КОГНИТИВИСТИдейное ядро²Прологи
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
.
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
 
Роман Уфимцев
7 июня 2013 года, Калининград
Мы уже намекали о главой причине нашего интереса к обобщенным симметриям и к развитию методов их исчисления. Мы полагаем, что порядок симметрии играет управляющую роль в процессах формообразования явлений точно также, как энергия играет управляющую роль в их физической динамике. И точно также, как исчисляя энергию систем, физики способны предсказывать их поведение и свойства, мы надеемся научиться предсказывать особенности формообразования явлений, то есть, закономерностей преобразования их формы.
Проблема формы явлений - очень старая, имеющая многовековую историю научная проблема. Естественные науки во главе с физикой по большому счету так и не научились систематично описывать форму явлений, сосредоточившись на их материальном содержании. Основные физические величины - массы, энергии, импульсы и прочие - являются "бесформенными" величинами, не имеющими отношения к наблюдаемой форме явлений. И если в мире материальных явлений пренебрежение формой в пользу содержания во многих случаях вполне допустимо, как только мы пытаемся научно исследовать явления, в которых материальный фактор не является важнейшим, начинаются непреодолимые трудности. Например, совершенно невозможно точное исследование исторических или социальных явлений без анализа их формы - по сути, в них нет ничего материального, есть только исторические и социальные формы, материальное содержание которых второстепенно. Социальные процессы - также, как и процессы в индивидуальном сознании, и вообще когнитивные процессы - это в первую очередь динамика форм, их преобразований.
Но как раз формы, их анализ, систематизация - старинная ахиллесова пята естественной науки. Так было не всегда. Древние греки, создавая свои первые теории сущего, равномерно сплетали их из учения о формах и энергиях, в которых энергии понимались как бесформенные силы, реализующихся в конкретных формах сущего. И в этом отношении в их, кажущихся ныне наивных учениях, было больше мудрости, чем в нынешней естественной науке. Начиная с Галилея, наука всё больше уходила от формы явлений к их бесформенному содержанию. Вехой стали законы Ньютона, и отвлеченные, абстрагированные от эмпирической, реально наблюдаемой формы явлений величины - массы, импульсы, энергии - стали практически единственным предметом науки. Были гении, протестовавшие против этого перекоса в сторону "бесформенного" - как Гёте - но они не смогли повлиять на общее направление развития естественных наук.
Слабость естественной науки в сфере изучения форм - это главная причина, по которой ни история, ни социология, ни экономика, ни психология даже близко не подошли к той ясности, надежности, объективности, которой отличаются естественные науки. Конечно, сделано и до сих пор делается немало попыток найти какие-то социальные или психологические "энергии", но каждый раз оказывалось, что движущие силы социальной и психологической жизни не поддаются исчислению в той же манере, в которой исчисляется энергия в физике, так что "психологические энергии" остаются лишь приятными научному уху фигурами речи. Там, где форма – главное, бесполезно ставить во главу угла бесформенное.
Вот почему мы так серьезно относимся к развитию исчисления симметрий. Симметрия - это объективно наблюдаемая, конкретная характеристика форм явлений вне зависимости от того, материальные это явления, социальные или психологические. В науке о формах симметрия занимает такое же основополагающее место, как энергия - в науке о бесформенном.
Одним из первых великолепных достижений классической науки стало объяснение Ньютоном законов движения небесных тел, законов Кеплера. Орбиты планет, вращающихся вокруг Солнца определяются энергией небесного тела. Превращение энергии из кинетического сорта в потенциальный и обратно - вот интрига, формирующая траекторию планеты. В идеальном случае общая энергия небесного тела остаётся всегда неизменной - и физики в таких случаях говорят об энергии как об инварианте - величине, которая остается неизменной, в какой бы точке траектории не находилась движущаяся планета. Зная энергию и некоторые начальные условия обычно можно предсказать движение небесного тела на длительные периоды. Использование других инвариантов - массы, заряда, импульса и т.д. - в совокупности с энергией позволяет точно таким же образом предсказывать поведение самых разных физических систем. Именно потому, что естественная наука нашла и научилась исчислять эти инварианты - физические величины, которые не меняются "просто так" - стал возможен её триумф.
Но есть ещё один инвариант, и он, может быть, является самым фундаментальным - это симметрия. Физики знают, что так называемые законы сохранения энергии, импульса, заряда и пр. - то есть, законы, утверждающие инвариантность этих величин - глубочайшим образом связаны с симметрией мира. Например, закон сохранения импульса ("действие равно противодействию") является прямым следствием изотропности физического пространства, то есть одинаковости его свойств по всем направлениям. Можно сказать, что пространство вокруг любой точки имеет симметрию сферы - и именно из-за этого импульс является инвариантом. Подчеркнем: только из-за того, что пространство сохраняет свой порядок симметрии, импульс закрытой физической системы остается неизменным. Истинным инвариантом тут оказывается не импульс, а симметрия пространства.
Динамика системы небесных тел приводит к видимому изменению её конфигурации, формы - меняется взаимное положение планет, они перемещаются по своим орбитам и т.д. Но вместе с этим остаются неизменными общий импульс и энергия системы, а они, в свою очередь остаются неизменными, потому что не изменяется её симметрия. Наша гипотеза гласит, что даже в системах, в которых не имеют смысла бесформенные величины, такие как энергия и импульс, в когнитивных системах, симметрия является инвариантом. И преобразования наблюдаемых конфигураций в таких системах, изменения их формы, определяются законом сохранения симметрии.
Физики говорят, что энергия и импульс сохраняются только в закрытых системах - то есть, таких, которые не обмениваются энергией и импульсом с внешним миром. И симметрия системы также может изменяться под действием других систем - мы говорим об этом как о преобразованиях симметрий. Однако, подобно тому, как в мире нет действительно закрытых систем, и это не помешало физикам достичь огромных успехов в познании физического мира, мы надеемся, что пока гипотетический закон сохранения симметрии поможет нам, наконец, найти способ ясного и прогностически содержательного описания явлений, которые до сих пор этому не поддавались - социальных, психологических, когнитивных.
Вот почему мы с таким вниманием и тщательностью занимаемся развитием исчисления симметрий - ни много ни мало, мы создаем инструментальную базу для новой науки о форме, которая должна дополнить науку о бесформенном. Конечно, это очень амбициозная задача, но, как говорил Гёте, "Кто хочет невозможного - мне мил."
Структурные модальности
Пусть некоторый феномен не подвергается внешним влияниям, которые способны преобразовать его симметрию, или эти влияния слабы. Тогда его симметрия остается инвариантом. Это, как мы полагаем, выражается в сохранении неизменной величины порядка симметрии явления. Однако, как мы знаем, резличные по строению, по структуре, множества могут иметь один и тот же порядок симметрии. Если порядок симметрии феномена не изменяется, его структура, тем не менее, может изменяться - но так, что порядок симметрии остаётся неизменным. Тут совершенно уместна аналогия с движением планеты по орбите - общая энергия остаётся неизменной, но она постоянно перетекает из кинетического сорта в потенциальный, и обратно.
Набор структур, обладающих одним и тем же порядком симметрии S мы будем называть структурными модальностями. Мы полагаем, что при отсутствии внешних воздействий феномен может свободно (или как-то закономерно) переключаться между структурными модальностями, если это не приводит к изменению порядка симметрии. Например, можно предполагать, что при отсутствии каких-то исключительно серьезных внешних вмешательств, порядок симметрии социальной системы остается неизменной величиной. Однако, при этом социальная система может перестраиваться между несколькими структурными модальностями - это происходит легко, естественно, как движения маятника - и именно эти перестройки образуют основную канву её истории.
В этой связи в наших исследованиях симметрии появляется ряд важных вопросов:
  1. Как, исходя из заданного порядка симметрии S, находить альтернативные структурные модальности?
  2. Каково общее число альтернативных структурных модальностей для различных порядков симметрии S?
  3. Существуют ли порядки симметрии S, для которых количество модальностей аномально мало или, наоборот, аномально велико?
Общие ответы на эти вопросы - дело непростое. Например, автору пока не удаётся найти ни одного хорошего примера множества, которое имело бы порядок симметрии, равный числу e - натурально симметричного множества (чуть позже мы тут сделаем небольшой шаг вперед). В этом Прологе мы лишь исследуем некоторые простые случаи, и наметим общие принципы.
Первый пример альтернативных структурных модальностей уже нам известен - это две модальности порядка симметрии 2:
Имея один и тот же порядок симметрии, множества 1/2:1/2 и 9/16:5/16:1/16:1/16 отличаются по количеству объектов - и это интересно, поскольку говорит о том, что закон сохранения симметрии разрешает значительные формально-количественные изменения системы, не изменяющие порядка симметрии. Для примера проанализируем другие возможности построения множеств с порядком симметрии 2. Запишем общее условие:
Поскольку порядок симметрии 2 не является комплексным, множество может состоять только из положительных масс, и в уравнение порядка симметрии входят только симметрики s(i) с положительными номерами. Заметим также, что мы должны оставить в уравнении только симметрики с номерами, равными степеням двойки, поскольку если не нулевой является любая другая, мы в принципе не сможем получить порядок симметрии 2:
Из этого следует, что количество объектов во множестве с S=2 обязательно должно равняться степени двойки: 2,4,8,16 и т.д. Далее перепишем выражение иначе:
Отсюда мы получаем общее условие, которое предъявляет порядок симметрии 2 к симметрикам множества:
Минимально возможное число объектов во множестве с симметрией 2 - 2 объекта: 1/2:1/2. Для каждого порядка симметрии S мы будем называть множество с минимально возможным количеством объектов базовой модальностью. По видимому, для каждого порядка симметрии имеется только одна базовая модальность.
Рассмотрим теперь четырех-объектные модальности с симметрией 2. Симметрики в них отвечают уравнению:
Отсюда, раскрывая симметрики, мы получим условия, которые должны выполняться для масс множества:
В этой системе три уравнения и четыре неизвестных, и это значит, что существует бесконечное количество решений, то есть, четырех-объектных множеств с порядком симметрии 2. Налагая дополнительные условия, мы можем найти некоторые конкретные структуры. Например, если мы потребуем, чтобы m2 = m3 = m4 - в этом случае s(2) = 0 - получим интересное решение:
Далее, для восьми-объектных модальностей соблюдается условие:
Ясно, что их также бесконечное количество, но налагая, например, условие m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m7 = m8 при котором s(2) = 0 и s(4) = 0, получим множество
Вообще, назовем такие модальности, в которых все объекты, кроме первого крупнейшего, имеют равные массы, "звёздными":
Глядя на эти картинки, хочется воскликнуть: "Разве мы не видим тут симметрию порядка 3 и 7?!". Нет. Вот тут действительно структуры с симметриями 3 и 7:
А вот тут, в обоих случаях, - симметрия порядка 2:
В этом парадоксальная суть обобщенных симметрий.
Обозначим как k общее количество объектов в "звёздном" множестве, имеющем порядок 2. k обязательно является степенью двойки: k = 2z, где z = 1,2,3,... Для такого множества все симметрики, кроме s(1) и s(k), равны нулю, причем 1 = z*s(2z). Отсюда нетрудно установить, что массы объектов:
При z=1 мы получаем базовую структурную модальность, множество 1/2:1/2. При z=2 - получим множество 5/8:1/8:1/8:1/8, и т.д. Заметим очень любопытную и важную вещь: с увеличением z все большую массовую долю множества занимает первый объект, и при стремлении z к бесконечности, в пределе, его масса равна 1, а массы "спутников" – нулю:
Такие структурные модальности, в которых имеется один объект, вбирающий в себя практически всю массу множества, мы будем называть сингулярными модальностями. В некотором смысле, сингулярная модальность - антипод базовой модальности:
С практической точки зрения, главная особенность сингулярной структурной модальности - её трудно отличить от единичного множества. "Спутники" настолько малы (они могут быть в какое угодно число раз меньше крупного объекта), что наблюдая феномен в сингулярной структурной модальности мы не увидим его настоящую структурную симметрию. Нам будет видится единичный объект с симметрией 1, окруженный огромным сонмом почти невещественных частиц. Конечно, это немедленно наводит на мысль, что в пределе этот сонм спутников будет восприниматься нами как некоторое поле, окружающее объект.
Это аналогия вполне уместна: базовая модальность феномена - это будто бы его корпускулярная форма, а сингулярная модальность - волновая или полевая форма. Или, в терминах Дэвида Бома, это свёрнутое и развёрнутое состояния феномена. Как знать, может быть, это нечто гораздо большее, чем просто аналогия.
На этом интригующем моменте мы пока прервёмся. Мы ещё продолжим разговор о структурных модальностях, а пока немного отвлечёмся, и поговорим о порядках симметрии в несколько другом разрезе.
Трансцендентные симметрии
Симметрия порядка e, натуральная симметрия - остается для нас интригующей загадкой. Какая структура обладает натуральной симметрией, вообще, можно ли найти хороший пример такой структуры? - пока остающиеся без ответа вопросы. (Как мы сейчас увидим, проблема не в том, чтобы найти такую структуру, а в том, чтобы массы объектов в ней были рациональными числами, то есть соотносились бы друг с другом в целочисленных пропорциях, были соразмерны друг другу - это и есть "хорошая" структура)
Размышления о натуральной симметрии приводят к любопытной теме, связанной с разделением чисел на алгебраические и трансцендентные. Это разделение связано с так называемым алгебраическим уравнением:
Этим уравнениям математики посвятили чрезвычайно много внимания. Например, благодаря поиску методов решений уравнений, имеющих подобный вид, родилась теория групп - одна из важнейших теорий математики, имеющая прямое отношение к теме симметрий.
Алгебраическими называются такие числа x, которые являются решением алгебраического уравнения при некоторых целых значениях коэффициентов a0, a1, a2,... Если же ни при каких целых коэффициентах число не может быть решением алгебраического уравнения, оно называется трансцендентным.
Например, возьмем число x = √2. Оно является алгебраическим, потому что является решением алгебраического уравнения при целых коэффициентах a0 = -2 и a2=1:
Более ста лет после постановки самого вопроса математики не могли найти ни одного трансцендентного числа (к слову, само название "трансцендентные" предложил Леонард Эйлер - автору следует посвятить наши Прологи этому гению математики, не иначе). Но целый век напряженной работы выдающихся умов не прошел даром. И вот, после первых причудливых сконструированных примеров трансцендентных чисел, в конце 19-го века (через 130 лет после работ Эйлера!) математик Шарль Эрмит доказал, что трансцендентным является число e. Чуть позже была доказана трансцендентность числа π, и многих других. Но до сих пор тут остаются не решенные проблемы, например, неизвестно, каким числом является хорошо знакомая нам постоянная Эйлера-Машерони - алгебраическим или трансцендентным.
Но почему мы заговорили на эту тему? Дело в том, что если множество 1) имеет конечное число объектов и 2) массы его объектов представляются в виде
где v1, v2, v3,... и w1, w2, w3 - целые числа, то порядок симметрии множества является алгебраическим числом. Говоря иначе, если массы объектов множества представляются рациональными числами - то есть, их можно записать в виде v/w где v и w - какие-то целые числа, порядок симметрии – алгебраическое число.
Доказать это не трудно. Пусть мы имеем множество с массами
Можно привести их к общему знаменателю, так что получим запись вида
где числители и общий знаменатель - целые числа. Ясно, что все симметрики этого множества также являются рациональными числами, например, симметрика s(2):
где V2 и W - целые числа. Запишем теперь общий порядок симметрии:
Это число является решением алгебраического уравнения
в котором коэффициенты a0 и aW - целые числа. То есть, порядок симметрии S - алгебраическое число.
Из этого, по видимому, следует, что любой трансцендентный порядок симметрии возможен только для множества, у которого либо 1) как минимум одна из масс не является рациональным числом, либо 2) множество должно содержать бесконечное количество объектов. Первый вариант тривиален. Если множество может содержать иррациональные массы (не представимые в виде целочисленной дроби v/w) мы, конечно, легко найдем множество структур, имеющих трансцендентный порядок симметрии. Скажем, применительно к порядку симметрии e, трех-объектное множество с иррациональными массами:
обладает порядком симметрии e - и примеров можно привести сколько угодно для любого количества объектов во множестве. К слову, удобно именовать множества, содержащие иррациональные массы иррациональными структурами. Им противопоставляются множества, в которых все массы являются рациональными числами - это рациональные структуры.
Но если мы потребуем, чтобы массы объектов были только рациональными числами, единственная возможность - бесконечное по количеству объектов множество.
Простейший пример бесконечного по количеству объектов множества, в котором массы всех объектов рациональны - множество 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... Мы уже рассчитывали его порядок симметрии, он равен, по видимому, трансцендентному числу
Именно такое множество - бесконечную рациональную структуру - мы и должны найти для порядка симметрии e - теперь это установлено твёрдо. Будем надеяться, что этот вывод хотя бы на пол-шага приблизил нас к открытию "рационально-натурально" симметричного множества.
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER