КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 95. Комплексные симметрии
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 95. Комплексные симметрии
 
Роман Уфимцев
4 июня 2013 года, Калининград
Последние три Пролога мы занимаемся развитием исчисления симметрий. Для этого, во-первых, на основе вероятностного подхода мы нашли новый способ вычисления порядка симметрии для любых множеств - в том числе и для неоднородных, то есть, образованных не равными между собой объектами. Мы обнаружили, что неоднородные множества могут иметь целочисленную симметрию - например, множество, состоящее из объектов c массой/площадью 9/16:5/16:1/16:1/16 имеет порядок симметрии 2, то есть такой же, как и симметричное в классическом смысле множество 1/2:1/2. Это делает не удобным термин "не-целочисленные симметрии", которым мы обозначали порядки симметрии, вычисленные по нашей формуле
Поэтому впредь будем называть величины, полученные с ее помощью обобщенными симметриями.
Во-вторых, мы получили простое уравнение преобразования симметрии, в соответствии с которым множество, подвергшееся преобразованию, имеет порядок симметрии St+1, равный произведению порядка симметрии множества до преобразования St и порядка собственной симметрии преобразования ST:
В этом Прологе мы продолжим развитие исчисления симметрий, и центральным вопросом для нас будет зеркальная симметрия. Каков ее порядок? Этот вопрос классическая теория симметрий отвергает как некорректный. С традиционной точки зрения у зеркальной симметрии нет порядка, она - особый самостоятельный тип симметрии, который нельзя количественно соотнести с другими типами.
Нас такой подход не может удовлетворить. И только знакомясь с обобщенными симметриями, мы сделали предположение, что порядок зеркальной симметрии равен 1/2. Однако, предположение оказалось не верным. Действительно, множество с порядком симметрии 1/2 напоминает зеркально симметричное, но только напоминает.
Истинное значение порядка зеркальной симметрии впечатляет. Оно оказалось равным мнимой единице. (Для не искушенных в математике читателей - разъяснение чуть ниже). Постфактум этот результат кажется очень простым, почти очевидным. Но это та простота, к которой ведет длинная и сложная дорога.
Решение проблемы порядка зеркальной симметрии открывает целый мир новых обобщенных типов симметрий - комплексных симметрий. Чтобы научиться их исчислять, нам придется уточнить формулу порядка симметрии и дополнить уравнение преобразования симметрий. Но начнем мы с логики. Почему же порядок зеркальной симметрии равен мнимой единице?
Зеркальная симметрия имеет порядок j
Вывод о том, что порядок зеркальной симметрии равен мнимой единице j, следует из изящно простых соображений.
Мнимой единицей называется величина, которая не может существовать в "нормальной" арифметике, потому что по определению мнимая единица в квадрате равна -1:
(Обычно мнимую единицу обозначают буквой "i", но мы часто используем в формулах индекс i, и будем обозначать ее буквой j.) Ни одно "нормальное" число не может давать в квадрате отрицательную величину. Однако, если предположить, что такое число существует, это позволяет очень упростить решение многих математических проблем. Это число и назвали мнимой единицей, и теперь математики уже давно свободно используют ее в своих построениях. Может быть, покажется, что мнимая единица - абстрактная выдумка математиков. Действительно, вроде бы в жизни нет никаких "мнимых количеств". Но, как мы увидим, это не так. У мнимой единицы есть вполне ясный "жизненный" смысл.
Мнимая единица - простейшее так называемое комплексное число. Комплексные числа можно понимать как обобщение обычных чисел, когда число представляется не точкой на числовой оси, а точкой на числовой плоскости, в которой по оcи X откладывается "нормальный" компонент числа - его называют реальной частью числа, а по оси Y - мнимый компонент. Тогда, например, если число находится на этой плоскости в точке X=1, Y=0 (точка A), мы имеем дело с обычной единицей, а если в точке X=0, Y=1 (точка B) - с мнимой:
А вот число, находящееся в точке X=1, Y=1 (точка C) - смешанное, в нем есть и реальная и мнимая часть. Это можно записать так:
Чтобы получить представление о своеобразии исчисления комплексных чисел, возведем наше простое комплексное число в квадрат:
Такой результат получается, потому что мнимая единица в квадрате равна -1.
Заметим, что
Из этого следует, что вы любом уравнении, содержащем мнимые числа, мы можем поменять j на -j, и от этого результат не изменится. Например, только что мы получили уравнение
Заменив j на -j, мы также получим верное уравнение
Этого краткого знакомства с комплексными числами пока нам будет достаточно.
Для начала разрешим существование отрицательных масс или "отрицательных объектов". Тогда, кроме положительно симметричных преобразований существуют и отрицательно симметричные. Самый простой случай - симметрия с порядком -1:
(На диаграммах мы будем обозначать отрицательные массы знаком "-" или просто серым цветом.) При ее приложении ко множеству все его объекты приобретают отрицательную массу (тут хочется говорить не о массах и не о площадях, а о зарядах - они ведь бывают положительные и отрицательные). При этом никаких других изменений со множеством не происходит. Модуль его порядка симметрии остается неизменным, меняется лишь знак:
Рассмотрим смешанный случай: пусть с вероятностью 1/2 единичное множество подвергается преобразованию с симметрией 1, и с вероятностью 1/2 - преобразованию с симметрией -1:
Как мы знаем, в таких смешанных случаях общий порядок симметрии определяется как среднее геометрическое от смешиваемых целочисленных симметрий. В данном случае это среднее геометрическое от 1 и -1:
То есть, порядок симметрии вероятностно смешанного преобразования равен мнимой единице j (или -j). Множество, которое получится в результате, состоит из двух объектов: один имеет массу 1/2, второй - массу -1/2:
Не требует пояснений, почему мы можем именовать такое множество зеркально симметричным. Наилучшая иллюстрация - система двух противоположных электрических зарядов, которую с полным правом следует считать зеркально симметричной:
Далее, очевидно, что мы не можем нормировать массы объектов в таком множестве так, чтобы их сумма равнялась 1 - а для корректного исчисления симметрий множества необходимо нормировать. Поэтому мы изменяем правило нормировки: теперь достаточно нормировать массы объектов так, чтобы суммы модулей их масс равнялись 1, то есть:
В данном случае
Проверим, что прямое вычисление порядка симметрии с помощью нашей основной формулы даст тот же результат. Однако, следует иметь в виду, что теперь, кроме положительных симметрий, должен быть учтен и вклад отрицательных. Конкретно, в данном случае мы должны добавить в уравнение множитель, отвечающий за целочисленную симметрию -1:
Поскольку m1 = 1/2, а m2 = -1/2, получим
Новая формула порядка симметрии
Теперь разберемся с тем, как именно должна измениться формула порядка симметрии при наличии во множестве отрицательных масс.
Пусть исходное множество имеет порядок 3, к нему применяем преобразование с порядком j:
Это преобразование можно изобразить так: c вероятностью 1/2 получается то же множество 1/3:1/3:1/3, с вероятностью 1/2 - множество отрицательных масс -1/3:-1/3:-1/3. Вероятностное усреднение дает шести-объектное множество 1/6:1/6:1/6:-1/6:-1/6:-1/6:
Для подсчета порядка симметрии нужно разделить объекты на две ранговых последовательности - в одну включаются все положительные массы, в другую - все отрицательные. На их основе отдельно считаются компоненты порядка симметрии, связанные с положительными и отрицательными симметриями - S(+) и S(-). Общий порядок симметрии равен произведению этих компонентов:
Это и есть новая формула порядка симметрии. Посмотрим, как она работает на нашем примере. Ранговая последовательность положительных масс: 1/6:1/6:1/6. Отрицательных: -1/6:-1/6:-1/6. (ранговая последовательность строится в порядке убывания модуля массы объектов). Считаем положительный компонент:
Отрицательный компонент:
В результате общий порядок симметрии
Мы говорили выше, что в любом выражении мнимая единица j может быть заменена на -j. Этому имеется яркая иллюстрация с точки зрения преобразований симметрий. Возьмем зеркально симметричное множество - его порядок симметрии равен j. Применим к нему "негативное" преобразование с порядком симметрии -1:
В результате, как мы видим, получается то же самое зеркально-симметричное множество, неотличимое от исходного. Но расчет по формуле преобразования симметрий дает
Это именно тот случай, когда мы можем заменить -j на j и считать, что преобразование действительно не изменило исходного порядка симметрии множества.
Впрочем, как мы далее увидим, ничего заменять не нужно, если использовать правильную формулу преобразования симметрии, которая годится не только для множеств, состоящих лишь из положительных масс. Тем не менее, интересно, как эквивалентность чисел j и -j оказывается глубоко связанной с идеей зеркальной симметрии.
Рассмотрим еще один пример: единичное множество с вероятностью 1/2 подвергается зеркальному преобразованию - то есть, преобразованию с порядком симметрии j, и с вероятностью 1/2 - "негативному" преобразованию с порядком симметрии -1. В результате вероятностного усреднения мы получим двухобъектное множество с соотношением масс 1/4:-3/4:
Его порядок симметрии
Но посчитаем порядок симметрии как среднее геометрическое порядка альтернативных целочисленных дроблений/преобразований, из которых складывается смешанный результат (именно этот способ лежит в основе нашего исчисления симметрий). В данном случае у нас вероятностно усредняются альтернативы с порядком j и -1. Их среднее геометрическое:
Результат оказывается противоположным , со знаком "-". Откуда расхождение?
Проблема в комплексных числах и особенностях вычисления среднего геометрического в их присутствии. Дело в том, что только для "нормальных" чисел всегда справедливо выражение:
Для комплексных это равенство выполняется не всегда. Конкретно, если n1 = j, n2 = -1, то
То есть, вычисляя порядок симметрии как среднее геометрическое порядков альтернативных преобразований, во избежание ошибок следует рассчитывать его как
Новая формула порядка симметрии годится и для вычисления симметрии множеств, содержащих отрицательные массы. Порядок симметрии такого множества обязательно является комплексным числом, так что это именно комплексные симметрии.
Еще немного углубим наши сведения о комплексных числах.
Рассмотрим множество 2/3:-1/3:
Его порядок симметрии равен
Это комплексное число, которое в традиционной алгебраической записи выглядит как
В такой записи первое слагаемое 1/2 называется реальной частью комплексного числа и обозначается как Re, а второе слагаемое √3/2 - мнимой частью и обозначается как Im. То есть
Мы уже говорили, что любое комплексное число может быть представлено в виде Re + j*Im, и эта запись представляет число на комплексной плоскости, в которой по оси X откладывается вещественная часть числа, то есть, Re, а по оси Y - мнимая часть, то есть Im. Комплексное число (-1)(1/3) соответствует точке Re=1/2, Im=√3/2:
Рассчитывая симметрии, мы получаем результат, комплексные порядки симметрии, выраженные в другой форме представления комплексных чисел, в показательной форме. Конкретно, мы получаем выражения вида
Например, в порядке симметрии (-1)(1/3) x=1, y=1/3. При этом традиционно показательная форма комплексных чисел выглядит иначе:
Abs именуется модулем или абсолютный значением комплексного числа, а Arg - его аргументом. Взглянем на представление числа на комплексной плоскости:
Модуль Abs равен расстоянию от центра координат до точки, соответствующей числу, а аргумент Arg равен углу между осью Re и направлением до точки. Фактически, алгебраическая и показательная запись комплексных чисел соотносятся также, как декартовская система координат X-Y соотносится с полярной системой координат, в которой точка задается расстоянием от центра координат и углом направления. И переход от системы координат Abs-Arg к Re-Im происходит также, как происходит переход от полярной к декартовской системе координат:
Для перехода от нашей записи комплексных чисел вида x*(-1)y к традиционной показательной, нужно воспользоваться гениальным равенством (это, по сути, E=mc2 в мире математики), который открыл Леонард Эйлер:
Получится:
Таким образом для перехода от нашего представления комплексных порядков симметрии к их традиционному алгебраическому представлению, нужно пользоваться формулами:
В случае комплексного порядка симметрии (-1)(1/3) получаем
То есть,
Новая формула преобразования симметрий: шаг 1
Мы поправили формулу порядка симметрии, но поправки требует и формула преобразования симметрии:
Она не годится для описания преобразования множеств с отрицательными массами или для преобразований с комплексными порядками симметрии. Вот интересный пример. Возьмем зеркально-симметричное множество с порядком симметрии j и применим к нему зеркальное преобразование с тем же порядком j:
Зеркальное преобразование с вероятностью 1/2 оставляет исходное множество в неизменном виде, и с вероятностью 1/2 - обращает его. В результате обращения мы получаем то же самое исходное множество (мы разбирали выше эту ситуацию). Значит, преобразование приведет к тому же зеркально-симметричному множеству с порядком симметрии j, то есть, не изменит симметрии исходного множества. Однако, по формуле преобразования симметрии в результате мы должны получить
что не верно.
Ключ, ведущий к новой формуле - анализ изменений симметрик множества в процессе преобразования.
Симметрики, как мы говорили , это элементарные компоненты сложной симметрии, которые связаны с целочисленными порядками симметрий 1, 2, 3... Сейчас мы узнали, что в комплексных симметриях имеются и порядки симметрии -1б -2, -3... Величины симметрик можно понимать как мощности соответствующих элементарных симметрий в общей симметрии множества. Диаграмма величины симметрик s(i) в зависимости от их номера i образует спектр симметрии множества. Вычисляются они просто:
где mi - ранжированные по массе объекты множества. Для вычисления симметрик с положительными и отрицательными номерами мы отдельно ранжируем положительные и отрицательные массы множества. На основании первого ряда мы рассчитываем симметрики с положительными номерами, на основании второго - с отрицательными. Зная симметрики, мы легко получаем общий порядок симметрии множества:
Пусть у нас имеется исходное множество A, для которого симметрики равны a(i), где i - номера симметрик, которые могут быть и положительными и отрицательными. Подвергнем его преобразованию B, для которого симметрики равны b(i). В результате мы получим некоторое множество C с симметриками c(i). Разберемся, как связаны между собой a(i), b(i) и с(i). Для этого проследим эту связь на простом примере, когда исходное множество имеет только две не-нулевых симметрики a(1)=1/2 и a(2)=1/2 - это множество 3/4:1/4:
Оно имеет порядок симметрии √2. Если мы применим к нему преобразование, имеющее порядок симметрии 1, чему соответствует единственная симметрика b(1)=1, множество совершенно не изменится, значит c(1) = a(1) и с(2) = a(2). Если мы применим преобразование с симметрией 2, которое имеет только одну симметрику b(2) = 1, то мы получим множество 3/8:3/8:1/8:1/8:
Его не-нулевые симметрики: c(2) = 1/2 и с(4) = 1/2. Если мы применим преобразование с симметрией 3, которое также имеет только одну симметрику b(3) = 1, мы получим множество 3/12:3/12:3/12:1/12:1/12:1/12:
Его не-нулевые симметрики: c(3) = 1/2 и с(6) = 1/2. Можно заметить общий принцип преобразования симметрик - сравним все три случая:
Преобразование с единственной симметрикой b(1) = 1 не изменяет положения симметрик исходного множества. Преобразование с b(2)=1 сдвигает симметрики, умножая их номер на 2. Преобразование с b(3)=1 сдвигает их, умножая их номера на 3.
Легко убедиться - то же самое происходит, если преобразование имеет симметрики с отрицательными номерами: например, преобразование с симметрикой b(-1)=1 просто меняет номера симметрик исходного множества на отрицательные:
Преобразование с симметрикой b(-2)=1 меняет номера на отрицательные и умножает их на два, и т.д:
Теперь рассмотрим случай, когда преобразование имеет не одну симметрику, а несколько. Например, пусть оно имеет такие же симметрики, как и исходное множество: b(1)=1/2 и b(2)=1/2. В этом случае преобразующее действие каждой симметрики b(i) суммируется с учетом их мощности:
Симметрика b(1)=1/2 не сдвигает симметрики исходного множества, но она равна не единице, а 1/2, поэтому c(1) = 1/2*a(1) = 1/4 и c(2)=1/2*a(2)=1/4. Симметрика b(2)=1/2 сдвигает симметрики исходного множества, умножая их номер на 2, и она тоже равна 1/2, значит c(2) = 1/2*a(1)=1/4 и c(4)=1/2*a(2)=1/4. Заметим, что и b(1) и b(2) сделали независимый вклад в симметрику c(2), так что эти вклады нужно суммировать. Получится в итоге c(2)=1/4+1/4 = 1/2. Значит, окончательно мы получим следующий набор симметрик в преобразованном множестве:
Соответствующий порядок симметрии:
Конечно, этот результат мы могли бы получить и просто перемножив в соответствии с нашей старой формулой преобразования порядок симметрии исходного множества √2 с порядком собственной симметрии преобразования - а оно имеет тот же порядок √2:
Однако, простое умножение приводит к верному результату лишь в том случае, если и исходное множество и преобразование имеют простые, не комплексные порядки симметрии. Выше мы видели, что применение к зеркально симметричному множеству зеркального преобразования дает иной результат, чем его предсказыват простая формула преобразования. Вычислим истинный результат, используя анализ симметрик:
Исходное зеркально-симметричное множество 1/2:-1/2 имеет две не-нулевых симметрики a(-1)=1/2 и a(1)=1/2. Преобразование также имеет симметрики b(-1)=1/2 и b(1)=1/2. Симметрика b(-1)=1/2 сдвигает номера симметрик исходного множества, меняя их на отрицательный, так что вклад этой симметрики в результат: c(1) = 1/4 и c(-1) = 1/4. Симметрика b(1)=1/2 не сдвигает номера исходных симметрик, так что ее вклад c(-1) = 1/4 и c(1) = 1/4. Суммируя вклады, получим c(-1) = 1/2 и c(1) = 1/2. То есть, преобразованное множество имеет те же симетрики что и исходное, а значит, и не изменяется и его порядок симметрии - он равен мнимой единице j.
Теперь мы можем записать общее уравнение преобразования симметрик, смысл которого теперь нам будет понятен:
Суммирование ведется по индексу r, который проходит все значения, равные номерам не-нулевых симметрик преобразования B. Величина i/r должна быть целым числом. Или, более элегантный вариант:
Например, для получения симметрики c(2) нужно суммировать четыре слагаемых:
Новая формула преобразования симметрий: шаг 2
Пока мы получили формулу преобразования симметрик, а не преобразования симметрии. Вычислив симметрики c(i), найти порядок симметрии преобразованного множества не трудно, но чтобы их вычислить нам нужно знать симметрики исходного множества a(i) и симметрики преобразования b(i). Можно ли обойтись без этого?
К счастью, можно. К счастью, потому что необходимость знать симметрики для вычисления преобразований очень бы усложнила исчисление симметрий. После некоторых поисков и вычислений новая формула нашлась. В ее основе - показательное представление порядков симметрии как комплексных чисел. Как мы говорили выше, показательная форма записи комплексных чисел выглядит как
где Abs - модуль комплексного числа, а Arg - его аргумент. Но мы, вычисляя комплексные порядки симметрии, используем немного другую запись:
Для вычисления преобразований симметрии нам нужно представить в такой форме порядок симметрии исходного множества A, порядок симметрии преобразования B. Тогда порядок симметрии преобразованного множества С равен
Если симметрии не обе комплексные, то есть, если хотя бы один из аргументов Arga или Argb равен нулю, мы получаем старую формулу преобразования симметрии:
Автор решил не приводить полный вывод новой формулы преобразования - он довольно громоздкий, хотя и не лишен занятных моментов. Ограничимся лежащим в основе вывода полезным наблюдением, которое к тому же облегчает вычисление порядка симметрии на основе известных симметрик.
Формально, если мы знаем симметрики множества s(i), его порядок симметрии нужно вычислять по формуле:
Но заметим, что множители вида (-x)s(-x) можно преобразовать:
Это позволяет изменить способ вычисления порядка симметрии:
Анализируя суммы симметрик в показателях, и можно получить нашу новую формулу преобразования симметрий.
Итак, мы успешно распространили исчисление симметрий на зеркальные симметрии, связанные с присутствием во множествах отрицательных масс. Порядки симметрии таких множеств оказались комплексными числами. Мы научились вычислять комплексные порядки симметрии и находить результаты преобразований комплексных симметрий.
Теперь для того, чтобы получить полноценное исчисление симметрий, нам осталось только разобраться с симметриями, имеющими порядок меньше 1, и с главной из них - с симметрией порядка 0. Этим мы и займемся далее. И кроме того, обсудим одну весьма занимательную идею, которая позволяет связать порядок симметрии множества (то есть, некоторого явления) с его характерной динамикой.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER