КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 94. Преобразования симметрий
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
 
Роман Уфимцев
30 мая 2013 года, Калининград
До сих пор мы смотрели на симметрию как на свойство структуры, формы некоторого заданного множества - неизменного, статичного. Однако, такой взгляд на симметрии не единственно возможный, и может быть, не лучший. Мы живем в изменяющемся, трансформирующемся мире, и статичные формы в нем - скорее исключение, чем правило. Даже статичные формы явлений всегда являются результатом генезиса формы, продуктом преобразований. И в числе прочего, преобразования формы явлений влияют и на их симметрию.
Рассмотрим простой пример - деление живой клетки:
До начала деления мы имеем одну клетку, после окончания - две. Если отвлечься от тонких деталей, в начале мы имели множество с порядком симметрии St = 1, в конце - с порядком симметрии St+1 = 2. Это изменение можно записать так:
Тут Т - какая-то функция преобразования. Не трудно понять, какая именно. Рассмотрим деление, происходящее одновременно с двумя клетками:
До деление порядок симметрии множества был равен 2, после - 4. Но ясно, что преобразование, которое произошло, было точно таким же, то есть, получаем:
Только одна функция T удовлетворяет этим равенствам: это просто умножение на 2:
Таким образом преобразование симметрии, которому подвергается набор живых клеток в процессе деления - это умножение на 2. О числе 2 тут естественно говорить как о собственном порядке симметрии преобразования, как о его симметрийной характеристике. Тогда в целом процессы преобразования формы явлений происходят в соответствии с простым уравнением
гдe St и St+1 - порядок симметрии явления до и после преобразования, а ST - собственный порядок симметрии преобразования.
Уравнение преобразования симметрии
Может показаться, что мы говорим о каких-то тривиальных вещах, как-то приукрашиваем обычное правило умножения чисел. И так было бы на самом деле, если бы мы теперь не имели в своем распоряжении способ исчисления не-целочисленных симметрий. Именно потому, что без возможности говорить о не-целочисленных симметриях попытки формализации преобразований формы явлений приводят к школьной таблице умножения, мы не поднимали эту тему раньше.
И прежде всего, оказывается, что "тривиальное" уравнение преобразования симметрий
верно не только для целочисленных, простейших симметрий. Разберем пару интересных примеров - заодно нам станет понятнее, что такое симметрии как преобразования.
Рассмотрим бесконечное множество, массы объектов в котором подчиняются геометрическому ранговому распределению:
Это нормированное по массам множество, поскольку
Такого рода геометрически распределенные множества, например, описывают длину витков логарифмической спирали, и вообще, форму спиральных фракталов.
Уравнение симметрийного спектра для этого множества:
Интересно, что симметрики s(1) и s(2) имеют равную мощность:
В предыдущем Прологе мы рассчитывали спектр симметрии множества дыр в ковре Серпинского и обнаружили похожую особенность спектра - были равны мощности первых не-нулевых симметрик. Может быть равенство мощностей двух первых не-нулевых симметрик в спектре характерно для идеальных фракталов - как для каскадных (как ковер Серпинского, множество Кантора и пр.), так и для спиральных.
Отсюда порядок симметрии всего множества (при очень большом количестве объектов)
К сожалению, результат не выражается в простом виде, так что будем довольствоваться численно полученным значением S:
Теперь подвергнем множество такому же делению, которому выше подвергались живые клетки. Каждый объект превратится в два одинаковых, вдвое меньше массы. Мы получим ряд:
Как же изменится его порядок симметрии?
Сначала вычислим новый спектр симметрии. Поскольку теперь у нас есть пары одинаковых объектов, не-нулевыми окажутся только четные компоненты спектра:
В этих условиях вычисление порядка симметрии S сводится к решению уравнения:
То есть, порядок симметрии увеличился ровно вдвое: уравнение преобразования симметрии действует и для не таких уж тривиальных не-целочисленных симметрий и фрактальных множеств. Причем не-целочисленной может быть и симметрия множества, и собственная симметрия преобразования, и та и другая одновременно.
Возьмем простейший, первый наш пример не-целочисленной симметрии, множество 3/4:1/4:
Мы знаем, что его порядок симметрии равен √2. Применим к этому множеству преобразование, которое характеризуется той же не-целочисленной симметрией. То есть, к не-целочисленно симметричному множеству мы применим не-целочисленно симметричное преобразование.
Что произойдет?
Если бы мы подвергали множество 3/4:1/4 целочисленному преобразованию, например, с порядком симметрии 2, каждый объект исходного множества разделился бы пополам. Предположим по прямой аналогии, что наше преобразование должно разделить каждый объект в пропорции 3/4:1/4. Тогда после преобразования мы получим множество
Вычислим его порядок симметрии:
Хм. Если бы была верна наша формула преобразования симметрии, мы бы получили симметрию
А мы получили что-то совсем иное. Где же ошибка?
Чтобы ее найти, вспомним, что в основе нашего исчисления не-целочисленных порядков симметрии - вероятностный подход. Это значит, что и результаты преобразований множеств мы должны рассматривать с этой же точки зрения.
Мы знаем, что множество 3/4:1/4 можно представить как результат вероятностного усреднения двух типов целочисленного однородного дробления:
Но точно также, вероятностно, следует смотреть и на преобразование: Если исходное множество с вероятностью 1/2 представляет собой один объект массы 1, и с вероятностью 1/2 - два объекта с массами 1/2, то преобразование с веротностью 1/4 приведет к появлению множества, состоящего из 1 объекта массы 1, с вероятностью 1/2 - двух объектов с массами 1/2 и с вероятностью 1/4 - к четырем объектам с массой 1/4:
Нам остается только вероятностно усреднить результаты применения преобразования, точно также, как мы делали, когда знакомились с дробными симметриями. Массе первого объекта соответствуют розовые части фигур, второму - зеленые, третьему - голубые, четвертому - желтые. Отсюда получаем, что в результате преобразования мы на самом деле получим множество
Его порядок симметрии:
Теперь все встало на свои места.
Это интересный результат: мы впервые видим неоднородное множество, имеющее целочисленную симметрию. Эти два множества оба имеют симметрию 2:
Плоские и каскадные преобразования симметрии
Дробление континуума - очень полезная своей обобщенностью и универсальностью модель, к которой мы постоянно прибегаем на протяжении Прологов. Вот и теперь, обсуждая симметрии, мы представляем их в терминах дробления континуума: например, если континуум раздроблен на два равных куска, мы говорим о том, что дробление приводит к образованию множества с порядком симметрии 2, и само преобразование имеет тот же порядок симметрии.
Однако, с самого начала мы различали два принципиально разных типа дроблений континуума - плоское и каскадное. При плоском дроблении его результатом становится просто множество кусков исходного континуума. При этом, естественно, общая площадь/масса кусков точно равна площади/массе исходного континуума.
При каскадном дроблении мы подвергаем континуум нескольким фазам дробления: например, сначала он делится на две части - это первая фаза. Затем каждый из получившихся кусков вновь делится на две части - это вторая фаза, и т. д. Результатом каскадного дробления мы считаем не те куски, которые получатся в конечном итоге, а все куски континуума, появлявшиеся на всех фазах дробления - включая и исходный континнум. Он сам и все его фрагменты, появлявшиеся на всех фазах дробления, входят в окончательное множество. Ясно, что общая масса множества при каскадном дроблении равна массе исходного континуума, умноженная на количество каскадов, этапов дробления (плюс один).
Множества, полученные плоским и каскадным дроблениям принципиально различаются по типичным распределениям площадей/масс объектов. Но к этому мы теперь добавим еще и различие в модели преобразования симметрий, связанной с каждым типом дробления: мы разберемся тем, что такое плоское и каскадное преобразование симметрии.
Возьмем множество, состоящее из одного-единственного объекта, его порядок симметрии 1. Применим к нему преобразование, имеющее порядок симметрии 2, то есть, подвергнем его разделению на две равных части:
Ясно, что это преобразование совершенно аналогично картине плоского бинарного дробления континуума. Его результатом является множество с порядком симметрии 2, в полном соответствии с нашей формулой преобразования симметрии:
Однако, если мы будем говорить о каскадном дроблении, результат другой. В результате каскадного преобразования мы получим множество 1/2, 1/4, 1/4:
Оно имеет порядок симметрии 33/4. Очевидно, что наша формула преобразования тут не годится - она описывает лишь плоские преобразования симметрии. Для описания каскадных преобразований необходима какая-то другая.
Увы, ее нельзя записать в простом виде, позволяющем прямо получить из порядка симметрии исходного континуума порядок симметрии каскадного результата. Можно лишь точно проследить, как изменяются отдельные симметрики при переходе от плоского к каскадному преобразованию. Впрочем, мы еще займемся этим вопросом, а пока рассмотрим одну простую модификацию каскадного дробления.
Предположим, что по какой-то причине объекты, куски континуума, возникающие в результате очередного каскада дробления оказываются по площади/массе равны исходному континууму:
То есть, если масса исходного континуума была равной 1, то в результате каскада бинарного дробления мы получили два объекта с такими же массами 1. Естественно, что, во-первых, в этом случае речь может идти только о преобразовании с целочисленной симметрией - ведь в результате получаются однородные объекты. А во-вторых, в результате из одного объекта у нас получается три, а не два. Обозначим это ясно: если бы преобразование было плоское, бинарное дробление дало бы нам множество с порядком симметрии 2. Но при каскадном преобразовании то же самое бинарное дробление приводит нас к множеству с симметрией 3:
Возвращаемся к гармоническим деревьям и е-дроблению
Гармонические деревья - это Т-деревья, которые мы использовали для расчета гармонической информации. Их особенность заключалась в том, что узлы располагались не только на концах ветвей, но и в каждой из развилок дерева. Развитие таких Т-деревьев отличается тем, что каждая новая ветвь, каждая трансформация дерева не изменяет уже имеющейся структуры дерева, не перемещает уже разместившиеся в нем узлы, а лишь добавляет к нему новые ветви, несущие новые узлы. Это значит, что если мы хотим взглянуть на развилки в этих деревьях как на "застывшие преобразования" множества объектов, их нужно сопоставлять с порядком симметрии на единицу большим, чем тип развилки: одинарная развилка является результатом преобразования с собственным порядком симметрии 2, бинарная - с преобразованием, имеющим порядок симметрии 3, и т. д.
Например, дерево, в котором имеется одна одинарная развилка и одна бинарная с точки зрения "вшитых" в структуру дерева преобразований и их симметрий, имеет порядок симметрии, лежащий в диапазоне между 2 и 3:
Одинарная развилка является результатом каскадного преобразования с собственной симметрией порядка 2, а бинарная - продукт каскадного преобразования с симметрией порядка 3:
Мы выяснили, что в гармонических деревьях в пределе статистика развилок соответствует простому геометрическому частотному распределению:
Это значит, что статистика каскадных преобразований, их симметрий, соответствует распределению:
Мы говорили, что симметрийные спектры - это, по сути, частотные распределения симметрик. Таким образом, это уравнение есть уравнение симметрийного спектра каскадных преобразований, порождающих гармонические деревья:
(Мы полагаем s(1) = 0, поскольку первая симметрика соответствует "нулевым развилкам" в гармонических деревьях, то есть, узлам в концах ветвей. "Нулевые развилки" - это узлы, еще не подвергшиеся преобразованиям, связанным с ростом деревьев, поэтому они не включаются в статистику симметрии преобразований.)
Естественный вопрос: а каким является общий порядок симметрии преобразований роста в гармонических деревьях? Ответ интересен: порядок симметрии оказывается близким числу e, основанию натуральных логарифмов.
Увы, только близок, но не точно ему равен. При указанном спектре симметрий порядок симметрии:
Откровенно говоря, автор рассчитывал на то, что новый метод вычисления порядка симметрии должен в данном случае дать результат в точности равный e. В конце концов, ведь именно гармонические деревья привели нас к идее вероятностного подхода к расчету не-целочисленных симметрий. Не слишком косвенным образом, на основании очевидного сходства между величиной гармонической информации и информации, рассчитанной по формуле Хартли, мы предположили, что структура гармонических деревьев каким-то глубоким образом связана с e-дроблением, е-симметрией.
Вообразите: автор, вооруженный новым пониманием не-целочисленной симметрии, затая дыхание вычисляет порядок симметрии гармонических деревьев... И результат все ближе, он явным образом очень близок к числу e... Но радость оправдывающейся надежды рушится о неоспоримый факт: результат лишь близок числу e: он равен примерно 2,76... вместо ожидаемых 2,718... И все дело в по своему странной вещи: если бы бесконечная сумма
равнялась бы 1/2, результатом было бы точно число e. Но эта сумма равна 0, 503... Как досадно!
Платон мне друг, но истина дороже.
Впрочем, по опыту автора такие "разочарования" часто впоследствии ведут к гораздо более серьезным открытиям, чем ожидаешь. Будем надеяться, что тут именно этот случай.
Близость порядка симметрии преобразований, порождающих гармонические деревья к числу e самым прямым образом связана с предельной близостью величины гармонической информации и информации, рассчитанной по формуле Хартли в натах - то есть, в единицах измерения информации, связанных с числом e. Но можем ли мы теперь сказать, что мерой гармонической информации являются именно наты?
Ответ - либо уверенное "да", либо сомневающееся "почти да". Автор склоняется к уверенному "да". Попросту мерой гармонической информации не может быть никакая другая единица - иначе в пределе гармоническая информация расходилась бы с информацией по Хартли - а мы знаем, что это расхождение в пределе наоборот исчезает. Почему же мы получили порядок симметрии преобразований, порождающих гармонические деревья не равным, а лишь близким числу e? Вероятно, это значит, что мы не учли какое-то обстоятельство. Время покажет, какое.
Должно существовать - и наверняка существует - преобразование, порядок симметрии которого в точности равен числу e. Применяя его ко множеству, имеющему порядок симметрии 1 (то есть, состоящему только из одного объекта), мы получим множество, порядок симметрии которого равен числу e - можно говорить, что оно будет обладать натуральной симметрией. Найти его точную форму - вот интригующая задача, которую нам предстоит решить. Автор надеялся, что шагом к решению будут гармонические деревья. Но оказалось, что они дают лишь "примерное решение", скорее только намек на правильный ответ.
Тем любопытнее его все же найти. Задача не простая, но очень интересная, ведь есть основания полагать, что не-целочисленная симметрия порядка e играет какую-то важную роль в натуральных процессах формообразования. Так ли это на самом деле, нам предстоит выяснить.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER