КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
Приложение: случайное блуждание
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
Приложение: случайное блуждание
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Приложение: случайное блуждание
 
Роман Уфимцев
20 марта 2013 года, Калининград
В этом приложении к Прологу 84 приведены выводы, касающиеся некоторых свойств случайного блуждания, обсуждающихся в основном тексте.
1. Распределение длительностей периодов при большом σ
Получим уравнение распределения длительностей пребывания случайного блуждания в некотором знаковом диапазоне, если средний сдвиг частицы за один шаг времени (и дисперсия σ) сравним с шириной диапазона h. В этом случае центральный пункт: равновероятность нахождения частицы в любой из точек знакового диапазона. Приняв h=1 и предприняв очевидные вычисления, получим вероятность выпадения частицы из знакового диапазона в каждый шаг времени:
где erf(x) - так называемая функция ошибок. При величинах σ от 1 и более (то есть, дисперсия сравнима с шириной диапазона h) выполняется простое приближение:
Оно тем лучше выполняется, чем больше σ:
Таким образом, вероятность, что частица в следующий момент времени покинет знаковый диапазон постоянна и зависит только от дисперсии σ. Сопоставляя с вероятностями, управляющими процессом δТ(1), получим:
Значит, уравнение частотного распределения периодов по длительностям, по аналогии с процессом δТ(1), имеет геометрическую (экспоненциальную) форму:
Сопоставление теоретической формы частотного распределения и опытных результатов при σ=1 и h=1 (то есть, на пределе возможностей использованного приближения):
Кстати, используя полученную связь между σ и δ, можем записать нормальное распределение сдвигов блуждающей частицы в интересной своей лаконичностью форме:
где pi - вероятность прироста активного периода в процессе δТ(1).
2. Распределение времён возвращения случайного блуждания
Для вывода уравнения этого распределения мы воспользуемся упрощённым представлением процесса случайного блуждания, которое качественно не меняет картины и не повлияет на основные выводы. Предположим, что в каждый шаг времени случайно блуждающая частица может сдвигаться только по одному из двух альтернативных направлений на единичное расстояние:
Альтернативные траектории равновероятны, и вероятность прохождения частицы по каждой из них равна 1/2. Посмотрим на дальнейшее развитие альтернативных траекторий:
В момент времени t=2 частица может находиться в трёх альтернативных точках, причём точка с координатой y=0 оказывается самой вероятной, поскольку к ней ведёт не одна, а две альтернативных траектории, по каждой из которых частица пройдёт с вероятностью 1/4. Значит, вероятность того, что в момент времени t=2 частица окажется в этой точке равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
Далее, в момент времени t=3 частица может находиться в четырёх альтернативных точках. Точки y=1 и y=-1 оказываются более вероятными, потому что к ним ведёт по три траектории, каждую из которых частица может пройти с вероятностью 1/8. Значит, вероятность для частицы оказаться в точках y=1 и y=-1 равна 3*1/8 = 3/8. Точно также мы можем прослеживать блуждание и дальше.
Заметим ещё значение красных чисел рядом с каждым из возможных положений частицы - они означают количество альтернативных траекторий, сходящихся в этой точке, а потому эти числа определяют вероятность появления частицы в этой точке. Например, в момент времени t=5 к точке с координатой y=1 сходится 10 альтернативных траекторий, каждая из которых может быть пройдена частицей с вероятностью 1/32. Значит, вероятность оказаться в этой точке равна 10/32.
Посмотрим теперь, как изменится картина, если мы наложим условие: частица не должна оказываться в точках с отрицательными координатами (то есть, не должна пресекать стартовую точку). Она может оказываться в нулевой точке, но не может уходить дальше в отрицательные координаты. Это условие запрещает некоторые из возможных траекторий (они выделены красным цветом):
Зеленые цифры имеют тот же смысл, что и раньше: они означают количество траекторий, сходящихся к данной точке, но теперь лишь тех из них, которые не проходили через точки с отрицательными координатами. Сравнив красные и зелёные цифры для каждой точки, мы заметим нечто интересное:
Заметим, например: количество разрешённых траекторий, сходящихся в точке A (5) равно разности между общим количеством траекторий, сходящихся в этой точке (10) и общим количеством траекторий с соседней точке B (5): 5=10-5. И точно такие же соотношения действуют для любой другой пары соседних точек в любой момент времени (заметим, что между такими соседними точками расстояние равно 2, а не 1).
Но что значит, если какая-то величина X1 равна разности значений другой величины X2 в соседних точках? Это значит, что величина X1 равна дифференциалу (в непрерывном случае - производной) величины X2. В нашем случае это означает, что частота появления в некоторой точке блуждающих частиц, которые не пересекали нулевую планку, равна минус дифференциалу частоты появления любых частиц в этой точке (минус, потому что дифференциал вычисляется как разность между значением функции в более удаленной от начала координат точке и значением в более близкой точке. У нас же вычитается наоборот, из значения функции в более близкой точке значение в более далёкой).
Это интересный и красивый в математическом смысле факт. Установив его, нам остается всего два шага до завершения доказательства.
Во-первых, установим общую форму распределения координат блуждающей частицы после M шагов времени. Для этого сначала выясним, как будет распределяться количество положительных сдвигов частицы - ясно, что их в среднем окажется M/2, поскольку вероятность положительного сдвига равна 1/2, а всего сдвигов M. Точная форма распределения является биномиальной - это распределение описывает вероятность, что в серии из M испытаний случится x успехов, где p - вероятность успеха:
Вероятность успеха p - это вероятность положительного сдвига, у нас она равна 1/2, то есть,
Каждый раз, когда успех не случается, и частица не сдвигается в положительную сторону, она сдвигается в отрицательную. При этом, если случилось M успехов, частица окажется в точке с координатами y=M, если их случилось 0 - в точке с координатой y=-M, а если успехов ровно столько же, сколько неудач, M/2, она окажется в точке нулевой координатой, y=0. Отсюда мы приходим уравнению распределения координат:
Следует заметить, что в нашей упрощённой модели броуновского блуждания в чётные моменты времени частица может иметь только чётные координаты, и наоборот.
При большом числе испытаний M биномиальное распределение приближается к нормальному. Используя это обстоятельство, не трудно получить приближенную форму распределения координат частиц:
Это приближение определено только для целых значений y. Кроме того, тут, также как и в точном выражении, при чётных моментах времени M координаты частицы могут быть только чётными, а в нечётные моменты M - нечётными. Переходя к непрерывной форме распределения, определенного для всех значений y, получаем уравнение нормального распределения с σ2 = M:
Заметим, что дисперсия σ, которая, как мы говорили, определяет ширину колокола нормального распределения, увеличивается пропорционально квадратному корню от времени M. Можно говорить, что среднее расстояние частиц от стартовой точки случайного блуждания растёт как t1/2. Интересно, что это верно не только для блуждания абстрактной частицы, но и для реальных броуновски блуждающих молекул в жидкостях - этот факт был установлен Эйнштейном.
Теперь найдём распределение координат частиц, которые за время M не пересекали нулевую планку. Как мы знаем, для этого нужно найти минус дифференциал уравнения общего распределения координат блуждающих частиц - разность значения этого уравнения в двух соседних точках, обозначим их как y и y+2 (в упрощённой модели расстояние между двумя соседними возможными положениями частицы равно 2). Эта величина, как мы выяснили, определяет вероятность обнаружить частицу, не пересекавшую нулевую планку, в точке y:
Получаем в полном виде:
Сравним полученные нами теоретические уравнения распределения координат всех частиц и только тех, которые не пересекали нулевую планку с результатами числового опыта (10000 запусков частиц, M=100):
Наконец, последний шаг доказательства: если в некоторый момент времени M-1 частица оказывается в точке y=0, то в следующий момент времени она с вероятностью 1/2 пересечёт нулевую планку. Значит, чтобы установить ожидаемое количество частиц, которые пересекут планку в момент времени M нам нужно найти величину минус дифференциала –D(y) в точке y=0 в момент времени M-1. –D(y) в точке y=0:
Отсюда, если мы запустили в нулевой момент времени N частиц, то в момент времени M пересекут нулевую планку:
В нашей упрощенной модели это выражение справедливо только в нечётные моменты времени M=1,3,5,7... В чётные моменты частицы не могут пересекать планку.
Значит, доля периодов надёжного возвращения частиц в точку старта, а значит, и уравнение частотного распределения периодов возвращения:
Используя знакомое нам свойство гамма-функции, получим степенное приближение, которое выполняется для достаточно больших периодов M:
Мы придём к сходному результату, опираясь на приближение биномиального распределения нормальным распределением, определённым для всех значений y, которое мы получили выше:
Минус дифференциал в этом случае равен минус производной этого выражения:
Тут мы не можем взять дифференциал в точке y=0, поскольку получим 0. Но если взять, например, y=2 (вспомним, что соседние альтернативные точки разделены расстоянием 2), то при больших M получим приближение:
которое точно совпадает с приближением, полученным для исходной биномиальной формы распределения координат частиц.
Мы доказали, что распределение периодов возвращения случайного блуждания к точке старта близко к степенному распределению с показателем -3/2.
Сравним полученные уравнения с результатами числового опыта (10000 запусков частиц, M=100):
Как видим, точное выражение точно совпадает с результатами числового опыта. Но оно до множителя совпадает с частотным продуктом процесса δТ(1/M) при параметре δ=1/2. Это распределение Юла:
То есть, периоды возвращения случайного блуждания распределяются не в соответствии со степенной функцией, но в соответствии с распределением, по форме близким распределению Юла.
Но сохранятся ли эти результаты, если мы перейдем от упрощенной модели случайного блуждания к более реалистичной, в которой частица в каждый шаг времени может не только сместиться на величину +1 или -1, но на любое нормально распределённое расстояние? Ответ утвердительный. Вообще, с помощью упрощенной модели случайного блуждания можно имитировать результаты реалистичной модели с какой угодно точностью. Пусть, например, сдвиг частицы за один шаг времени s распределяется нормально, в соответствии со стандартным нормальным распределением (μ=1, σ=1):
Сравним, как будут распределяться координаты частиц после одинакового количества шагов времени в этом случае и в исследованной нами упрощённой модели (M=100):
Аналогично совпадают и распределения координат частиц, не пересекавших нулевую планку, и окончательная форма частотного распределения периодов возвращения, лишь с одной поправкой: поскольку в реалистичной модели частицы могут пересекать планку не только в нечётные момент времени, а в каждый момент, периоды возвращения сокращаются. Это можно формализовать как перемасштабирование времени: M' = 2M - 1, где M - "разбавленное" время в упрощённой модели, а M' - ускоренное в реалистичной. Подставляя в точное уравнение частотного распределения получим:
Последнее выражение - точная форма частотного распределения времён возвращения случайного блуждания при нормальном распределении сдвигов частицы. Как видим, его форма не зависит от дисперсии единичных сдвигов σ (что в общем резонно).
Соответствующее степенное приближение:
Заметим, что в уже упоминавшемся нами расхожем доказательстве степенного распределения времён возвращения случайного блуждания (см., например, статью Марк Ньюмана, известного исследователя степенных феноменов), доказывается лишь, что
То есть, мы получили гораздо более точные и конкретные результаты.
3. Распределение времён пребывания в знаковом диапазоне
После попадания блуждающей частицы в новый знаковый диапазон, первое время мы имеем ситуацию, сходную с задачей о временах возвращения. В частности, распределение координат блуждающих частиц (не пересекавших стартовую точку) имеет вид, такой же, как в задаче о временах возвращения:
До тех пор, пока ситуация такова, времена пребывания частицы в знаковом диапазоне распределяются также, как времена возвращения случайного блуждания, то есть, близко к степенному распределению с показателем -3/2. Однако, по мере дрейфа частиц картина меняется, так что в пределе распределение положения частиц внутри знакового диапазона становится симметричным:
Найдём форму этого распределения, исходя из предположения о его предельной стационарности.
Рассмотрим распределение на одном из краёв диапазона. Будем исходить из дискретного приближения, то есть, полагать, что частицы могут иметь координаты 0, 1, 2... считая от края диапазона. Обозначим вероятность нахождения частицы в точке 0 как Ф0, в точке 1 - как Ф1, и т.д.:
Положим также, что в каждый шаг времени частица может переместиться на расстояние -1 или +1 с вероятностью 1/2.
Пусть в некоторый момент t у нас имеется всего k частиц, которые ещё остаются внутри знакового диапазона. Тогда в следующий момент времени k(t)*Ф0(t)/2 покинет диапазон, поскольку частицы в точке 0 с вероятностью 1/2 покидают диапазон. Значит, мы можем записать:
Далее, ровно половина частиц находящихся в точке 1 в момент времени t в следующий момент времени окажется в точке 0, то есть,
Отсюда, исходя из стационарности величин Ф0, Ф1... (то есть, их неизменности с течением времени), получаем
Точно также анализируя отношения между вероятностями положения частиц в других координатах, установим, что
Раскрывая рекурсию, находим
Анализ коэффициентов при различных степенях Ф0 приводит к выводу, что коэффициенты при первой степени равны для Фn
При второй степени
При третьей степени
Продолжая также дальше, индуктивно установим, что вообще
По форме эта сумма подобна сумме разложения в ряд синуса:
Используя это обстоятельство, можно записать:
Таким образом, распределение координат блуждающих в знаковом диапазоне частиц совпадает по форме с одним полупериодом синуса, периодической функции. Величину Ф0 можно найти из соображения, что максимум синуса должен достигаться посредине знакового диапазона, в точке h/2:
Теперь установим, как с течением времени изменяется количество частиц, покидающих знаковый диапазон. Пусть в момент времени t в знаковом диапазоне остаётся k частиц. Тогда к моменту времени t+1 диапазон покинет k*Ф0/2 частиц. Значит, их останется k - k*Ф0/2. Тогда, к моменту времени t+2 диапазон покинет ещё (k - k*Ф0/2)Ф0/2 частиц, и т.д. То есть, вообще, с каждым шагов времени знаковый диапазон покидает в
раз меньше, чем в предыдущий. Это означает экспоненциальную динамику снижения количества остающихся в знаковом диапазоне частиц, и приводит к геометрическому уравнению частотного распределения длительностей периодов пребывания в знаковом периоде:
При достаточно больших h оно имеет экспоненциальное приближение:
Или, если σ не равна 1:
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER