КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
 
Роман Уфимцев
26 мая 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы затронули тему дробных или не-целочисленных симметрий. Это одна из тем, которая давно "порхает" вокруг нас как неуловимая бабочка, которую, однако, нужно поймать. Автор уже давал краткие объяснения, почему дробные симметрии важны для нас. Их следы видны по всюду на длинной тропе наших поисков - с самого ее начала. В таких обстоятельствах любой следопыт захотел бы познакомиться с тем, кто оставляет эти следы. Хотя бы для того, чтобы проверить, не находится ли то, что мы ищем, где-то неподалеку от логова этого существа.
В этом Прологе мы попробуем, наконец, внести ясность в то, что такое дробные или не-целочисленные симметрии. Это важное дело, потому что симметрии - это инварианты, которые, может быть, играют такую же управляющую роль в когнитивных системах, что и энергия в физических. Но чтобы научиться также эффективно использовать симметрии для анализа когнитивных систем, как физики мастерски используют энергию для анализа физических, нам необходимо приготовить симметрии для полноценного исчисления. И первый шаг - нужно понять, что такое не-целочисленные симметрии.
Выслеживая неведомую до сих пор "дичь", мы будем двигаться внимательно, шаг за шагом.
Знакомимся с логикой
Итак, мы хотим найти способ вычисления порядка симметрии набора объектов, различающихся по массе, размеру или другой измеримой и континуальной характеристике. В качестве исходного и непременного требования следует принять, что если множество состоит из M одинаковых объектов, то порядок симметрии такого множества должен быть равен в точности M. Это требование обеспечивает обратную совместимость нашего нового определения порядка симметрии и классического ее определения. Например, разделенный пополам круг в традиционном смысле имеет симметрию вращения порядка 2 - разрез делит круг на два куска одинаковой площади или на два одинаковых 180-градусных сектора. Мы будем говорить о таком круге как о множестве, состоящем из двух одинаковых объектов.
Если множество состоит только из одного объекта, то порядок симметрии множества равен 1. Если множество образовано бесконечным количеством одинаковых объектов, его порядок симметрии равен бесконечности. В классическом геометрическом смысле бесконечным порядком симметрии вращения обладает круг.
Рассмотрим простое неоднородное множество - то есть, множество объектов, не одинаковых по массе/размеру:
В нем объекты соотносятся в пропорции 3:1. Каков порядок симметрии этого множества?
В предыдущем Прологе мы описали один из вроде бы перспективных вариантов решения этой задачи - отнестись к объектам множества как к альтернативным состояниям какого-то знака. Тогда масса объекта пропорциональна вероятности соответствующего состояния знака. В данном случае получается, что вероятность первого альтернативного состояния равна p1 =3/4, второго - p2 =1/4. Далее мы пользуемся формулой Шеннона, которая позволяет вычислять информацию/энтропию, содержащихся в знаке, если его альтернативные состояния не равновероятны:
Так мы получаем информацию в натах. Чтобы получить окончательный результат, порядок симметрии, мы берем экспоненту от шенноновской информации/энтропии:
Это число и могло бы считаться порядком симметрии множества 3:1. Однако, как мы говорили, при всей простоте и "приятной" привязанности такого подхода к исчислению информации, он оказался непригодным для описания результатов опытов с каскадным дроблением континуума. Тем не менее, мы еще раз описали этот (неверный) подход к исчислению не-целочисленных симметрий, чтобы подчеркнуть своеобразие правильного подхода.
Ценная идея, которую мы вынесли из предыдущего Пролога - вероятностный подход к не-целочисленным симметриям. Разберемся на простом примере, как он выглядит. Рассмотрим то же множество 3:1. Однако, взглянем на него как на результат усреднения нескольких разных однородных дроблений, то есть, дроблений континуума, в которых он разбивается на одинаковые куски. Мы имеем дробление на две части, но одна больше другой в три раза. Не трудно представить, что такой результат может получиться, если усредняются результаты "одинарного дробления" (ему соответствуют одинарные "развилки" в Т-деревьях ) - можно сказать, что этому типу дробления соответствуют "неудачные" или "безрезультатные" попытки раздробить континуум - и бинарное дробление, при котором континуум дробится на две равные части. Конкретно, если с вероятностью 1/2 континуум подвергается "одинарному дроблению" и с вероятностью 1/2 - бинарному, в среднем мы получим именно множество 3:1. Почему так? Взглянем на следующую картинку:
Тут мы имеем два равновероятных дробления - каждый из них может произойти с вероятностью 1/2. Одно из них - одинарное дробление. Другое - бинарное. Посчитаем отношение площадей фигур, закрашенных красным и зеленым цветом - оно как раз равно 3:1, то есть, соответствует массам объектов нашего множества. Таким образом его можно представить как результат однородных дроблений, связанных с обычными целочисленными симметриями. Однако, благодаря тому, что вероятностно смешиваются различные типы дробления, мы получаем не-однородный результат.
Порядок симметрии множества 3:1 определяется средним между одинарным и бинарным дроблением, то есть, между порядком симметрии 1 и порядком симметрии 2. Однако, следует вычислять не среднее арифметическое, а среднее геометрическое. Напомню, что среднее геометрическое k величин n1, n2, n3, ... nk вычисляется по формуле:
Если арифметическое среднее является показателем средней аддитивной роли ряда величин n1, n2, n3, ... nk, то среднее геометрическое - показатель средней мультипликативной роли этих величин. Это можно записать в форме равенств (берем для простоты k=4):
в котором первое основано на среднем арифметическом <n>a, а второе на среднем геометрическом <n>h.
В каскадном дроблении континуума действует именно мультипликативный фактор - если мы раздробим континуум сначала на 3 части, а затем каждую из них раздробим еще на 2, мы получим всего 2*3=6 кусков.
Еще одна полезная связь между средним арифметическим и средним геометрическим открывается, если мы возьмем логарифм от среднего геометрического:
Сравним это с выражением для среднего арифметического:
То есть, логарифм среднего геометрического нескольких величин является средним арифметическим их логарифмов.
Таким образом, порядок симметрии множества 3:1 является средним геометрическим двух чисел: 1 и 2:
Это первый выведенный нами настоящий не-целочисленный порядок симметрии, и он подчеркивает причины, по которым лучше говорить не о дробных симметриях, а о не-целочисленных. Корень из 2 - одно из первых чисел, для которых была установлена их иррациональность, то есть, непредставимость в виде целочисленной дроби. Этот факт установили еще древние, формулируя это свойство как несоразмерность стороны квадрата и его диагонали - в квадрате единичного размера длина диагонали составляет как раз корень из 2. Множество 3:1 имеет иррациональный, а не дробный порядок симметрии.
Для поддержки воображения полезно сопоставить связь между стороной единичного квадрата и его диагональю с множествами, обладающими соответствующими порядками симметрии:
Тут стороне квадрата, имеющей единичную длину соответствует множество, обладающее порядком симметрии 1 - то есть, континуум, не подвергавшийся дроблениям. А диагонали соответствует двух-объектное множество 3:1, которое имеет порядок симметрии корень из 2.
Обобщим полученный результат. Пусть мы имеем двух-объектное множество, в котором объекты соотносятся как Q:1, где Q - целое число. Тогда не трудно выяснить, что подсчитанный изложенным методом порядок симметрии этого множества равен
При росте неоднородности множества, то есть, при росте Q, порядок симметрии снижается от 2 в пределе достигая 1. Наоборот, при Q=1, то есть, для классически симметричного множества 1:1, порядок симметрии оказывается равным 2, что совпадает с классическим значением.
Выводим формулу не-целочисленных симметрий
Пусть мы имеем множество, образованное k объектами, имеющими массы m1, m2, m3,... mk. Найдем общий метод вычисления порядка симметрии для этого множества.
Для простоты получим этот метод, рассматривая пример трех-объектного множества 2:1:1:
Приняв, что масса всего множества равна 1, получится, что массы объектов равны m1 = 1/2, m2 = 1/4, m3 = 1/4. Условимся, что объекты нумеруются в порядке уменьшения массы.
Мы ищем такой набор дроблений с коэффициентами 1,2 и 3 (ясно, что большие коэффициенты дробления рассматривать не надо - предельный возможный коэффициент равен количеству объектов множества), который бы в совокупности давал множество 2:1:1:
Обозначим количество одинарных дроблений как a, бинарных - как b, и тринарных - как c. Тут a, b, с - целые числа. При попытке дробления с вероятностью a/(a+b+c) случается одинарное дробление, с вероятностью b/(a+b+c) - бинарное, с вероятностью c/(a+b+c) - тринарное.
Прямой подсчет цветных областей, соответствющих первому, второму и третьему объекту множества позволяет записать систему линейных уравнений:
Преобразуя, получим
Массы m1, m2, m3 нам известны. Нужно найти такие целые a, b, c, при которых бы эта система уравнений выполнялась бы. Сделать это не трудно, если массы выражены как целочисленные дроби. Например, у нас это m1 = 1/2, m2 = 1/4, m3 = 1/4. Подведем их под общий знаменатель: m1 = 2/4, m2 = 1/4, m3 = 1/4. Этот знаменатель и есть величина a+b+c. Подставляем в систему:
Отсюда a=1, b=0, c=3. То есть, множество 2:1:1 получается как вероятностное усреднение одного одинарного дробления и трех тринарных дроблений:
Значит, порядок симметрии для множества 2:1:1 равен геометрическому среднему чисел 1,3,3,3:
Но вернемся к общему выводу. Обозначив общий знаменатель как Z=a+b+c, мы можем записать систему как
Тогда порядок симметрии
Мы избавляемся от общего знаменателя в выражении, и теперь можем вычислять порядок симметрии для любого количества любых масс, даже если они не представляются как рациональные дроби и у них нет общего знаменателя. Окончательное выражение порядка симметрии для множества из k объектов выглядит так:
(Если множество состоит из k объектов, масса объекта mk+1 принимается равной нулю.) Обратим внимание, что массы 1) нумеруются в порядке убывания, 2) берутся нормированными, то есть, пересчитываются так, что общая масса множества равна единице. Легко убедиться, что для однородных дроблений результат совпадает с классическим целочисленным порядком симметрии - уравнение обратно совместимо с классическими представлениями.
Это замечательное выражение, которое автор искал долгое время. Но пришлось пройти большой путь, прежде чем удалось найти нужную идею для его вывода.
Порядок зеркальной симметрии
Классическая теория симметрии различает много разных типов симметрий. Простейшим типом является, конечно, симметрия вращения: если геометрическая фигура при повороте вокруг некоторого центра на угол 360/n, где n - целое число, совпадает сама с собой, она имеет порядок симметрии равный n. Например, следующая фигура имеет порядок симметрии вращения 2:
Но рассмотрим чуть-чуть модифицированную фигуру:
Она обладает только порядком симметрии вращения 1, потому что может совпасть сама с собой только при повороте на 360 градусов. В этом есть что-то неудовлетворительное - мы ведь видим, что фигура не менее симметрична, чем предыдущая. Действительно, в ней имеется зеркальная симметрия относительно вертикальной оси. Как же зеркальная симметрия соотносится с симметрией вращения? Можем ли мы вычислить ее порядок также, как мы вычисляем порядок симметрии вращения?
Классическая теория симметрий отвечает на эти вопросы отрицательно: симметрия вращения и зеркальная симметрия не сопоставимы друг с другом, у зеркальной симметрии не может быть порядка. Однако, наше новое обобщенное уравнение порядка симметрии позволяет дать другой ответ.
Положим, что множество может состоять не только из положительных масс, но и из отрицательных. Рассмотрим множество, образованное двумя объектами, массы которых соотносятся как 1:-1 - по очевидным причинам мы можем назвать такое множество зеркально симметричным. Вычислим его порядок симметрии с помощью нашей новой формулы. Для этого нам сначала нужно нормировать массы - то есть, так их масштабировать, чтобы их суммарная масса равнялась бы 1. Очевидно, что мы не сможем это сделать прямо - сумма масс двух объектов будет всегда равна нулю. Однако, изменим правило нормирования: пусть нам лишь нужно, чтобы сумма модулей масс объектов равнялась 1. Тогда m1 = 1/2 и m2 = -1/2.
Получим
То есть, порядок зеркальной симметрии равен 1/2.
Поправка от 4.06.2013
В действительности порядок симметрии зеркального множества равен мнимой единице. Симметрия с порядком 1/2 только похожа на зеркальную, но ею не является. Тут мы получили не верный результат, поскольку не верно использовали формулу порядка симметрии, которая в присутствии отрицательных масс выглядит иначе. Подробнее - в Прологе 95.
Некоторые интересные примеры
Освоим наш новый инструмент - не-целочисленные симметрии - посчитав порядок симметрии для некоторых множеств, заданных прямо, перечислением масс объектов, или заданных с помощью статистики дроблений. Начнем со второго варианта.
Пример 1: плоское дробление континуума
Пусть мы имеем набор дроблений с коэффициентами от 1 до k, в котором каждый тип дроблений встречается равновероятно. Как окажутся распределены массы объектов множества - а их, очевидно, будет k - в результате вероятностного усреднения этих дроблений, и каким будет порядок симметрии множества?
Для начала ответим на второй вопрос. Не трудно выяснить, что с ростом k порядок симметрии множества линейно растет, так что
Вывод очень не сложен. (Вообще, тут результаты получаются относительно простой математикой, и автор решил не прятать аналитические выкладки в отдельное приложение, как обычно.) Порядок симметрии равен просто геометрическому среднему от чисел 1,2,3... k (поскольку все дробления равновероятны):
Заменяя факториал приближением Стирлинга, получим:
С ростом k второй множитель быстро приближается к единице, так что получается
Этот результат интересно сравнить с порядком симметрии множества, состоящего из k одинаковых объектов, то есть, соотносящихся друг с другом в пропорции 1:1:1:1... Такое множество является симметрическим в классическом смысле и его порядок симметрии равен количеству объектов:
В обоих случаях порядок симметрии растет линейно с ростом количества объектов, но различаются линейные коэффициенты. Удобно говорить об удельной симметрии объектов: это порядок симметрии множества, деленный на число объектов в нём S/k. Тогда для множества 1:1:1:1... удельная симметрия равна единице, а в примере, который мы сейчас разбираем, она равна величине 1/e.
Так какое же множество объектов получается при такой статистике дроблений? Оказывается, получается экспоненциальное распределение масс объектов, отвечающее при достаточно больших k уравнению частотного распределения
Экспоненциальные распределения - результат случайного плоского дробления континуума. Если мы возьмем кусок бумаги и начнём его случайно рвать на части, мы получим экспоненциальное распределение размеров кусков. Теперь мы получаем содержательную трактовку плоского случайного дробления: в нём равновероятны однородные дробления со всеми коэффициентами. Или, несколько фигурально, экспоненциальное распределение - результат равномерного смешивания всех типов симметрии. Тут, конечно, приходит в голову аналогия с белым шумом, который является равномерной смесью колебаний всех частот. Экспоненциальные множества - "белый шум симметрий."
Выведем этот результат. По очереди посчитаем ожидаемую массу k объектов множества:
Масса первого объекта соответствует площади розовых сегментов. Приняв, что площадь одной окружности равна единице, получим общую "розовую площадь"
Она оказывается равной гармоническому числу от k. Точно также прямо считая площади цветных сегментов, получим, что объекту с номером i соответствует площадь
Последнему по номеру, самому маленькому объекту множества соответствует площадь 1/k. Но мы можем нормировать массы множества так, что самый малый объект имел бы массу 1 - так нам привычнее. Для этого нужно умножить на k все площади. В результате мы получаем, что масса объекта с номером i (при нумерации по убыванию масс) равна
Альтернативно можно нормировать массы так, что множество в целом имеет массу 1. Для этого нужно поделить площади цветных областей, соответствующих объектам множества на общую площадь всех фигур - она, естественно, равна k. То есть, мы не умножаем площади на k, а наоборот, делим на k:
Но нам привычнее полагать, что масса самого малого объекта равна единице, поэтому будем придерживаться первого способа нормировки. Заменим гармонические числа приближением Эйлера Hx ≈ ln(x) + γ, которое выполняется при не очень малых x:
Поскольку объекты у нас пронумерованы в порядке уменьшения массы, это, по сути, уравнение рангового распределения объектов по массам:
(Чтобы оно было вполне корректным, необходимо исчислять ранги начиная с 2 - но нас этим уже не удивишь.) Уравнение имеет форму обычного логарифмического рангового распределения, с которыми мы многократно встречались. В частотном представлении это экспоненциальное распределение (получить его из рангового можно, например, следуя простому методу, описанному тут, в параграфе 3.):
Пример 2: натуральный ряд
Пусть мы имеем множество, состоящее из k объектов, массы которых соотносятся в пропорции 1:2:3:...:k - то есть, массы образуют линейно растущую последовательность. Каким будет порядок симметрии этого множества в зависимости от k? Ответ, в свете полученных выше результатов, любопытен:
Чтобы прямо воспользоваться формулой порядка симметрии, нам нужно нормировать массы так, что общая масса множества равнялась бы единице. Получаем, что объект i имеет массу
Отсюда
Значит, порядок симметрии
Тут как H(k) обозначен так называемый гиперфакториал, он вычисляется как
Для больших k действительно асимптотическое приближение гиперфакториала
где A = 1.282... - так называемая постоянная Глейшера-Кинкелина. Из этого выясним, что при достаточно больших k порядок симметрии:
Статистика дроблений, приводящих к развитию множества вида 1:2:3:4... также оказывается весьма простой:
Таким образом, линейно возрастающее множество объектов имеет удельную симметрию в некотором смысле лежащую посредине между простым однородным множеством и экспоненциальным множеством:
И интересно видеть, как почти повсюду в наших поисках снова и снова мелькает наше самое "любимое" число - число e.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER