КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
 
Роман Уфимцев
9 апреля 2013 года, Калининград
Начиная этот Пролог, уместно повторить то, о чём автор говорил неоднократно: Прологи - живой дневник поисков, а не курс лекций. Каждый страница, каждая глава - словно очередной мазок кистью, который добавляет в общее плотно ещё немного красок, ещё немного деталей. Но живописец не работает как принтер, рисуя строку за строкой. Его кисть движется затейливо - вот он набрасывает общие контуры новой фигуры, вот он возвращается к прежде недоработанной детали, и тщательно её прорисовывает...
В порхании кисти над полотном, вероятно, есть своя логика. Но это логика поиска и творчества, а не механическая последовательность, с которой копировальная машина воспроизводит картину. Откровенно говоря, в некоторые моменты автор и сам не вполне понимает, почему какая-то тема вдруг привлекает его внимание. Но обычно спустя какое-то время оказывается, что это было не случайно, и выписанная заранее деталь картины вдруг оказывается уместной и необходимой. А бывает иначе: вот, кажется, что сейчас следует полностью прописать важную сцену, раскрыть заявленную и очевидно необходимую тему, но вдруг нить обрывается или ведёт в сторону, которая не вызывает положительного интуитивного отклика (попросту, кажется не интересной). В этом случае следует отложить кисть, отойти от мольберта и дождаться, пока новая идея не призовёт тебя к продолжению.
Может быть, идея окажется напрасной, и тогда придётся вновь отодвинуться от полотна, взглянуть на него издали и критически. Но пока мы берёмся за кисть, чтобы продолжить живопись Прологов. Мы намерены нанести на плотно новую деталь, быть может, одну из самых интригующих в общей картине...
Таинственные простые числа
Одна из тем, которую мы ни разу не затрагивали в Прологах - простые числа:
Простые числа - это целые числа, которые нельзя разбить на целочисленные множители. Например, число 10 можно разбить на произведение 5*2, а число 11 не разбивается, это простое число. Можно сказать, что простые числа являются единственными собственными множителями. (Единица не является простым числом, потому что её можно представить бесконечным произведением вида 1=1*1*1*1...)
Простые числа - это, пожалуй, величайшая загадка теории чисел, а может быть, и математики в целом. Тайна этих чисел волновала ещё пифагорейцев, которые придавали им мистическое значение и называли "перво-числами". Их загадочность состоит в том, что при простоте их смысла, не известно никакой строгой регулярности или закономерности их появления в числовом ряду. Известно лишь, что их бесконечное количество – это установили ещё древние, используя блестящее доказательство (см. врезку далее), а также известен ряд статистических закономерностей появления простых чисел в натуральном числовом ряду.
Доказательство бесконечности количества простых чисел было описано Евклидом в его «Началах». Оно представляет собой изысканный образец математического доказательства:
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.
(Воспроизведено из Википедии)
Ещё одна задача, не имеющая универсального решения - выяснение, является ли некоторое данное число простым, а если нет, на какие простые множители оно раскладывается. Конечно, некоторые закономерности тут известны. Например, мы все проходили в школе "признаки делимости": скажем, если число является чётным, оно точно не является простым и имеет как минимум один множитель 2. Однако, в целом задача определения простоты или состава множителей для больших натуральных чисел настолько сложна, что большие простые числа широко применяются сегодня в системах криптографии. Ни много, ни мало, нынешняя цифровая экономика, опирающаяся на шифрованные каналы передачи данных, использует большие числа как замки, к которым почти невозможно подобрать ключ в виде набора простых множителей.
Каждое натуральное число можно представить в виде одного единственного уникального набора простых множителей. Наверное, поэтому простые числа сравнивают со строительными блоками, из которых складываются все числа натурального ряда. Но это несколько обманчивая аналогия: роль простых чисел много глубже роли кирпичей разной формы и размера при строительстве.
Представим, что мы задумали создать маленькую вселенную. Прежде, чем приступить к наполнению её разными вещами, мы обдумываем, из каких элементов нам лучше их создавать. Порыскав в своих закромах как следует, мы нашли набор элементов, которые для определенности обозначили разными цветами: красный, зелёный, синий... Взяв красный и зелёный элементы, и соединив их, мы получаем одну уникальную комбинацию, а взяв, например, набор красный, красный, зелёный - другую. (Заметим, что порядок не имеет значения: комбинация красный-красный-зелёный соответствует той же вещи, что и комбинации красный-зелёный-красный или зелёный-красный-красный.):
Разные уникальные наборы перво-элементов окажутся для нас подобием молекул различных веществ, из которых мы сможем творить всё многообразие вещей нашей маленькой вселенной.
Но пусть нам мало того, что даже имея на руках лишь ограниченное число перво-элементов (цветов) мы можем сотворить из них бесконечное количество уникальных комбинаций. Пусть мы хотим порядка среди возможных комбинаций. Мы желаем иметь дело с таким набором возможных молекул, который можно было бы выстроить по какому-то ранжиру. Это очень серьезное требование: речь идёт об установлении отношений между молекулами, и при том таких, которые были бы однозначными и универсальными. Например, мы можем попробовать описывать отношение между двумя молекулами в терминах сходства - и степенью сходства мы можем считать количество одинаковых цветов в молекулах. Однако, в этом случае разные молекулы могут иметь одинаковую степень сходства с некоторой данной:
Тут молекула A имеет одинаковую степень сходства с молекулами B и C. Значит, на основе сходства состава разных молекул их нельзя выстроить в один стройный порядок, в одну последовательность.
Не уверен, что мы смогли бы решить эту задачу, и найти способ однозначно упорядочить различные комбинации цветных перво-элементов. Но именно она решена в отношениях между различными комбинациями простых чисел. Простые числа выступают перво-элементами, а различные их комбинации-произведения образуют натуральный ряд чисел - непрерывный континуум:
Как видим, простые числа действительно можно называть строительными блоками, но у строителя, который по неведомой причине захотел внести удивительный порядок в свои строительные решения - он захотел их выстроить в одну единую линию, в один континуум. Представьте, как бы мы изумились, если бы во всём многообразии химических молекул кто-то бы отыскал подобный "ранжир", единую однозначно упорядоченную последовательность всех возможных молекул. Но именно это мы видим в отношениях между простыми числами и натуральным рядом.
Заметим, что "ранжиром" различных числовых молекул выступает арифметическое произведение простых элементов, из которых они сложены. И может быть, это единственная возможность решения подобной задачи: например, если бы "ранжиром" выступали бы арифметические суммы простых элементов, ни при каком их наборе мы бы не смогли выстроить все возможные молекулярные комбинации в единый стройный континуум, подобный натуральному ряду. Пусть, например, у нас имеется два элемента, соответствующие числам 2 и 3:
Если возможные молекулы ранжируются по сумме входящих в них элементов, уже для шестой молекулы однозначность бы нарушилась: имеется два варианта получения молекулы с рангом 6 из разных перво-элементов. Таких неоднозначностей не возникает, если мы используем не суммы перво-элементов, а их произведения. И вероятно, никаких других способов получить упорядоченный континуум молекул-комбинаций не существует.
Впрочем, мы упустили одну очевидную возможность: мы можем построить стройный континуум всех возможных молекул-комбинаций на основе суммирования, если в качестве перво-элемента возьмём единицу:
Вот как это можно сформулировать: любое натуральное число однозначно представимо в виде суммы перво-элементов, если перво-элемент один и равен единице. Любое же натуральное число однозначно представимо в виде произведения перво-элементов, но только если перво-элементами являются простые числа. В некотором тонком смысле простые числа подобны по своей роли единице, с той лишь разницей, что их "творческой манерой" является умножение, а не сложение, как у единицы.
Теперь, получив представление о том, что простые числа вовсе не так просты, и что если уж их считать "строительными блоками", то спроектированными весьма искушённым инженером, познакомимся с некоторыми их свойствами.
Теорема простых чисел и фантастическая формула Эйлера
Как мы говорили, загадочность простых чисел заключается в том, что твердая закономерность их появления в числовом ряде неизвестна. Например, если мы возьмем какое-то большое натуральное число N, нет способов назвать точное количество простых чисел, меньших чем N - тут можно только проверять одно число за другим и считать. Известны лишь статистические закономерности, в частности, знаменитая теорема простых чисел гласит, что с ростом длины рассматриваемого натурального ряда N, количество простых чисел в нём π(N) растет примерно как
Если говорить точнее, то рост количества простых чисел в натуральном ряде длины N растёт ближе к уравнению:
Вот сравнение реальных данных с этой приблизительной кривой:
Такого вида диаграммы, когда опытные данные несколько флуктуируют вокруг плавной кривой, не удивительно встретить в физике или другой естественной науке. Но увидеть их в математике, да ещё в такой области как теория чисел, где, казалось бы, нет места никаким случайностям и флуктуациям - это удивляет самих математиков. И их любопытство ещё более распаляет тот факт, что закономерносити этих флуктуаций им не удаётся отыскать - но ведь они должны существовать, не правда ли?
Из теоремы простых чисел прямо следует интересный вывод о том, что в средняя длина прогонов между простыми числами с ростом длины натурального ряда N растёт как ≈ln(N)-1. Вот сравнение этой кривой с реальными данными:
Наблюдательный читатель заметит, что выражения вида ln(N) мы не раз встречали на протяжении Прологов. Например, величину ln(N) мы в своё время назвали характерной мерой абстрактной структуры тирона, поскольку многие параметры тирона как древовидной структуры описываются именно этой величиной, в которой N - количество объектов в тироне. И такое сходство заставляет подозревать, что простые числа могут играть некую пока загадочную роль в развитии тиронов.
Это пока лишь смутное подозрение, но оно ещё более укрепится, когда мы познакомимся с одним из немногих точных (а не статистически приближённых) уравнений теории простых чисел. Это просто фантастическая формула, которую вывел великий Леонард Эйлер - как раз в ту пору, когда он жил и работал в Санкт-Петербурге.
Рассмотрим бесконечный ряд вида
Это степенной ряд, о которых мы много и подробно говорили в Прологах - таким рядам соответствуют степенные ранговые распределения. Например, в случае, если β = 1, мы имеем дело с законом Зипфа. Пусть например, такому ряду соответствует население городов какой-то страны. Тогда общее население страны равно сумме
где L - общее количество городов.
У степенных рядов такого рода и их сумм есть замечательное свойство: при устремлении L к бесконечности при некоторых значениях β сумма оказывается тоже бесконечной - говорят, что сумма расходится - а для других значений β сумма бесконечного числа слагаемых оказывается конечной величиной. Водоразделом является значение β=1: если β > 1, сумма оказывается конечной, а если β<1 или β=1, она оказывается бесконечной. Вообще, бесконечная сумма этого вида имеет своё название - дзета-функция Римана (хотя исследовать её начал тот же Эйлер), и обозначается как
Так вот, используя простой и изящный способ, Эйлер вывел удивительное выражение, связывающее дзета-функцию с простыми числами (выполняется, если β > 1):
где правая часть - произведение, в котором участвуют все простые числа, содержащиеся в бесконечном ряду натуральных чисел:
Чтобы подчеркнуть величие этой формулы, запишем её для случая β=2 без применения математических сокращений:
Пренебрегая квадратами, заметим, что в левой части - полный натуральный ряд чисел (точнее, обратный ему ряд). В правой - полный ряд простых чисел (тоже не в чистом виде). И это твёрдое равенство выглядит как сияющий центр всей загадки простых чисел. Это исток, от которого следует двигаться, постигая эту загадку. В частности, именно эту формулу впоследствии использовал математик Чебышев для вывода статистических законов простых чисел, которые мы обсуждали выше.
Удивительна и простота вывода формулы Эйлера. Автор не может отказать себе в удовольствии воспроизвести его (это полезно и для интуитивного понимания сути формулы). Для определенности рассмотрим конкретный случай β=2
Обозначим как A бесконечную сумму
Умножив её на 1/22, получим
Отняв одно от другого, получим
Теперь умножим полученный результат на 1/32
Отняв этот результат от предыдущего, получим
Продолжая также дальше, до бесконечности, установим:
А из этого прямо следует, что
Воистину, этот математический вывод не уступает по изяществу и музыкальности сонатам Моцарта!
Итак, раздумывая о возможности привлечения к нашим изысканиям простых чисел, поступим также и начнём двигаться от формулы Эйлера, исследовав её в особом разрезе - заодно это будет небольшой практикой в интуитивном освоении свойств простых чисел.
Исследуем формулу Эйлера. Случай β = 1
В формуле Эйлера используется бесконечное число слагаемых вида 1/iβ и бесконечное же произведение множителей вида pβ/(pβ-1). Строгое равенство суммы и произведения достигается лишь в этом случае. Но что, если мы рассматриваем не бесконечные ряды? То есть, насколько хорошо выполняется следующее приближение при различных значениях β:
если N ограничено (при этом в правой части мы учитываем только простые числа, которые меньше или равны N)?
Исследуем этот вопрос. Вот как выглядит рост левой и правой части формулы Эйлера с ростом N при β = 2:
Как видим, с ростом N обе части формулы быстро приближаются к теоретическому пределу
хотя связанное с простыми числами произведение несколько опережает сумму. Подобное же поведение мы увидим и в случае других значений β > 1, хотя с приближением β к единице, различие между правой и левой частью формулы Эйлера сокращается всё медленнее.
И всё же, очень "обидно", что формула Эйлера не годится для случая β = 1 - а ведь это самый интересный для нас расклад. Логика вывода формулы Эйлера безупречна лишь в том случае, если сумма бесконечного количества слагаемых A конечна по величине, а это выполняется лишь в том случае, если β > 1.
Но не будем грустить, и постараемся извлечь пользу из этой великолепной формулы даже за пределами её формальной применимости. Итак, пусть при β = 1 правая и левая части формулы с ростом N устремляются к бесконечности, но как именно? Вот как:
Правая и левая части формулы Эйлера устремляются к бесконечности очевидно согласованным образом. Попробуем выяснить, как именно. Для этого рассмотрим, как с ростом N меняется отношение левой части формулы к правой:
Вот что мы увидим:
Трудно не заподозрить, что с ростом N это отношение стремится к какому-то пределу, близкому к 0,6. Попробуем догадаться, что это за число.
При β = 1 левая часть формулы Эйлера является ничем иным как выражением гармонического числа:
Гармоническое число имеет замечательное приближение (которое обнаружил опять же Эйлер):
где γ - константа, которую называют постоянной Эйлера-Машерони. Глядя на эту постоянную, приходит мысль, что именно она и есть то предельное отношение между правой и левой частями формулы Эйлера при β = 1, то есть, при больших N:
Однако, эта догадка оказывается неверной - точнее, верной лишь отчасти. Она подсказывает, в общем верное направление, и константа γ действительно "в деле", но предельное отношение в действительности равно 1/eγ ≈ 0,5615... так что
Зачем мы прибегли к такому странному "сюжетному ходу" - сначала выдвинуть гипотезу, а потом, тут же, сообщить о том, что она не верна?
Дело в том, что это интересный пример, иллюстрирующий неоднозначную, но безусловно очень полезную роль интуиции в научном анализе. Формула Эйлера явным образом нам указала на какую-то родственность гармонического числа и произведений вида p/(p-1). В свою очередь гармоническое число, как установил тот же Эйлер, связано с логарифмом посредством константы γ. Это и навело нас на мысль, что предельное отношение, которое сходится к числу около 0,6, сходится именно к константе γ. Это предположение следует из интуитивного ощущения родственности гармонического числа, логарифмов и простых чисел. И хотя оно в свой конкретной форме оказалось не верным, интуиция подсказала совершенно верное направление: предельное отношение оказалось равным 1/eγ.
В целом для больших N выполняется замечательное соотношение, которое мы ещё будем подробно обсуждать:
Оно является прямым следствием так называемой теоремы Мертенса, одной из самых красивых в теории простых чисел.
В заключение заметим, что если β<1, предел отношения левой и правой части формулы Эйлера с ростом N по видимому стремится к нулю. Таким образом, имеем:
При β>1 предел отношения равен 1 - это соответствует области формальной корректности формулы Эйлера.
При β=1 предел отношения равен 1/eγ.
При β<1 предел отношения равен 0 - сумма в правой части формулы растёт гораздо медленее произведения в правой части, хотя в пределе и та и другая часть равны бесконечности.
Почему мы обратились (да ещё так настойчиво) к простым числам? На этот вопрос автору не легко дать ясный ответ.
Можно было бы сослаться на интуицию, которая настойчиво подсказывает, что именно простые числа теперь требуют внимания, чтобы двинуться в исследованиях дальше. Но можно всё-таки сказать яснее. До сих пор мы исследовали процессы роста тирона или процессы развития тау-серий как стохастические случайные процессы. Естественно, что при этом мы активно применяли инструментарий теории вероятностей.
Однако, может быть, существует совершенно другой подход. И простые числа тут являются как минимум содержательной иллюстрацией. Автор специально заострял внимание на том, что они - удивительный пример абсолютно упорядоченного и детерминированного множества, которое, тем не менее, демонстрирует "стохастическую неустойчивость", непредсказуемость, так что основные свойства этого множества известны только в форме статистических приближений. Конечно, простые числа - не единственный пример такого рода, известный в математике. В действительности, подобными объектами занимается целая область - теория динамических систем (или "теория хаоса"). И тем не менее, простые числа кажутся примером особого рода - ведь, как мы видели, они образуют уникальный набор "строительных блоков", из которых может быть реконструирован любой континуум.
Одним словом, может быть именно простые числа позволят нам преодолеть "детский период" наших исследований, когда мы увлечённо играли в песочнице теории вероятностей.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER