КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 93. Спектры симметрии
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 93. Спектры симметрии
 
Роман Уфимцев
29 мая 2013 года, Калининград
В предыдущем Прологе мы отклонились от основной тропы, решив, наконец, разобраться с тем, как должны вычисляться не-целочисленные симметрии. Эта тема рефреном сопровождала нас на протяжении всех Прологов, но лишь теперь, найдя необходимую идею для исчисления не-целочисленных симметрий, мы смогли решить эту проблему.
Речь идет о возможности вычислять порядок симметрии для неоднородных множеств - то есть, состоящих из объектов разной массы/площади. С классической точки зрения такие множества лишены симметрии, или, если рассматривать множество как фигуру, состоящую из кусков разного размера, имеют тривиальную симметрию вращения порядка 1. Однако, мы полагали, что это не удовлетворительная точка зрения, которая лишает нас возможности использовать огромный, фундаментальный потенциал симметрии как меры, характеризующей форму объектов или явлений. Поэтому мы искали способ исчисления не-целочисленных симметрий.
Ключом к решению стал вероятностный подход, когда мы рассматриваем неоднородные множества как результаты статистического усреднения однородных, симметричных дроблений различного типа. Например, если в половине случаев континуум делится на две равные части, а в половине других - не делится ("делится на одну часть"), то в среднем при дроблении континуумов мы получим множество, состоящее из двух объектов, чьи массы относятся как 3:1. В результате мы можем говорить о том, что множество 3:1 обладает порядком симметрии, находящемся в промежутке между 1 и 2:
Но если множество объектов может быть представлено как результат усреднения различных типов целочисленных однородных дроблений, то возникает возможность оценивать роль того или иного типа симметрии (связанного с соответствующим однородным дроблением) среди прочих. Например, множество 2:1:1, как мы установили в предыдущем Прологе, может быть получено смешением дроблений с симметрией 1 и дроблений с симметрией 3 в пропорции 1:3:
То есть, роль дробления 3 в три раза значительнее, чем роль дробления 1 - оно должно случаться в три раза чаще. Если мы построим гистограмму значимости или вероятности того или иного целочисленного дробления, мы получим диаграмму, которая по сути представляет собой симметрийный спектр множества:
Совершенно также, как частотные спектры отражают мощность гармонических колебаний той или иной частоты в некотором смешанном сигнале, спектр симметрии отражает роль, значимость, мощность того или иного целочисленного типа симметрии в строении множества объектов.
Может быть, аналогия между частотными спектрами сигналов и симметрийными спектрами множеств глубже, чем кажется. А пока, по аналогии, мы назовем отдельные целочисленные симметрийные компоненты, из которых складывается общая симметрия множества симметриками - по аналогии с гармониками, гармоническими компонентами, на которые может быть разложен любой сигнал. Симметрики - элементарные компоненты любой не-целочисленной симметрии, на которые ее можно разложить однозначным образом.
Как конкретно вычисляются симметрики? Какими особенностями обладает симметрийный спектр различных множеств? Какие более содержательные параллели имеются между симметрийными и обычными, частотными спектрами - всем этим мы и займемся в этом Прологе.
Симметрики
Посмотрим на нашу формулу порядка симметрии:
Для наглядности раскроем произведение:
Каждый множитель в общем произведении представляет тот или иной целочисленный тип симметрии, его вклад. Величина этого вклада определяется показателем, например, вклад целочисленной симметрии порядка 2 определяется показателем при соответствующем множителе, он равен
Эту величину мы и будем именовать мощностью симметрики 2 (и обозначать как s(2)) - величиной, характеризующей силу симметрии второго порядка, как она проявилась в формообразовании множества. Как видим, она равна произведению порядка симметрики и разности масс второго и третьего объектов множества. Трудно поверить, что именно разность масс второго и третьего по массе объектов имеет какое-то особое отношение к мощности симметрии порядка 2 в абсолютно любых множествах - но дело обстоит именно так. Точно также, разность между третьим и четвертым объектом множества имеет особое отношение к симметрии порядка 3, и т.д.
Теперь формула порядка симметрии может быть представлена с использованием симметрик:
Заметим, что если суммарно множество объектов имеет массу 1 - а именно так мы должны нормировать массы для правильного использования в формуле порядка симметрии - сумма мощностей всех симметрик тоже всегда равна 1:
Таким образом, симметрийный спектр представляет собой ничто иное как диаграмму частотного распределения тех или иных целочисленных дроблений, в результате которых при вероятностном усреднении развивается анализируемое множество.
Предельной не-нулевой симметрикой любого множества является симметрика с номером, равным количеству объектов множества. При этом она обязана быть не-нулевой. Таким образом, содержательной частью симметрийного спектра являются симметрики с номерами от 1 до k, где k-количество объектов множества. Все симметрики с более высокими номерами имеют нулевую мощность.
Еще кое-что. Чтобы при расчете симметрийного спектра или порядка симметрии не забывать нормировать массы объектов множества так, чтобы их сумма равнялась единице, можно встроить нормировку прямо в выражение симметрики:
Обратимся к примерам симметрийных спектров. Конечно, простейшим симметрийным спектром обладает однородное множество. Такое множество имеет целочисленный порядок симметрии k, равный количеству объектов в нем. Симметрийный спектр имеет один единичный пик, соответствующий симметрике k. Все остальные компоненты равны нулю:
Совершенно уместно провести аналогию с частотными спектрами такой же "единично-пиковой" формы - его имеют сигналы, состоящие только из одной гармонической компоненты, то есть, представляющие собой чистую синусоиду. Пик в частотном спектре соответствует частоте этой синусоиды.
Далее, в конце предыдущего Пролога мы рассмотрели множество вида 1:2:3:...:k. Его симметрийный спектр линейно растет с ростом номера симметрики:
Если изобразить ранговое распределение объектов такого множества по массам, мы увидим как бы зеркальное отражение симметрийного спектра:
Довольно контр-интуитивно, что максимальной мощностью обладают компоненты симметрий высокого порядка. В линейном множестве "высокочастотные симметрии" более значимы, нежели "низкочастотные".
Теперь будет полезно проследить, как изменение симметрийного спектра влияет на форму множества. Что будет, если мы обнулим высшие симметрики спектра - например, оставим неизменными только имеющие номер от 1 до 5? Не трудно догадаться, что в этом случае из множества исчезнут объекты с номерами больше чем 5, а оставшиеся будут распределены по-прежнему линейно:
Что, если мы наоборот, обнулим "низкочастотные" симметрики с номерами от 1 до 5? В этом случае первый симметрийный компонент имеет номер 6, и это приводит к тому, что во множестве появляется 6 одинаковых крупнейших объектов - они образуют плоское плато в начале рангового распределения объектов по массам:
Вообще, если во множестве имеется X одинаковых крупнейших объектов, то все симметрики от 1 до X-1 в его спектре симметрий равны нулю.
Симметрики и ранговые распределения
Прежде, чем мы обратимся к более сложным и более интересным примерам симметрийных спектров, разберемся с тем, как симметрики связаны с ранговыми распределениями объектов исследуемого множества - это нам серьезно упростит анализ спектров.
Взглянем на выражение мощности симметрики i:
В него входит разность mi - mi+1 - то есть, разность масс объектов двух соседних рангов. Но ведь это ничто иное, как дифференциал (взятый со знаком минус) уравнения рангового распределения объектов множества по массам. Значит, приблизительно, для больших рангов i (для больших номеров симметрик), эта разность может быть представлена как минус производная уравнения рангового распределения. Получается:
Тут m(i) - функция рангового распределения объектов множества, а точка означает, что мы берем производную от этой функции.
Мы теперь можем получать мощности симметрик прямо, просто взяв производную уравнения рангового распределения объектов множества по массам - это очень упрощает дело!
Проверим этот метод на случае множества 1:2:3:4:...k, разобранном выше. Уравнение рангового распределения этого множества - если самый малый объект имеет массу 1 - отвечает выражению
Производная равна
Общая масса множества
Подставляем эти результаты в новое уравнение мощности симметрики:
Мы получили в точности тот же результат, который мы выше вычисляли прямым, более сложным способом. Теперь, вооружившись этим простым методом расчета спектра, займемся более интересными множествами.
Цветные симметрии
Как мы знаем, в отношении особенностей частотного спектра мощности три типа сигналов или шумов представляют особый интерес. Во-первых, это белый шум - результат абсолютно случайных процессов, подобных последовательному выбору произвольного случайного числа. Белый шум характеризуется плоским частотным спектром - мощность всех гармонических компонентов в среднем одинакова:
Во-вторых, в разных явлениях широко распространен коричневый шум, связанный с процессами случайного блуждания. Спектр этого шума укладывается на степенную функцию с показателем α = 2:
Наконец, самым интересным и загадочным является розовый шум - его спектр укладывается на степенную функцию с показателем α = 1:
Не повторяя всего многого, что мы уже говорили об этом шуме, повторим лишь главное: мы полагаем, что его присутствие в каком-то явлении или феномене является признаком, сигнатурой когнитивного порядка. Это значит, в явлении действуют не только закономерности, обусловленные свойствами материи, но и закономерности, источником которых является какое-то сознание.
В отличие от белого и коричневого шума, которые мы считаем спутниками материальных, физически обусловленных явлений, розовый шум свидетельствует о присутствии когнитивно обусловленных механизмов, о действии осознания - во всяком случае, так гласит наша гипотеза.
Теперь в наших руках новый инструмент анализа - спектры симметрий. Есть ли среди этих спектров какие-то особенные, которые по своей роли можно было бы сравнить с тремя цветными частотными спектрами?
Ответ утвердительный. Более того, сходство между тремя "особыми" симметрийными спектрами и тремя "особыми" частотными настолько прямое, что вполне уместно говорить о трех цветных типах не-целочисленной симметрии - белой, коричневой, розовой.
Рассмотрим множество, которое подчиняется ранговому логарифмическому распределению вида
Мы хорошо знакомы с ним - в частотном представлении это обычное экспоненциальное распределение:
В предыдущем Прологе для похожего распределения мы установили, что для его получения все типы симметрий равномерно смешиваются, имеют одну мощность. Мы сравнили экспоненциальное множество с белым шумом. И это сравнение вполне содержательно.
Оценим вид уравнения симметрийного спектра для этого множества нашим новым методом.
Будем полагать, что параметр b велик (сравним с числом объектов k или больше) - в ином случае распределение приближается к однородному, и это искажает спектр симметрии соответствующим образом. Например, рассмотрим экспоненциальное множество, состоящее из 200 объектов с параметром b=200:
Само распределение имеет характерный вид, и его симметрийный спектр близок к плоскому. Но уменьшим параметр b до 1:
Распределение выглядит не полным - оно будто резко обрывается. Этот обрыв приводит к появлению в спектре симметрии пика мощности последней симметрики, которая многократно превышает остальные. В пределе, уменьшая b до нуля, мы придем к однородному распределению, для которого все симметрики кроме последней равны нулю. Поэтому, говоря о "чистых" или "полных" экспоненциальных распределениях, мы будем иметь в виду те, для которых параметр b велик.
Вычислим производную от ранговой функции. Она равна
Отсюда уравнение симметрийного спектра:
(Тут мы ради простоты не раскрываем величину Σm - общую массу множества.)
То есть, мощность всех симметрик одинакова, и зависит только от параметра распределения b и количества объектов во множестве k. Таким образом, множества, массы объектов в которых соответствуют экспоненциальному частотному распределению являются прямым симметрийным аналогом белого шума, и мы вполне можем говорить, что такие множества характеризуются белой симметрией.
Более точные и полные результаты, касающиеся спектра симметрий и общего порядка симметрии экспоненциальных множеств - в математическом приложении, см. параграф 1. Белая симметрия
Если плоский симметрийный спектр мы связали с белой симметрией, то с розовой симметрией следует связать симметрийный спектр, имеющий вид степенной функции с показателем -1.
Выясняется, что розовой симметрией обладает множество объектов, массы которых соответствуют степенному ранговому распределению с тем же показателем -1:
Уравнение симметрийного спектра для такого множества:
Это множества, отвечающие закону Зипфа, и теперь к прочим их замечательным свойствам мы добавляем еще одно - они обладают розовой симметрией, которая по своей роли в мире симметрий по видимому аналогична спектрам розового шума в мире колебаний. Это довольно знаменательно: раньше мы говорили о двух основных сигнатурах когнитивного порядка. Первая, "β=1" - это соответствие явления закону Зипфа. Вторая, "α = 1" - это соответствие шумов явления розовому спектру. Теперь мы можем говорить об одной единой сигнатуре, объединяющей как частотные так и структурно-симметрийные свойства явления: сигнатура когнитивного порядка - это розовый спектр явления, частотный или симметрийный.
(Вообще, мы приближаемся к выводу о том, что симметрийные спектры - это прямой структурно-пространственный аналог частотных спектров, которые используются главным образом для анализа процессов во времени. Хотя частотные спектры и анализ Фурье применяется и для исследования пространственных структур - например, для анализа изображений - возможно, для этого более "аутентичным" инструментом являются симметрийные спектры. На эту тему нам следует серьезно поразмыслить.)
Общий порядок симметрии "розового" множества при больших k растет пропорционально корню от k:
То есть, его порядок симметрии увеличивается гораздо медленнее, чем симметрия экспоненциальных, линейных или однородных множеств, а удельная симметрия объектов стремится к нулю.
Аналитические выкладки, касающиеся розовой симметрии, см. в приложении, параграф 2. Розовая симметрия.
Последняя "особая симметрия" - коричневая.
Коричневой симметрией обладает множество объектов, массы которых соответствуют степенному ранговому распределению с показателем β=2:
Для такого множества уравнение спектра симметрий (при большом количестве объектов во множестве k и для достаточно больших i):
Очень интересной особенностью этого множества является тот факт, что с ростом k его общий порядок симметрии достигает предела, перестает расти. Конкретно, он равен ≈ 2,434...
Мы можем привести только значение предела, оцененное численно - его аналитическое вычисление является трудной, а может и не разрешимой математической задачей. Но легко доказать, что предел действительно существует. См. подробнее в математическом приложении, параграф 3. Коричневая симметрия.
Иногда "цветными" называют любые шумы, частотные спектры которых имеют форму степенной функции:
По аналогии, мы можем говорить о любых множествах, спектры симметрии которых укладываются на степенную функцию как о "цветных". Если множество имеет ранговое распределение степенного вида
То его степенной спектр имеет точно такую же степенную форму c тем же показателем:
Таким образом, можно говорить о множествах, подчиняющихся степенным распределениям как о "цветных" в смысле их симметрии. Заметим, что степенными распределениями обычно обладают фрактальные структуры, так что фракталы характеризуются цветной симметрией.
Например, взглянем на ковёр Серпинского как на множество объектов, массы которых соответствуют площадям дыр в ковре:
В одном из самых первых Прологов, знакомясь с фаркталами и степенными распределениями, мы установили, что если площадь самой большой дыры равна 1, статистика дыр в ковре Серпинского:
Отсюда массы объектов множества (то есть, площади дыр), выстроенные по рангам образуют ряд:
Для вычисления спектра симметрии и порядка симметрии множества нам нужно нормировать массы так, чтобы множество в целом имело массу 1. Глядя на ковёр Серпинского, можно догадаться, что его общая площадь (а он представляет собой "сплошные дырки") в четыре раза больше площади крупнейшей дыры, отсюда нормированный ранговый ряд масс:
Теперь, зная ранговое распределение масс, мы можем рассчитать симметрийный спектр:
Обратим внимание, что разность mi - mi+1 для большей части значений i равна нулю - потому что множество состоит из нескольких наборов одинаковых масс. Только для i = 1, 4, 13, ... разности не равны нулю. Простой анализ позволяет установить, что для дыр ковра Серпинского не равны нулю только симметрики с номерами вида
Для этих номеров разность mi - mi+1 равна
Этого достаточно, чтобы построить спектр симметрии множества, и он в целом действительно укладывается на степенную функцию:
Обратим внимание, что спектр не сплошной - в нем не равны нулю только симметрики с номерами 1, 4, 13... Для них степенное приближение:
Показатель степени β=ln(4)/ln(3) - 1.
Интересно, что первые не-нулевые симметрики, с номерами 1 и 4, во-первых, отклоняются от степенного спектра, а во-вторых, оказываются равны по мощности: s(1) = s(4) = 3/16. Это действительно интересное обстоятельство, которое может иметь какой-то особый смысл с точки зрения симметрии идеальных фракталов. К слову, ковёр Серпинского в целом имеет треугольную форму - а симметрика с номером 3 у нас равна 0 - то есть, роль симметрии порядка 3 в структуре множества нулевая. Это парадоксально, требует некоторого осмысления, но с видимой симметрией идеальных фракталов (в данном случае она имеет порядок 3) связана разность между номерами первых не-нулевых симметрик: у нас это 4-1 = 3.
Общий порядок симметрии дыр ковра Серпинского не выражается в закрытом виде, он равен ≈ 52,55, и оказывается близким величине e4.
Завершая разговор о цветных симметриях, отметим, что для степенного множества
с ростом k общий порядок симметрии имеет предельную величину, если β > 1. При β = 1 c ростом k общий порядок симметрии множества, как мы уже говорили, растет как корень от k. При еще меньших значениях β порядок симметрии растет с ростом k быстрее, и при приближении β к нулю начинает расти пропорционально k - это и понятно, ведь в пределе мы получаем однородное множество, а его порядок симметрии растет пропорционально k.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER