеют полные аналоги среди δT(X) дельта-процессов. Выясняя это, следует обратить внимание на то, что вероятность прироста периода в процессе δT(X) равна суммарной вероятности прироста всех объектов множества в процессах δA(X) и δM(X). Это значит, что растущий период выступает в роли всего растущего множества суммарно. "Масса" периода (то есть, его длительность) mi во временном дельта-процессе соответствует величине M в структурных дельта-процессах. Количество же объектов всегда равно 1 - поскольку мы говорим об одном единственном растущем периоде. Проще говоря, управляющие вероятности в процессах δT(X) совпадают с управляющими вероятностями процессов δA(X) и δM(X) пока в последних множество состоит только из одного объекта, то есть, mi = M и k = 1.
Это обстоятельство снижает количество возможных простейших дельта-процессов. Например, процесс δT(1/k) оказывается тождественным процессу δT(1), поскольку k=1. В результате мы получаем всего три возможных простейших дельта-процесса δT(X):
δT(1) - вероятность прекращения периода и начала другого остаётся постоянной. Его мы только что разобрали и нашли, что он изоморфен процессу δA(1).
δТ(1/M) - вероятность прекращения периода и начала другого снижается вместе с длительностью текущего периода. Тут M равна текущей длительности растущего периода mi.
δТ(M) - вероятность прекращения периода и начала другого растёт вместе с длительностью текущего периода.
Анализ результатов этих процессов гораздо проще, чем процессов δA(X) и δM(X), и мы не будем прятать выкладки в отдельное приложение.
Начнём с процесса δТ(M)
В этом процессе вероятность того, что период, достигший длительности m достигнет и длительности m+1 равна
Отследим рост периода с самого начала. Из всех N периодов, только начавших рост, до длительности 2 доберется только
До длительности 3 только
Значит, среди N периодов окончательную длительность 2 будут иметь
Отслеживая процесс точно также дальше, вообще установим, что доля периодов, которые достигнут предельной длительности m равна:
Отсюда получаем уравнение частотного распределения для результатов процесса δТ(M):
В родовом случае процесса, при δ=1, распределение приобретает простую форму:
То есть, при δ=1 функция распределения очень быстро спадает, как 1/m!
Для процесса δТ(1/M) вероятность того, что период, достигший длительности m достигнет и длительности m+1 равна
Отсюда, двигаясь по той же самой логике, получим уравнение частотного распределения результатов процесса δТ(1/M):
Это распределение Юла, которое при больших значениях m приближается степенным распределением:
В родовом случае, при δ=1, получаем степенное распределение, отвечающее закону Зипфа:
Результаты процесса δТ(M) не похожи на результаты ни одного из исследованных нами дельта-процессов типа δA(X) и δM(X). Иное дело - результаты процесса δТ(1/M) - они полностью совпадают с результатами дельта-мультипликативного процесса δM(k/M). Мы видим то же самое распределение Юла, которое в родовом случае отвечает закону Зипфа. Таким образом, процесс δM(k/M) обладает структурно-временной изоморфностью - его временным представлением является процесс δТ(1/M).
Таким образом, среди всех простейших дельта-процессов лишь два обладают свойством полного структурно-временного изоморфизма:
Пуассоновские процессы и тау-процессы
Предположим, что дельта-процессы, обладающие структурно-временным изоморфизмом, имеют особое значение в натуральных феноменах. В этом случае два сорта временных рядов, порождаемых этими процессами должны иметь широкое распространение. Посмотрим, насколько это соответствует действительности.
Дельта-процесс δТ(1) порождает временные ряды, состоящие из геометрически (экспоненциально) распределённых периодов. Этот тип временных рядов очень известен и прямо связан с так называемыми пуассоновскими процессами.
Рассмотрим период времени, в каждый момент которого с некоторой постоянной вероятностью p может случиться контрольное событие. Тогда, если мы возьмём период времени T, количество контрольных событий n, произошедших за этот период (во многих испытаниях), будет распределяться в соответствии с биномиальным распределением:
Если вероятность появления контрольного события не велика, это распределение приближается к распределению Пуассона:
Это распределение также именуют законом редких событий, а процессы, в которых редкие события происходят в случайные моменты времени (в каждый момент времени могут произойти с одинаковой малой вероятностью) - пуассоновскими процессами.
Разумеется, биномальные и пуассоновские процессы являются универсально распространенными, ведь они возникают всюду, где с некоторой постоянной вероятностью происходят какие-то контрольные события. Например, поместив счётчик Гейгера рядом с радиоактивным материалом, мы обычно увидим распределение Пуассона в количестве срабатываний счётчика за единицу времени.
Но эти же процессы можно описать и с точки зрения распределения интервалов времени между контрольными событиями. В этом случае мы увидим геометрические (экспоненциальные) распределения - точно такие, какие производит процесс δТ(1). Таким образом, процесс δТ(1) - это обычный пуассоновский процесс. Наверное, простейшая иллюстрация пуассоновского процесса - срез белого шума, о чём мы уже однажды говорили:
Периоды между моментами превышения графиком белого шума какой-то планки подчиняются экспоненциальному распределению, и если планка находится достаточно далеко от среднего значения шума, превышения планки оказываются редкими событиями, и описываются распределением Пуассона.
В действительности, контрольные события могут дробить не только время. Мы можем дробить и любой континуум. Например, если на любом участке дороги с одинаковой вероятностью может появиться выбоина, то расстояния между соседними выбоинами будут распределены экспоненциально. То есть, процесс δТ(1) и изоморфный ему процесс δA(1) описывают случайное дробление любого континуума - в своё время мы именовали такое дробление плоским и называли характерным признаком действия физического порядка в явлениях. Теперь мы снова вернулись к этой теме, хотя и на новом уровне анализа и понимания.
Физическому порядку и характерному для него плоскому дроблению континуумов мы противопоставили когнитивный порядок, для которого типично каскадное дробление континуумов. При каскадном дроблении развиваются распределения, отвечающие закону Зипфа - вспомним, что это была наша первая модель получения статистики Зипфа. И весьма показательно, что второй из обнаруженных нами процессов, обладающих свойством структурно-временного изоморфизма, как раз и порождает временные ряды, в родовом случае отвечающие закону Зипфа - это процесс δТ(1/M).
Мы уже знакомились с ним под именем тау-модели, которая предваряла наше знакомство с моделью тирона. Тау-модель - это механизм, в простейшем своём варианте реализующий процесс типа δТ(1/M), и по этой причине мы будем его отныне именовать тау-процессом.
Тау-процесс в своём родовом случае способен генерировать розовый шум. Это лучшая и простейшая модель генерации шума со спектром f-1. И этот шум чрезвычайно распространён в самых разных натуральных феноменах, хотя до сих пор не имел универсального объяснения. Однако, если тау-процессы имеют фундаментальное значение (о чём косвенно свидетельствует структурно-временной изоморфизм процесса δТ(1/M)), распространённость и универсальность розового шума уже не кажется загадочной.
Противопоставляя тау-процесс пуассоновскому, возникает мысль найти формулу распределение количества контрольных событий - смены периодов - которые происходят в тау-процессе за некоторый промежуток времени - то есть, найти распределение, играющее такую же роль для тау-процессов, что и распределение Пуассона (или биномиальное) для пуассоновских процессов.
Эта задача ещё ждёт своего надёжного решения, но наблюдения говорят о том, что это распределение имеет характерную форму скошенного вправо колокола. Ближайшее приближение из известных - распределение экстремальных значений. Например, на этой диаграмме приведены данные опытов с родовым тау-процессом длительностью 10000 шагов времени и приближение функцией распределения экстремальных значений:
Распределение экстремальных значений описывает распределение экстремальных (максимальных или минимальных) значений в некотором наборе случайно распределенных величин, если область экстремальных значений этой величины в распределении имеет экспоненциально спадающий хвост:
Например, если мы возьмем множество наборов из 1000 нормально распределенных случайных чисел (нормальное распределение имеет экспоненциально спадающие хвосты), то минимальное значение в каждом наборе будет распределяться именно таким образом:
То есть, количество периодов тау-процесса, которые возникают в течение определенного промежутка времени, выступает в роли минимального значения в каком-то наборе случайных величин, распределение которых похоже на нормальное. Что бы это значило?
Сложность решения этой задачи можно проиллюстрировать оценкой всего лишь среднего количества периодов тау-процесса, которое развивается за некоторый промежуток наблюдений. Мы знаем, что процесс δТ(1/M) полностью изоморфен процессу δM(k/M), и это значит, что ожидаемое количество периодов тау-процесса, которое разовьется за некоторый период наблюдений определяется уравнением, которое в процессе δM(k/M) связывает общую массу множества M и количество объектов в нём k:
При δ=1 оно превращается в
Например, при M=10000 и δ=1 мы получаем среднее количество периодов k≈1230, что хорошо согласуется с приведёнными выше данными вычислительного опыта. Однако, это выражение не имеет общей обратной формы k(M) - только для некоторых значений δ, так что в общем случае даже среднее количество периодов тау-процесса в заданном промежутке времени можно установить только численно, не говоря уже о форме распределения.
Итак, круг замкнулся: описывая уникальные свойства когнитивного порядка, мы начинали с тау-модели, порождающей серии во времени, которые обладают степенными характеристиками. От неё мы совершили переход к модели тирона, генерирующей фрактальные структуры. Далее, мы увидели процесс развития тирона в ряду других структурных дельта-процессов. Наконец, теперь мы совершили обратный переход: от структурных дельта-процессов к временным дельта-процессам, и увидели, что тау-процесс - один из всего лишь двух простых дельта-процессов, обладающих структурно-временным изоморфизмом. Физический порядок, пуассоновские процессы и экспоненциально распределенные структуры - с одной стороны. Когнитивный порядок, тау-процессы и тиронные структуры - с другой.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER