До сих пор мы смотрели на симметрию как на свойство структуры, формы некоторого заданного множества - неизменного, статичного. Однако, такой взгляд на симметрии не единственно возможный, и может быть, не лучший. Мы живем в изменяющемся, трансформирующемся мире, и статичные формы в нем - скорее исключение, чем правило. Даже статичные формы явлений всегда являются результатом генезиса формы, продуктом преобразований. И в числе прочего, преобразования формы явлений влияют и на их симметрию.

Рассмотрим простой пример - деление живой клетки:

До начала деления мы имеем одну клетку, после окончания - две. Если отвлечься от тонких деталей, в начале мы имели множество с порядком симметрии S_t = 1, в конце - с порядком симметрии S_t+1 = 2. Это изменение можно записать так:

Тут Т - какая-то функция преобразования. Не трудно понять, какая именно. Рассмотрим деление, происходящее одновременно с двумя клетками:

До деление порядок симметрии множества был равен 2, после - 4. Но ясно, что преобразование, которое произошло, было точно таким же, то есть, получаем:

Только одна функция T удовлетворяет этим равенствам: это просто умножение на 2:

Таким образом преобразование симметрии, которому подвергается набор живых клеток в процессе деления - это умножение на 2. О числе 2 тут естественно говорить как о собственном порядке симметрии преобразования, как о его симметрийной характеристике. Тогда в целом процессы преобразования формы явлений происходят в соответствии с простым уравнением

гдe S_t и S_t+1 - порядок симметрии явления до и после преобразования, а S_T - собственный порядок симметрии преобразования.

Может показаться, что мы говорим о каких-то тривиальных вещах, как-то приукрашиваем обычное правило умножения чисел. И так было бы на самом деле, если бы мы теперь не имели в своем распоряжении способ исчисления не-целочисленных симметрий. Именно потому, что без возможности говорить о не-целочисленных симметриях попытки формализации преобразований формы явлений приводят к школьной таблице умножения, мы не поднимали эту тему раньше.

И прежде всего, оказывается, что "тривиальное" уравнение преобразования симметрий

верно не только для целочисленных, простейших симметрий. Разберем пару интересных примеров - заодно нам станет понятнее, что такое симметрии как преобразования.

Рассмотрим бесконечное множество, массы объектов в котором подчиняются геометрическому ранговому распределению:

Это нормированное по массам множество, поскольку

Такого рода геометрически распределенные множества, например, описывают длину витков логарифмической спирали, и вообще, форму спиральных фракталов.

Уравнение симметрийного спектра для этого множества:

Отсюда порядок симметрии всего множества (при очень большом количестве объектов)

К сожалению, результат не выражается в простом виде, так что будем довольствоваться численно полученным значением S:

Теперь подвергнем множество такому же делению, которому выше подвергались живые клетки. Каждый объект превратится в два одинаковых, вдвое меньше массы. Мы получим ряд:

Как же изменится его порядок симметрии?

Сначала вычислим новый спектр симметрии. Поскольку теперь у нас есть пары одинаковых объектов, не-нулевыми окажутся только четные компоненты спектра:

В этих условиях вычисление порядка симметрии S сводится к решению уравнения:

То есть, порядок симметрии увеличился ровно вдвое: уравнение преобразования симметрии действует и для не таких уж тривиальных не-целочисленных симметрий и фрактальных множеств. Причем не-целочисленной может быть и симметрия множества, и собственная симметрия преобразования, и та и другая одновременно.

Возьмем простейший, первый наш пример не-целочисленной симметрии, множество 3/4:1/4:

Мы знаем, что его порядок симметрии равен √2. Применим к этому множеству преобразование, которое характеризуется той же не-целочисленной симметрией. То есть, к не-целочисленно симметричному множеству мы применим не-целочисленно симметричное преобразование.

Что произойдет?

Если бы мы подвергали множество 3/4:1/4 целочисленному преобразованию, например, с порядком симметрии 2, каждый объект исходного множества разделился бы пополам. Предположим по прямой аналогии, что наше преобразование должно разделить каждый объект в пропорции 3/4:1/4. Тогда после преобразования мы получим множество

Вычислим его порядок симметрии:

Хм. Если бы была верна наша формула преобразования симметрии, мы бы получили симметрию

А мы получили что-то совсем иное. Где же ошибка?

Чтобы ее найти, вспомним, что в основе нашего исчисления не-целочисленных порядков симметрии - вероятностный подход. Это значит, что и результаты преобразований множеств мы должны рассматривать с этой же точки зрения.

Мы знаем, что множество 3/4:1/4 можно представить как результат вероятностного усреднения двух типов целочисленного однородного дробления:

Но точно также, вероятностно, следует смотреть и на преобразование: Если исходное множество с вероятностью 1/2 представляет собой один объект массы 1, и с вероятностью 1/2 - два объекта с массами 1/2, то преобразование с веротностью 1/4 приведет к появлению множества, состоящего из 1 объекта массы 1, с вероятностью 1/2 - двух объектов с массами 1/2 и с вероятностью 1/4 - к четырем объектам с массой 1/4:

Нам остается только вероятностно усреднить результаты применения преобразования, точно также, как мы делали, когда знакомились с дробными симметриями. Массе первого объекта соответствуют розовые части фигур, второму - зеленые, третьему - голубые, четвертому - желтые. Отсюда получаем, что в результате преобразования мы на самом деле получим множество

Его порядок симметрии:

Теперь все встало на свои места.

Это интересный результат: мы впервые видим неоднородное множество, имеющее целочисленную симметрию. Эти два множества оба имеют симметрию 2:

Дробление континуума - очень полезная своей обобщенностью и универсальностью модель, к которой мы постоянно прибегаем на протяжении Прологов. Вот и теперь, обсуждая симметрии, мы представляем их в терминах дробления континуума: например, если континуум раздроблен на два равных куска, мы говорим о том, что дробление приводит к образованию множества с порядком симметрии 2, и само преобразование имеет тот же порядок симметрии.

Однако, с самого начала мы различали два принципиально разных типа дроблений континуума - плоское и каскадное. При плоском дроблении его результатом становится просто множество кусков исходного континуума. При этом, естественно, общая площадь/масса кусков точно равна площади/массе исходного континуума.

При каскадном дроблении мы подвергаем континуум нескольким фазам дробления: например, сначала он делится на две части - это первая фаза. Затем каждый из получившихся кусков вновь делится на две части - это вторая фаза, и т. д. Результатом каскадного дробления мы считаем не те куски, которые получатся в конечном итоге, а все куски континуума, появлявшиеся на всех фазах дробления - включая и исходный континнум. Он сам и все его фрагменты, появлявшиеся на всех фазах дробления, входят в окончательное множество. Ясно, что общая масса множества при каскадном дроблении равна массе исходного континуума, умноженная на количество каскадов, этапов дробления (плюс один).

Множества, полученные плоским и каскадным дроблениям принципиально различаются по типичным распределениям площадей/масс объектов. Но к этому мы теперь добавим еще и различие в модели преобразования симметрий, связанной с каждым типом дробления: мы разберемся тем, что такое плоское и каскадное преобразование симметрии.

Возьмем множество, состоящее из одного-единственного объекта, его порядок симметрии 1. Применим к нему преобразование, имеющее порядок симметрии 2, то есть, подвергнем его разделению на две равных части:

Ясно, что это преобразование совершенно аналогично картине плоского бинарного дробления континуума. Его результатом является множество с порядком симметрии 2, в полном соответствии с нашей формулой преобразования симметрии:

Однако, если мы будем говорить о каскадном дроблении, результат другой. В результате каскадного преобразования мы получим множество 1/2, 1/4, 1/4:

Оно имеет порядок симметрии 3^3/4. Очевидно, что наша формула преобразования тут не годится - она описывает лишь плоские преобразования симметрии. Для описания каскадных преобразований необходима какая-то другая.

Увы, ее нельзя записать в простом виде, позволяющем прямо получить из порядка симметрии исходного континуума порядок симметрии каскадного результата. Можно лишь точно проследить, как изменяются отдельные симметрики при переходе от плоского к каскадному преобразованию. Впрочем, мы еще займемся этим вопросом, а пока рассмотрим одну простую модификацию каскадного дробления.

Предположим, что по какой-то причине объекты, куски континуума, возникающие в результате очередного каскада дробления оказываются по площади/массе равны исходному континууму:

То есть, если масса исходного континуума была равной 1, то в результате каскада бинарного дробления мы получили два объекта с такими же массами 1. Естественно, что, во-первых, в этом случае речь может идти только о преобразовании с целочисленной симметрией - ведь в результате получаются однородные объекты. А во-вторых, в результате из одного объекта у нас получается три, а не два. Обозначим это ясно: если бы преобразование было плоское, бинарное дробление дало бы нам множество с порядком симметрии 2. Но при каскадном преобразовании то же самое бинарное дробление приводит нас к множеству с симметрией 3:

Гармонические деревья - это Т-деревья, которые мы использовали для расчета гармонической информации. Их особенность заключалась в том, что узлы располагались не только на концах ветвей, но и в каждой из развилок дерева. Развитие таких Т-деревьев отличается тем, что каждая новая ветвь, каждая трансформация дерева не изменяет уже имеющейся структуры дерева, не перемещает уже разместившиеся в нем узлы, а лишь добавляет к нему новые ветви, несущие новые узлы. Это значит, что если мы хотим взглянуть на развилки в этих деревьях как на "застывшие преобразования" множества объектов, их нужно сопоставлять с порядком симметрии на единицу большим, чем тип развилки: одинарная развилка является результатом преобразования с собственным порядком симметрии 2, бинарная - с преобразованием, имеющим порядок симметрии 3, и т. д.

Например, дерево, в котором имеется одна одинарная развилка и одна бинарная с точки зрения "вшитых" в структуру дерева преобразований и их симметрий, имеет порядок симметрии, лежащий в диапазоне между 2 и 3:

Одинарная развилка является результатом каскадного преобразования с собственной симметрией порядка 2, а бинарная - продукт каскадного преобразования с симметрией порядка 3:

Мы выяснили, что в гармонических деревьях в пределе статистика развилок соответствует простому геометрическому частотному распределению:

Это значит, что статистика каскадных преобразований, их симметрий, соответствует распределению:

Мы говорили, что симметрийные спектры - это, по сути, частотные распределения симметрик. Таким образом, это уравнение есть уравнение симметрийного спектра каскадных преобразований, порождающих гармонические деревья:

(Мы полагаем s(1) = 0, поскольку первая симметрика соответствует "нулевым развилкам" в гармонических деревьях, то есть, узлам в концах ветвей. "Нулевые развилки" - это узлы, еще не подвергшиеся преобразованиям, связанным с ростом деревьев, поэтому они не включаются в статистику симметрии преобразований.)

Естественный вопрос: а каким является общий порядок симметрии преобразований роста в гармонических деревьях? Ответ интересен: порядок симметрии оказывается близким числу e, основанию натуральных логарифмов.

Близость порядка симметрии преобразований, порождающих гармонические деревья к числу e самым прямым образом связана с предельной близостью величины гармонической информации и информации, рассчитанной по формуле Хартли в натах - то есть, в единицах измерения информации, связанных с числом e. Но можем ли мы теперь сказать, что мерой гармонической информации являются именно наты?

Ответ - либо уверенное "да", либо сомневающееся "почти да". Автор склоняется к уверенному "да". Попросту мерой гармонической информации не может быть никакая другая единица - иначе в пределе гармоническая информация расходилась бы с информацией по Хартли - а мы знаем, что это расхождение в пределе наоборот исчезает. Почему же мы получили порядок симметрии преобразований, порождающих гармонические деревья не равным, а лишь близким числу e? Вероятно, это значит, что мы не учли какое-то обстоятельство. Время покажет, какое.

Должно существовать - и наверняка существует - преобразование, порядок симметрии которого в точности равен числу e. Применяя его ко множеству, имеющему порядок симметрии 1 (то есть, состоящему только из одного объекта), мы получим множество, порядок симметрии которого равен числу e - можно говорить, что оно будет обладать натуральной симметрией. Найти его точную форму - вот интригующая задача, которую нам предстоит решить. Автор надеялся, что шагом к решению будут гармонические деревья. Но оказалось, что они дают лишь "примерное решение", скорее только намек на правильный ответ.

Тем любопытнее его все же найти. Задача не простая, но очень интересная, ведь есть основания полагать, что не-целочисленная симметрия порядка e играет какую-то важную роль в натуральных процессах формообразования. Так ли это на самом деле, нам предстоит выяснить.

Далее: Пролог 95. Комплексные симметрии