КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
 
Роман Уфимцев
25 марта 2013 года, Калининград
Мы продолжаем разговор о знаках состояний - числах (а любые знаки можно представить как числа, просто пронумеровав их), которыми идентифицируются различимые состояния феноменов и явлений. Мы противопоставляем два полярных типа знаков: мерные и именные. Не повторяя то, что уже было сказано о них, этот Пролог мы начнём с ещё одного полезного и содержательного представления двух типов знаков, на котором удобно показывать различия между ними.
Графы состояний
Пусть мы имеем некий феномен, который может находиться в одном из k различимых состояний. Обычно переходы из одного состояния феноменов в другие систематичны. Например, из возможного состояния i феномен может перейти только в некоторый набор других возможных состояний, а не в любое другое из всех возможных. Это обстоятельство удобно изобразить графом: узлы графа представляют возможные состояния феномена - их k, а связи между узлами графа означают траектории возможных изменений состояния феномена. (Для простоты мы будем использовать только двунаправленные связи между узлами, хотя реальные феномены часто имеют пары состояний, между которыми связь направленная, то есть, феномен может прямо перейти из состояния А в состояние B, но не может прямо перейти обратно, из B в A.)
Рассмотрим простейшую модель натурального феномена: блуждающую в одномерном дискретном пространстве частицу. Множество её состояний образовано положениями частицы в различных дискретных точках координат. Если положить для простоты, что за один шаг времени частица может сдвигаться только на единичный координатный шаг, граф состояний этого феномена имеет нитевидную форму:
Такая нить состояний изоморфна натуральному ряду чисел, и естественно для идентификации альтернативных состояний этого феномена упорядоченно пронумеровать узлы графа. Теперь, если мы запишем историю поведения феномена в виде ряда чисел-идентификаторов, мы увидим картину, типичную для графиков случайного блуждания:
Сама же история феномена предстанет перед нами как мерный ряд. "Мерность" тут означает, что граф состояний феномена изоморфен дискретному пространству, то есть, граф является пространством состояний, а изменения состояний феномена изоморфны движению по этому пространству.
Теперь представим, что феномен может перейти из любого одного состояния в любое другое. Эта ситуация соответствует предельно насыщенному связями графу (получить его можно до предела насыщая исходный нитевидный граф):
Ясно, что в этом случае история состояний феномена будет представлять собой чистый белый шум, совершенно хаотическую последовательность из k натуральных чисел (разумеется, если считать переходы по любой из связей графа равновероятными). Например, приведённому графу состояний соответствуют состояния игральной кости.
История состояний таких феноменов представляет собой именной ряд - отдельные знаки этого ряда не образуют пространственный континуум, а сам граф состояний не изоморфен пространству (пространство, в котором из одной точки можно мгновенно попасть в любую другую пространством уже не является).
О предельно насыщенном графе можно говорить и иначе: он является простейшим (k-1)-мерным пространством, где k - количество узлов графа. Для прояснения этой мысли сначала рассмотрим предельно насыщенный граф, состоящий всего из двух узлов:
Он, очевидно, не отличается от нитевидного графа, состоящего из тех же двух узлов. То есть, для феномена, имеющего всего два альтернативных состояния (как подбрасываемая монета), ряд состояний одновременно является и мерным и именным.
Рассмотрим теперь предельно насыщенный граф, состоящий из трёх узлов:
Если узлы пронумерованы просто, одномерно, в ряду состояний появятся не-гладкие скачки в момент переходов от 1 к 3 и обратно - а это признак именной природы ряда. Однако, если мы пронумеруем узлы не одним числом, а парой чисел, мы получим ряд состояний, в котором соседние знаки меняются только плавно - это признак мерного ряда. То есть, граф состояний феномена представляется двухмерным пространством, положения в котором характеризуются не одним числом-знаком, а парами чисел-знаков. Заметим, что получается: предельно насыщенный граф с k=3 аналогичен простейшему двухмерному пространственному графу. Индуктивно продолжая, легко понять, что предельно насыщенный граф, имеющий k узлов подобен простейшему (k-1)-мерному пространственному графу.
К слову, говоря о пространственных графах размерности более 1, полезно рассмотреть кольцевой граф состояний, который типичен для феноменов, имеющих периодическое поведение:
Хотя кольцевой граф похож на простой нитевидный, существование связи между крайними точками континуума состояний (1-6) нарушает плавность изменения знаков состояний. Но всё встаёт на свои места и ряд состояний становится мерным, если знаками состояний являются не одиночные числа, а пары - справа приведён лишь один из примеров возможных знаков. Таким образом, периодическое поведение феноменов требует минимум двухмерного пространства (графа) состояний.
Смешанные ряды и сети малого мира
Между нитевидным графом, представляющим "мерный полюс" и предельно насыщенным графом, соответствующим "именному полюсу", имеются очевидные промежуточные возможности. Пусть изначально мы имеем нитевидный граф состояний. История феномена, обладающего таким графом состояний, представляет собой чистый мерный ряд.
Но случайно выберем в нём одну из связей и случайно же переподключим её к любой другой паре узлов:
Такая операция дробит прежде непрерывный континуум состояний на две области, при переходе из одной в другую случайно блуждающий знак состояния совершает резкий скачок, типичный для белого шума:
Таким образом, ряд состояний приобретает смешанные черты - он уже не является чисто мерным, у него появляются именные признаки. Повторяя операцию случайного переподключения связей, можно постепенно увеличивать долю "белошумных" скачков, тем самым усиливая именную составляющую ряда (блуждание по графу состояний из 300 узлов, 100 случайных переподключений):
То, получается в результате - и смешанные графы состояний и соответствующие ряды - примечательны. Они оказываются хорошей моделью строения и поведения многих сложных феноменов, например мышления человека или социальной структуры общества.
Если говорить о мышлении человека как последовательности фокусов внимания, отчётливо выделяется два типа сдвигов, переключений внимания. Первый тип - сдвиг по смежности, или метонимический сдвиг. Во время этого сдвига внимание перемещается в рамках некоторой концептуальной или воспринимаемой человеком структуры, следуя по имеющимся в рамках этой структуры связям. Например, после фокуса внимания на лице человека наше внимание часто сдвигается на его глаза. Или символ "А" имеет сильную концептуальную связь с символом "Б", так что думая об "А" мы с большой вероятностью после этого думаем о "Б".
Второй тип сдвигов внимания - сдвиги по сходству или метафорические сдвиги, когда внимание переключается из одной концептуальной структуры в другую, основываясь на некотором сходстве. Например, если мы рассматриваем архитектурный ансамбль и наше внимание сфокусировалось на окне одного из зданий, с большой вероятностью следующим фокусом внимания будет другое окно, при этом не имеет значения - на том же самом здании или на другом. В отличие от сдвигов первого типа, при метафорических сдвигах внимание сохраняет свою настройку, а меняет лишь местоположение фокуса.
В процессе обычного мышления два типа сдвигов внимания постоянно чередуются, хотя метафорические сдвиги у среднего человека случаются несколько реже. Подробнее о динамике внимания и двух типах сдвигов можно прочитать в книге Хвост ящерки, опубликованной на этом сайте.
Метонимические сдвиги внимания перекликаются с периодами, в течение которых феномен блуждает по континуальным, непрерывным частям графа состояний. В такие периоды состояния образуют мерный ряд. Метафорические сдвиги соответствуют моментам, когда в ряду состояний появляются именные знаки, феномен перескакивает в другую континуальную часть графа состояний:
Возможно - а тут ещё требуются исследования - модель смешанного графа позволяет не только качественно, но и количественно описать динамику зрительного внимания - распределение длительностей фиксаций взгляда, чередующихся с саккадами (быстрыми перемещениями точки взгляда). Мы уже говорили о некоторых характеристиках динамики зрительного восприятия, но в данном случае интересно, что длительности фиксаций взгляда имеют распределение, близкое к логнормальному. Похожие распределения можно получить для длительностей мерных серий (то есть, периодов блуждания по континуальным областям) при случайном блуждании по смешанному графу.
Графы, которые получаются в результате появления "коротких замыканий" в исходном нитевидном графе относятся к широко ныне известному и активно исследуемому типу сетей малого мира (small-world networks). Вкратце познакомимся с тем, что это такое.
Возьмём кольцевой граф, в котором каждый узел соединен с несколькими соседними, например, четырьмя:
Будем теперь случайно переподключать некоторые связи в графе, и получим нечто вроде
Такие графы с "короткими замыканиями" и называются сетями малого мира (конкретно, граф, построенный именно таким образом именуется моделью Уоттса-Строгача). Название отражает то обстоятельство, что в отличие от исходного кольцевого графа количество связей, которые необходимо пройти, чтобы добраться от некоторого узла до некоторого другого радикально сокращается. Если в исходном графе для этого в среднем нужно пройти порядка k связей (k - количество узлов в графе), то в графе с короткими замыканиями нужно пройти лишь порядка ln(k) связей. Знаменитое "правило шести рукопожатий", в соответствии с которым любые два человека на земле могут быть связаны друг с другом через совсем небольшое число лично знакомых посредников имеет к этому непосредственное отношение. Считается, что сети малого мира хорошо отражают структуру многих явлений социальной и биологической реальности. Социальные связи, транспортные системы, пищевые цепи и многие другие сети имеют признаки сетей малого мира.
Ясно, что смешанные графы состояний по методу своего получения совершенно аналогичны сетям малого мира, получаемым по методу Уоттса-Строгача, хотя имеется пара несущественных отличий. Во-первых, исходный граф у нас не кольцевой, а нитевидный. Во-вторых, в модели Уоттса-Строгача в исходной сети каждый узел соединён не с двумя, а с большим числом соседних узлов. В терминах рядов состояний, это соответствует мерным рядам, в которых знак состояния может меняться не только на непосредственно соседний, но и через одного, например, 1,3,5 и т.д. Естественно, это не меняет существенных свойств блуждания по такому графу, оно остаётся мерным.
У сетей малого мира имеется интересное и важное свойство, упоминаний о котором автору не доводилось встречать в связи с этими сетями. Возможно, потому, что для обнаружения этого свойства на них нужно смотреть с особого ракурса - так как это делаем мы.
Возьмём исходный нитевидный граф (или достаточно большой кольцевой) и пронумеруем его узлы по порядку - то есть, расставим мерные знаки. Блуждание по этому графу порождает коричневый шум. Коричневый шум - это сигнал, частотный спектр мощности которого укладывается на степенную функцию с показателем -2. Например, спектр блуждания по графу из 200 узлов (сглаживание по 100 запускам):
Теперь многократно случайно переподключим связи - и будем делать это достаточно долго, чтобы структура графа оказалась по сути случайной. В этом случае блуждание по графу состояний породит ряд, аналогичный тому, что порождает предельно граф состояний, то есть белый шум - шум, имеющий плоский спектр мощности (100 узлов, сглаживание по 100 запускам):
Но каким будет спектр в промежуточном случае, когда случайные замыкания ещё не превращают граф в случайную сеть? Оказывается, что с ростом количества замыканий спектр мощности генерируемых рядов постепенно снижает показатель степени, отклоняясь от коричневого шума, и в определённый момент становясь близким спектру розового шума (500 узлов, 150 случайных переподключений):
(Спектр не идеален, он имеет характерное уплощение в области низких частот, тем более заметное, чем меньше граф, на котором происходит блуждание. Однако, вообще, любая ограниченная по размерам система не может генерировать идеальные степенные спектры, ни розовые ни коричневые - в области низких частот спектры уплощаются, приобретая характеристики белого шума. Мы видели это, обсуждая модель самоорганизующейся критичности как способ генерации розового шума.)
Вот что получается: чисто именные ряды имеют спектр белого шума, то есть, их спектр имеет вид 1/f0 = const. Мерные ряды имеют спектр коричневого шума, то есть, 1/f2. Смешанные ряды позволяют получать спектры, соответствующие функции 1/fα c α в диапазоне от 2 до 0, в том числе и 1/f1, розовый шум.
Теперь, познакомившись с полезной концепцией графов состояний (полезной в том числе и в прикладном смысле - составление графа возможных состояний феномена - хорошая стартовая точка анализа натуральных сложных систем), вернёмся собственно к именным рядам и двум основным вариантам их развёртки.
Пуассоновская и тау-развёртка именных рядов
Итак, в свёрнутом виде ряд именных знаков имеет вид ряда случайных чисел. Будучи развёрнут так, что длительности серий повторения знаков распределяются экспоненциально, мы получаем пуассоновскую развёртку именного ряда:
От "урбанистического" вида пуассоновской развёртки заметно отличается "загородный" вид тау-развёртки, при которой длительность повторения знаков распределяется в соответствии со степенной функцией:
Мы уже говорили, что пуассоновские и тау-развёртки рядов - мерных и именных - задают классы функций или процессов, которые при знаковой дискретизации (то есть, при наблюдении их с помощью прибора, имеющего дискретную шкалу) дают соответствующую развёртку. Мы предполагаем, что эти классы должны иметь широкое распространение в природе. Однако, оказалось, что привести натуральные примеры этих классов в чистом виде не просто. Возникает резонный вопрос почему. Готового ответа у автора нет, но отчасти дело может заключаться в недоступности мерных и именных рядов для непосредственного приборного наблюдения.
В качестве примера рассмотрим тау-развёртки именных рядов - они для нас интереснее, чем пуассоновские. Представим себе, что некоторый натуральный процесс порождает ряд состояний, соответствующий приведённой выше "загородной" диаграмме. Однако, приборно мы можем фиксировать не сам ряд состояний как сигнал, а лишь модуль его производной (то есть, абсолютную величину изменений исходного сигнала в каждый момент времени). Такие ограничения довольно часто встречаются в естественнонаучной практике:
Тогда важной характеристикой измеряемого сигнала оказывается степенное распределение периодов нулевого или близкого к нулевому сигнала - межпиковые интервалы или периоды покоя. Имеются ли природные явления, приборные наблюдения за которыми имеют такую форму? Ответ утвердительный, и одним из интересных примеров являются диаграммы сейсмической активности:
В статье "Scale-free statistics of time interval between successive earthquakes" японские исследователи Абе и Сузуки на примере сейсмической активности в Японии и Калифорнии показали, что периоды покоя между землетрясениями (без учёта их магнитуды) очень хорошо укладываются на степенную функцию с показателями кумулятивного распределения ≈ 1, то есть, для периодов покоя выполняется закон Зипфа.
Другие примеры явлений со степенным распределением периодов покоя - вспышки на Солнце (хотя говоря ответственно для них лишь часть распределения имеет степенную форму), межпиковые интервалы некоторых нейронов (есть нейроны, для которых межпиковые интервалы распределяются скорее в соответствии с гамма-распределением), или вот ещё пример - по некоторым сообщениям периоды между эпилептическими припадками тоже распределяются степенным образом. В литературе по "загадочным" степенным законам приводится также утверждение, что длительности непрерывных сцен в кинофильмах (то есть, длина монтажных кусков) также имеет степенное распределение - хотя это следовало бы проверить.
Ещё одна причина, по которой мы возможно не наблюдаем тау-развёрток именных рядов в чистом виде - массовый эффект, когда мы можем наблюдать лишь макро-параметры феномена. В этом случае тау-развёрнутый именной ряд, порождаемый одним агентом в системе случайно суммируется с подобными же рядами, порождаемыми другими агентами. В результате исходная форма индивидуального развёрнутого ряда маскируется. В частности, по видимому именно такую природу имеет фликкер-шум в проводниках - слабые флуктуации тока, проходящего через проводники. Эти флуктуации имеют спектр розового шума, который выглядит примерно так:
Но именно такую форму имеет сумма многих тау-развёрнутых именных рядов. Конкретно, этот график является суммой 100 таких рядов с показателем степени частотного распределения длительностей знаковых серий -2. Это - розовый шум, и он является суммой "сигналов", производимых 100 отдельными агентами. Такого рода агентами в случае проводников по всей видимости выступают атомы проводящего вещества, поведение которых почему-то отклоняется от типичного для физического порядка пуассоновского "стиля". Появление степенной статистики в их поведении - при том, именно статистики Зипфа - видимо говорит о том, что атомы проводников находятся под влиянием когнитивного порядка, который на элементарном уровне безусловно связан с квантово-механическими законами. Это можно утверждать наверняка: фликкер-шум в проводниках имеет квантово-механическую природу, а значит, и когнитивную. Возможно, этот весьма сильный знак равенства уместен именно теперь, ведь...
Последние серии Прологов вместе с некоторыми открытиями и ответами принесли новые серьёзные вопросы. Для поиска даже не определённых ответов на них, а лишь направления, в котором их следует искать, необходимо время. Автор берёт тайм-аут в публикации Прологов, чтобы привести в порядок некоторые мысли, гипотезы, смутные подозрения и догадки. Конечно, Прологи изначально не были последовательным изложением какой-то теории, а скорее дневником поисков. Многие темы так и не дождались своего освещения, хотя вполне к этому готовы. Однако, как бы то ни было, мы завершили большой круг. Нами добыта бездна информации, совершено несколько небольших открытий (ценность которых правда может оценить весьма небольшое число людей), и теперь знаем куда больше, чем вначале.
Впереди - трудный поиск, но не это ли захватывающее дело движет тем сортом людей, которые называют себя исследователями? Такими как сам автор, такими как Читатель этих Прологов? И пусть бросит в нас камень тот, которому уже всё ясно в этом прекрасном, полном великолепной и загадочной гармонии мире, в котором мы живём.
1
Ваше мнение не изменилось?:)
Пару месяцев назад, я задал вам, Роман, вопрос по поводу происхождения степенного закона для функции распределения, вывода его из, так сказать, первопринципов. Вы ответили тогда, что проблема решена. Вы и сейчас также полагаете?
P.S. Спасибо за прологи, чем дальше, тем интереснее. Кстати, а почему "прологи"? "Пролегомены" звучало бы сочнее. Или ваше географическое положение вынуждает к определенной скромности в данном вопросе?:)
druggist (28.03.2013 18:56)
2
Да, и сейчас так думаю
В свете последней статьи Симкина, ссылку на которую вы давали, основу модели видимо изобрёл Удни Юл - это процесс дельта-M(k/M). Я неверно считал (и в Прологах это отражено), что Юл нашел процесс дельта-M(1). Как бы то ни было, дельта-M(k/M) самый мощный с точки зрения возможных показателей степени распределений, которые с его помощью можно получить. В родовом случае даёт закон Зипфа - для меня это косвенное свидетельство фундаментальной роли этого процесса для получения степенных распределений. Вообще, я думаю, как маятник на ниточке есть простейшая модель любого периодического процесса, так и дельта-M(k/M) есть модель происхождения (почти?) любого степенного распределения. Например, периоды возвращения случайного блуждания оказались тоже распределены по Юлу - и я думаю, что можно найти очень простой вывод распределения времен возвращения, опираясь на модель дельта-M(k/M). Хотя это головоломка - интересная и её решения я пока не нашел.
"Пролегомены" - да, местоположение обязывает :) "Прологи" - это проще и скромнее, без философского пафоса. Хотя смысл тот же.
Спасибо за отзыв.
Роман Уфимцев (28.03.2013 19:24)
3
Хороший пример.
Пример с маятником удачен. Допустим, мы увидели, что функция Aсоs(wt+a)) прекрасно описывает поведение маятника. Каким образом мы это открыли неважно (еще древние египтяне так описывали маятник - процесс Аменхотепа). Углубляясь в этот процесс мы получим массу серьезных открытий, например, что период колебаний пропорционален корню из длины ниточки, что коэффициент равен g, определим смысл параметров А и a(амплитуды и фазы) и т.д. При этом мы ни на микрон не приблизимся к пониманию происхождения этого процесса - того факта, что эта функция есть решение уравнения Ньютона...
druggist (29.03.2013 7:18)
4
Решение уравнения Ньютона
Мне кажется, тот факт, что косинус есть решение этого уравнения, не является "сутью" или "истинным происхождением" периодического процесса, а только одним из его свойств. И этих свойств может быть сколько угодно, разные в разных контекстах. Нам интуитивно ясно, почему качается маятник, мы непосредственно видим и понимаем суть явления, оно понятно даже ребенку. А формальных выражений этой сути может быть много, разных, в зависимости от контекста, подчеркивающих разные аспекты.
К примеру, каково "происхождение" квадрата как фигуры? Подобно тому, как у квадрата есть много уникальных свойств, но ни одно из них не является полным формальным выражением интуитивно понятной сути, точно также и система дифференциальных уравнений, описывающих периодический процесс, есть только одно из возможных выражений сути или происхождения периодического процесса.
Вообще, "происхождение" означает порождающий, генерирующий принцип, и в этом смысле описание правил процесса дельта-M(k/M) вполне описывает "происхождение" степенных распределений.
Роман Уфимцев (29.03.2013 8:25)
5
Уравнение Ньютона = Второй закон Ньютона
Исключительно для устранения возможности малейшего недопонимания, речь идет о великом без всяких кавычек втором законе Ньютона. Мне кажется, такая дискуссия общего характера особого смысла не имеет, думаю, сама логика исследования выведет вас на правильное(общезначимое) понимание... где-нибудь к прологу 150... или раньше?:) Будем следить с неизменным интересом
druggist (30.03.2013 9:02)
6
Ах, вы о втором законе Ньютона
А почему он как-то ОСОБО связан с периодическими процессами? Поясните, пожалуйста, наверное, я не размышлял над ним достаточно глубоко.
Периодический процесс в моём понимании это связь двух континуальных величин (например, кинетической и потенциальной энергии), каждая из которых пропорциональна производной от другой. Образно говоря, танго двух тесно связанных величин.
Глубокое понимание или "интуитивное понимание" или "знание сути" это очень индивидуальная вещь. Пример с маятником это показывает: ваше и моё понимание "сути" этого процесса видимо отличается. Это вопрос когнитивного стиля, лично предпочитаемых образов.
Впрочем, может вы и правы, и можно найти ещё более универсально сформулированное выражение сути механизмов, порождающих степенные законы. Например, выразив её как особое отношение между параметрами M (массой феномена или другой подобной субстанциональной, "телесной" величиной) и k (количеством "частей" феномена или подобной величиной, связанной с симметрией, формой или структурой феномена ).
Роман Уфимцев (30.03.2013 9:34)
7
Этот закон особо связан со многими процессами, в том числе и с периодическими)
При малых отклонениях от вертикальной оси(т.н. малые колебания) x горизонтальную проекцию силы, действующей на груз можно считать равной mg(x/L), где m - масса груза(она сокращается), g - ускорение своб. падения, L - длина нити. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА тогда будет выглядеть так:
mx(c двумя точками) =mgx/L
-а это есть УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ с круговой частотой равной корню из g/L
Аналогично с колебаниями грузика на пружинке, только там частота = корень из k/m, где k - жесткость пружины.
druggist (30.03.2013 10:19)
8
Понятно
Но как вы верно замечаете, второй закон Ньютона не имеет какого-то уникального отношения к периодическим процессам. И это значит, что о нём нельзя говорить как о порождающем механизме или сути периодических процессов. Например, колебания в электрическом контуре не имеют отношения ко второму закону Ньютона, но являются не менее простым и каноническим примером периодического процесса, чем маятник. То же самое относительно уравнения свободной ЭМ-волны, решение уравнения Максвелла, кажется.
Роман Уфимцев (30.03.2013 10:33)
9
Нет, конечно, я о другом.
Мы видим, что такой-то математический объект описывает то или иное физическое(биологическое, социальное) явление. Помимо этого данное физическое явление(с остальным несколько сложнее) должно подчиняться фундаментальным физическим законам. Естественно предположить, что данный математический объект есть проявление уже открытого фундаментального закона в какой-то конкретной ситуации. И задача заключается в том, чтобы установить эту связь, которая и есть модель физического явления(на элементарном уровне постом выше это было продемонстрировано для маятника: как из механики Ньютона полусается уравнение колебаний)
druggist (30.03.2013 11:19)
10
"Естественно предположить, что данный математический объект есть проявление уже открытого фундаментального закона в какой-то конкретной ситуации"
Понимаю, но смотрите: данный математический объект (периодический процесс) может проявляться механически, электрически, наверное гравитационно - и это только в физике. Разве не следует из этого, что сам этот математический объект НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОЯВЛЕНИЕМ конкретных законов, описывающих свойства материи, а есть нечто иное, дополнительное, особое. Конечно, оформляя материальный мир, этот процесс необходимо СОГЛАСУЕТСЯ с законами сохранения, законами Ньютона и т.д. Но сам по себе, в своей СУТИ он в них не нуждается, не зависит от них. Математический объект имеет отношение к форме феномена, а содержание может быть разным. Если это массы, расстояния, движения - получаем механические колебания, если заряды, напряженности, силы тока - получаем электрические, и т.д.
Тут годится грубый пример: число 3 может описывать количество яблок в корзине, но из этого конечно не следует, что число 3 является проявлением "законов яблок" в этом мире. Число 3 много универсальнее, чем яблоки.
Роман Уфимцев (30.03.2013 11:40)
11
" Впрочем, может вы и правы, и можно найти ещё более универсально сформулированное выражение сути механизмов, порождающих степенные законы. Например, выразив её как особое отношение между параметрами M (массой феномена или другой подобной субстанциональной, "телесной" величиной) и k (количеством "частей" феномена или подобной величиной, связанной с симметрией, формой или структурой феномена )"
Мне почему-то с самого начала показалось что это и является вашей сверхзадачей:)
druggist (3.04.2013 22:28)
12
Не подсказывайте
Я сам догадаюсь, может быть :)
Роман Уфимцев (4.04.2013 0:14)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER