КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 88. Время и простые числа
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 88. Время и простые числа
 
Роман Уфимцев
30 апреля 2013 года, Калининград
Вот уже третий Пролог мы занимаемся простыми числами. Это большая, сложная и потенциально очень важная для нас тема. В предыдущем Прологе мы разобрались в некоторых свойствах простых чисел и увидели, что сложенные из простых множителей числа являются источником степенных ранговых распределений с β = 1. Это позволило нам получить элементарную детерминированную модель происхождения статистики Зипфа.
Однако, "метафизическая суть" простых чисел находится где-то гораздо глубже, чем закон Зипфа. Как мы говорили, они - уникальный "конструктор", из которого можно сконструировать полный дискретный континуум. Более того, по видимому, они являются единственным возможным не-тривиальным конструктором такого рода. (Тривиальный вариант - конструктор, состоящий только из одного элемента, единицы, суммируя которую многократно можно тоже получить полный дискретный континуум.) В этом смысле простые числа каким-то образом изоморфны любому конструктору, любой "элементной базе", из которого складываются феномены мира вне зависимости от их природы. Значит, свойства простых чисел, их отношения с натуральным рядом как порождаемому ими континууму, могут отражать фундаментальные основы организации мира как "натурального пространства".
Это чересчур смелая гипотеза, и к тому же пока весьма смутная. Но автор счёл необходимым сообщить о ней, чтобы обозначить ту глубину, в которой мы должны искать "суть" простых чисел. Такой взгляд на простые числа заметно перекликается с пифагорейским пиететом перед ними. Но почему это должно нас смущать? Пусть, напротив, это нас вдохновляет, бросая на наши поиски какой-то мифологический отсвет.
Однако, простые числа - не та крепость, которую можно взять "с наскока". Поэтому мы будем действовать как полководцы, принявшие решение готовить осаду крепости. Обсуждая различные свойства простых чисел, и проводя параллели с другими уже освещенными нами темами, мы начинаем выстраивать "осадное кольцо", рассчитывая, что выдержка приведёт нас к успеху.
И для начала следует несколько отдалиться от крепости (пусть её обитатели - то есть, простые числа - потеряют бдительность).
Живой рост и органическое время Бакмана
Что является ярчайшим проявлением жизни, самым общим и характерным признаком живого как чего-то противоположного не-живому? Если попытаться найти самый простой ответ на этот сложный вопрос, то, вслед за шведским физиологом начала 20-го века Гастоном Бакманом, мы обратим свой взор на рост живых систем. Действительно, именно рост растений, животных, колоний бактерий и т.д. - первейший и простейший признак живого. Разумеется, и не-живые (вроде бы) системы могут расти: растёт овраг, истачивая потоками воды равнину. Растёт развивающийся разряд молнии. Растет атмосферный циклон, напитываясь тепловой энергией моря. Но и в этих примерах "не-органического" роста есть нечто неуловимо "органическое", сближающее их с примерами типичного роста живых систем: разве не напоминает рост электрического разряда рост кустарника, а рост оврага - рост дерева? Разве не похоже бурное развитие атмосферных циклонов на рост обычной улитки?
Пока мы не будем обсуждать, случайно ли сходство органических и не-органических процессов роста, а заметим только, что в ряду вещей мы в первую очередь заподозрим жизнь в той из них, которая растёт.
Раз так, и рост может быть сущностно центральной характеристикой живого, особый интерес представляют характеристики живого роста - тем более, что они объективно наблюдаемы, поддаются точному измерению и сравнению. И первый вопрос, который тут возникает: как выглядит типичная кривая роста?
Некоторые свойства этой кривой можно вывести "на кончике пера". Во-первых, ни один органический рост не продолжается бесконечно, а значит, кривая органического роста должна иметь предел, соответствующий предельной массе или размеру взрослого организма. Во-вторых, разумно предположить, что максимальная скорость роста достигается не в самом начале развития организма - когда у него попросту ещё не достаточно возможностей усваивать питательные вещества и энергию - а в какой-то промежуточный момент времени. Исходя из этих соображений, мы можем построить гипотетическую кривую роста характерного, "сигмоидного" вида:
Простейшее предположение заключается в симметричности этой кривой, так что максимальная скорость роста организма достигается точно посредине между моментами начала роста и моментом достижения его пределов.
Но дело даже не в том, что такое предположение является простейшим. В действительности прямая формализация изложенных выше общих соображений о кривой роста приводит к симметричной "сигме", конкретно, к весьма известной логистической кривой (чёрная кривая на диаграмме выше). Её вывел ещё в 19-м веке бельгийский математик Пьер Ферхюльст, и теперь уравнение логистической кривой часто называют уравнением Ферхюльста. (Она именуется "логистической" поскольку описывает влияние на рост ограничений, в частности, ограничений в снабжении растущей системы питательными веществами. В старые времена службу, снабжавшую войска пищей и кормом для животных называли логистической.)
В качестве растущей живой системы Ферхюльст рассматривал человечество, так что размер системы естественно оценивается в количестве живущих на Земле людей. Он сделал два предположения: 1) Скорость прироста населения за единицу времени пропорциональна количеству живущих людей - обозначим это количество как N, и обозначим коэффициент пропорциональности прироста населения как r. Тогда при отсутствии ограничений на население, мы можем записать дифференциальное уравнение:
Его решение - экспоненциально (то есть, геометрически) растущее население планеты:
где C - некоторая постоянная. Однако, это уравнение может описывать рост организма или человечества лишь при отсутствии ограничений на размер живой системы. В частности, говоря о населении Земли естественным ограничением является конечность ресурсов планеты - ограниченные возможности производства пищи и пр. Чтобы учесть этот фактор, Ферхюльст предположил, что 2) коэффициент r, который связывает текущее население и его прирост должен снижаться по мере приближения населения к некоторому пределу L. Самый простой способ это формализовать выглядит так:
где r0 - коэффициент прироста в ситуации отсутствия ограничений. В итоге мы получаем дифференциальное уравнение:
Его решение и есть уравнение логистической кривой:
где C - постоянная, определяемая начальными условиями роста, например, исходным населением Земли. Если его обозначить как P0, можно записать другую форму уравнения Ферхюльста:
Расчёт скорости прироста приводит к уравнению вида
По форме оно соответствует уравнению логистического распределения:
График логистического распределения имеет вид симметричного колокола, похожего по форме на нормальное распределение:
Таким образом, модель Ферхюльста приводит к симметричной колоколообразной кривой скорости живого роста.
Однако, уже первые исследователи органического роста - в том числе, и Гастон Бакман - заметили, что реальный органический рост происходит несколько иначе. Например, вот типичная кривая роста массы кур-несушек:
Важнейшее отличие реальной кривой от той, что мы вывели теоретически - момент максимальной скорости роста (отмечен стрелкой) достигается существенно раньше, чем середина всего периода развития. В данном случае цыплёнок растёт с максимальной скоростью примерно на 9 неделю после рождения, а весь период роста можно оценить примерно сроком в 40 недель. Если мы построим график изменения скорости роста, мы увидим не-симметричную кривую наподобие:
В отличие от теоретической симметричной колоколообразной кривой скорости роста, реальная скошена влево - и это, конечно, напоминает отношение между симметричной колоколообразной формой нормального распределения и скошенной формой логнормального. Как мы знаем, логнормальное распределение превращается в обычное нормальное, если построить его с использованием логарифмической оси X. Вероятно, подобные наблюдения и привели Бакмана к гипотезе о том, что органический рост управляется не физическим временем t, а особым органическим torg, которое связано с физическим логарифмическими отношениями:
где a и b - некоторые масштабные постоянные, зависящие от типа живого организма.
В модели Бакмана при органическом исчислении времени кривая нормированной скорости роста организмов (то есть, когда максимум скорости принят равным единице) соответствует по форме симметричной кривой нормального распределения, отвечая простому уравнению
где k - некоторая постоянная, специфичная для разных типов живых организмов - этот параметр отвечает за ширину колокола:
Заметим, что органическое время может принимать отрицательные значения, а при torg = 0 скорость роста оказывается максимальной. Переходя к физическому времени получим уравнение скорости роста, родственное функции логнормального распределения:
Из этого мы получаем кривую роста организма (к сожалению, выражаемую только с использованием специальных функций), хорошо соответствующую реальным наблюдениям за развитием живых организмов:
Итак, в соответствии с идеей Бакмана, рост живых организмов синхронизируется не физическим временем, а собственным органическим, которое логарифмически замедляется по сравнению с физическим временем. Поэтому каждая следующая стадия биологического развития с объективной точки зрения требует всё большего периода физического времени - отсюда видимое замедление роста организмов на поздних стадиях развития.
Но эта идея может быть сформулирована иначе, хотя и несколько необычно: посмотрим на развивающийся живой организм как на орган восприятия времени. С ходом физического времени интенсивность восприятия времени увеличивается, подобно тому как с ростом интенсивности излучения света возрастает интенсивность зрительного восприятия яркости. Как мы знаем, общей закономерностью восприятия является закон Вебера-Фехнера, в соответствии с которым субъективная, воспринимаемая интенсивность раздражителя пропорциональна логарифму физической интенсивности раздражителя:
где S - физическая или объективная интенсивность стимула, Smin - пороговая интенсивность, обозначающая нижний предел чувствительности органов чувств, R - интенсивность субъективной или органической реакции на стимул, k - некоторый коэффициент, величина которого зависит от канала восприятия.
Записав формулу иначе, мы увидим прямое сходство между законом Вебера-Фехнера и уравнением, связывающим органическое, внутреннее время организма с физическим:
Обсуждая закон Вебера-Фехнера мы пришли к выводу, что он описывает отнюдь не физиологические особенности органов восприятия, а скорее вообще особенность субъективного представления живыми системами физических континуумов. Такими континуумами могут быть непрерывно изменяющиеся интенсивности раздражителей, пространственные протяженности, числовые оси любого рода, и естественно предположить, что время как континуум не является тут исключением. То есть, восприятие живыми организмами объективного времени, его промежутков и длительностей, также подчиняется общей логарифмической закономерности.
Именно это и утверждает, по сути, Гастон Бакман. Его "органическое время" - это внутреннее представление физического времени, которое развивающаяся живая система использует для синхронизации процессов развития. И это внутреннее представление, как и прочие внутренние представления физических континуумов, подчиняется закону Вебера-Фехнера.
Уместно тут сослаться на хорошо известный феномен "ускорения жизни", который нас иногда ввергает в печаль: с возрастом дни, недели, года нашей жизни словно ускоряются. Три летних месяца в детстве - целая вечность. Три таких же месяца в зрелом возрасте пролетают как три недели или даже три дня.
Если предположить, что не только биологическое, но и когнитивное развитие синхронизировано не с физическим, а с логарифмически замедляющимся органическим временем - а это естественное предположение - этот эффект получает своё объяснение. Ретроспективно мы оцениваем длительности периодов времени опираясь на память. Память является внутренним представлением, и подчиняется закону Вебера-Фехнера. С ходом времени прирост "внутреннего возраста" на очередную единицу требует экспоненциально увеличивающегося периода физического времени. Иными словами, постепенно в один и тот же субъективно, внутренне воспринимаемый шаг "личного времени" втискивается всё больше времени физического - и мы переживаем это как стремительное ускорение жизни: субъективно для нас проходит один день, а на самом деле - целая неделя.
Мы уже говорили о том, что универсальность закона Вебера-Фехнера указывает на универсальность информационных факторов когнитивной и биологической жизни. Но сейчас автор хотел бы поговорить о другом, возможно несколько неожиданном, аспекте дела.
Органическая синхронизация и простые числа
Итак, предположим, что любого рода внешняя, объективная, физическая континуальная величина S производит не линейное, а логарифмическое действие R на живую систему:
Это элементарное уравнение задает отношение между внешним континуумом S и внутренним континуумом R.
Заметим, что выбирая единицы измерения времени, к такой простой форме можно привести и более сложное уравнение Бакмана:
Его можно представить в следующем виде:
Подбирая a и b, то есть, выбирая единицы измерения органического и физического времени, можно свести уравнение Бакмана к простейшему виду:
Попробуем понять "тонкую механику" отношений "внешнего" и "внутреннего", рассмотрим одну инженерно-организационную задачу.
Вообразим себе конвейер шоколадной фабрики, работающий круглые сутки. По конвейеру непрекращающимся потоком двигаются изделия - конфеты. Упаковщицы по 6 часов собирают конфеты в коробки, потом их место занимает новая смена - и так круглые сутки. Чтобы мотивировать уставших от однообразной работы упаковщиц, руководители решили как-то сообщать им от том, сколько тысяч конфет осталось упаковать до выполнения плана. Однако, вывешивая информацию на большом табло, руководители не получили желаемого результата - упаковщицы, погружённые в свои мысли и работу просто не обращали на него внимания. И тогда один сообразительный парень предложил сообщать упаковщицам информацию прямо через конфеты. Он предложил некоторые из них помечать маленькой точкой, причём чем ближе выполнение плана, тем больше конфет помечалось. Теперь упаковщицам не надо было никуда смотреть, только на сами конфеты - и теперь они ждали, когда в ряду конфет начинают сначала редко, а потом всё чаще появляться помеченные конфеты - и они ощущали приближение цели. Безликая бесконечность потока конфет исчезла, появилась цель, далёкие и близкие до цели времена, желание приблизить своей сноровистой работой цель, их мотивация изменилась.
Теперь перейдём к более причудливой задаче: пусть руководство захотело сообщать упаковщицам величину ln(S) - где S - общее количество конфет, произведённых с начала месяца. Для этого естественно помечать одну из каждых ln(S) конфет - и тогда любая упаковщица, только пришедшая на смену или отработавшая её, будет знать, чему равно ln(S) в данный момент времени.
Именно так некоторое ядро живой системы, её "начальство", может сообщать всем старым, сменяющимся и вновь возникающим в процессе развития организма подсистемам текущее "органическое время" torg = ln(t), в соответствии с которым должны синхронизироваться развитие и рост. Но возникает другой вопрос: а откуда само ядро, это самое "начальство" знает величину ln(t)?
Первый ответ: у ядра есть вычислитель, калькулятор логарифмов. Он считает физическое время t, логарифмирует его, а затем кодирует полученную величину ln(t) также, как кодировались конфеты на конвейере для упаковщиц.
Но есть и другой, более элегантный ответ (хотя и поднимающий новые вопросы): ядро не вычисляет величину ln(t), оно получает её прямо из текущего счёта физического времени t. Для этого ядро наделено одной "нехитрой" способностью: оно умеет распознавать простые числа. Когда текущий счёт физического времени t оказывается равным простому числу (а мы полагаем тут, что счёт физического врмемени ведётся целыми числами), ядро транслирует импульс синхронизации по всей живой системе. Периоды между этими импульсами и будут сообщать всем под-системам текущее органическое время torg = ln(t).
Эта гипотетическая картина органической синхронизации опирается на одно из самых поразительных свойств простых чисел: при больших N в среднем одно простое число приходится на ln(N) последовательных чисел натурального ряда. Эта пропорция выполняется не точно, а стохастически, но то, что дело обстоит именно так, можно убедиться и используя теоретический анализ - в предыдущем Прологе мы довольно простым способом получили близкую оценку - и взглянув, например на опытный расчёт среднего прогона между простыми числами (N от 1000000 до 1500000, каждая точка - результат усреднения на промежутке из 1000 последовательных натуральных чисел):
Вот что получается: основой органической синхронизации могут являться простые числа, которые каким-то загадочным образом распознаются ядром живой системы или ею в целом. Это объясняет логарифмичность органического времени. И если так, то органическая синхронизация является "квази-стохастической" - поскольку плотность простых чисел в натуральном ряду подвержена с виду бессистемным флуктуациям.
Пожалуй, самый трудный вопрос - как ядро живой системы распознаёт простые числа, ведь как мы знаем, для больших N это не имеющая до сих пор общего решения задача, так что "тест на простоту" является весьма сложной вычислительной проблемой.
Предположения на этот счёт будоражат воображение. Во-первых, заметим, что вместе с ростом счёта физического времени t живая система растёт, усложняется. И это наводит на идею, что не какое-то ядро, а растущая живая система целиком и является механизмом распознавания простых чисел (а значит, и генератором синхроимпульсов развития). С ростом t сложность этой задачи растёт, но и система растёт. Это значит, что мы можем попробовать взглянуть на живые системы как на механизмы, способные решать задачу теста простоты. (Может быть, не случайно надежды на продвижение в создании эффективных тестов простоты возлагают на нейрокомпьютеры, структура которых приближена к структуре живых систем.)
Далее, любая живая система имеет предел роста, и существует предельный возраст t, в течение которого живая система развивается. Возникает мысль, что при превышении этого возраста видовых, специфичных для данного типа жизни возможностей распознавать простые числа в счёте физического времени становится недостаточно, система перестаёт их замечать. Это значит, что синхроимпульсы развития перестают транслироваться, и развитие прекращается: органическое время системы останавливается.
Всё это - лишь изложение общих предчувствий, догадок. Может быть, они имеют мало общего с действительностью. Тем не менее, их стоило зафиксировать, пусть даже лишь как повод для дальнейших поисков. Мы окапываемся на дальних подступах к "крепости простых чисел", медленно выстраивая круговую осаду этой твердыни, и не должны оставить ни единой лазейки...
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER