Мы продолжаем разговор о обобщенных симметриях и структурных модальностях, продолжая темы, начатые в предыдущем Прологе.
Рациональные и иррациональные структуры
В предыдущем Прологе мы, не акцентируя должного внимания, ввели термины рациональная и иррациональная структура. Напомню, что рациональной структурой мы назвали множество, массы объектов в котором представимы в форме рациональных чисел, то есть, в виде v/w, где v и w - какие-то целые числа. В иррациональных структурах имеется хотя бы одно не-рациональное число.
Находя структурные модальности для различных порядков симметрии мы интересуемся только рациональными структурами, и у этого есть серьезная причина. Мы исследуем симметрию не "просто так", а полагая, что она может служить для описания формы различных натуральных феноменов. И мы считаем, что их форма (как минимум, чаще всего) соответствует именно рациональным структурам. Проще говоря, между структурными частями некоторого натурального феномена действуют те или иные целочисленные отношения, пропорции. Пусть например, масса двух частей феномена m1 и m2. Тогда существуют такие целые числа a и b, что
Это свойство древние называли "соразмерностью", и в этом слове содержится глубокий смысл. Соразмерность означает возможность взаимодействия, возможность функционального соединения. Образно говоря, соразмерность обеспечивает возможность "структурного резонанса" между частями феномена - и именно это превращает его в устойчивую и идентифицируемую самостоятельную вещь.
Написав эти строки, автору вспомнился пример "феномена", в котором "массы" структурных частей не соразмерны:
Длина диагонали квадрата является иррациональным числом, а значит, не находится с длиной сторон в целочисленных отношениях. Но как раз этим и могут отличаться умозрительные математические феномены от натуральных - в структуре первых могут сочетаться несоразмерные части, в структуре последних это по меньшей мере необычно.
Занятно, что даже если существуют примеры натуральных феноменов, в которых массы частей не соразмерны, мы не сможем этого наблюдать, поскольку просто измеряя массы (с какой угодно точностью), мы получим рациональные числа в форме конечных десятичных дробей.
Может быть разговор о "структурном резонансе" не так фигурален. Пифагорейцы развивали теорию соразмерности и гармонии, изучая звучание струн различной длины. Теперь физикам известна "музыка материи" - волновая квантово-механическая природа материи и её агрегатов. Резонансы или целочисленные отношения квантово-механических волн могут быть причиной структурной устойчивости молекул, совокупностей молекул, и т.д.
Другая возможная причина "аутентичной соразмерности" натуральных феноменов может заключаться в дискретности мира. Как считают сегодня физики, дискретно и время, и пространство, и энергия, и масса - по сути, всё, с чем они имеют дело. Но там, где дискретность, там и изначальная рациональность: тогда между любыми возможными расстояниями или площадями, массами или энергиями всегда имеются целочисленные отношения.
Как бы то ни было, в основаниях своей метафизики мы устанавливаем постулат соразмерности частей натуральных феноменов, если они составляют какое-то единство, закрепляя его максимой: несоразмерное не образует единого. Лучшая иллюстрация этой максиме, конечно, законы музыкальной гармонии, которые устанавливают определенные целочисленные отношения между частотой соседствующих звуков в музыкальном строю. Если эти законы не выполняются, мелодии не получается.
Множества, образованные рациональными массами могут преобразовываться в структуры в прямом смысле этого слова - то есть, с особым образом установленными связями между ними. Возьмем три рациональных массы - для простоты, целочисленные:
Положим, что два объекта соединяются связью между собой лишь в том случае, если масса одного из них без остатка делит массу другого. В данном случае число 2 и 3 делят число 6 без остатка - и между объектами 2-6 и 3-6 проводится связь. Но 2 и 3 не делятся друг на друга без остатка - и между ними связь отсутствует.
Ближе к нашим исчислениям симметрий: возьмем одну из структурных модальностей порядка симметрии 2 - множество 9/16:5/16:1/16:1/16. Пользуясь тем же принципом проведения связей, получим структуру:
Ещё пример: бесконечное множество 1/2:1/4:1/8:1/16:... Если его преобразовывать в структуру по тем же правилам, мы получим структуру, в которой каждый объект соединён со всеми остальными - то есть, предельно насыщенный граф.
Развить этот метод построения структуры из рационального множества можно введением силы связи, которая обратно пропорционально коэффициенту кратности между массами соединенных объектов. Например, в последнем примере связи между массами 1/2-1/4, 1/4-1/8, 1/8-1/16... сильнее остальных, потому что имеют минимальный коэффициент кратности:
Разумеется, мы описали только один из возможных способов преобразования рациональных множеств в структуры, но он хорошо иллюстрирует возможную роль соразмерности (а тут используется "сильный" тип соразмерности - кратность) в построении связных целостных структур. Если же в множестве вдруг появляется иррациональная масса, она не соразмерна никакому другому объекту множества, так что остается изолированной от остальных объектов - иррациональное множество оказывается просто "мешком с камнями".
Сбалансированные множества и одномодальные симметрии
Мы знаем, что в общем случае комплексный порядок симметрии может быть записан в виде
где x - положительное число. Не трудно показать, что y в этом уравнении точно равна суммарной доле отрицательных масс во множестве.
В конце предыдущего Пролога мы выяснили, что зная симметрики множества s(i), его порядок симметрии можно вычислить как
Найдем, чему равна сумма
Раскрывая симметрики, получим
где mi - отрицательные массы множества. Отсюда
Поскольку значения mi - отрицательны, y оказывается равным сумме модулей отрицательных масс множества. Если массы нормированы, эта сумма равна суммарной доле отрицательных масс в общей единичной массе множества.
Запишем теперь комплексный порядок симметрии в алгебраической форме:
Если доля отрицательных масс во множестве равна 0 или 1, мнимая часть Im оказывается равной 0 и мы получаем не-комплексный порядок симметрии - поскольку sin(0) = 0 и sin(π) = 0. Если же y = 1/2, порядок симметрии имеет только мнимую часть, поскольку cos(π/2) = 0:
При y=1/2 отрицательные массы составляют ровно половину общей массы множества - такие множества резонно называть сбалансированными. Как видим, отличительный признак сбалансированного множества - его порядок симметрии является чисто мнимой величиной, не содержащей реального компонента. В более привычном для нас виде порядок симметрии сбалансированного множества выглядит как
где C - некоторый положительный множитель. Как мы далее увидим, сбалансированные множества обладают некоторыми особыми свойствами.
Определив сбалансированные множества, назовем балансировкой следующую операцию: пусть мы имеем множество, состоящее из любого числа положительных масс. Балансировка этого множества заключается в объединении его с отрицательным объектом, масса которого равна полной массе исходного множества:
Легко показать, что если порядок симметрии исходного множества был равен St, то для нового множества он равен
Точно также мы можем сбалансировать и множество, состоящее полностью из отрицательных объектов. Причем, если его порядок симметрии был равен -St, после балансировки он тоже станет равным
То есть, множества, имеющее следующий вид, являются структурными модальностями одного и того же порядка симметрии:
Рассмотрим занятный пример: три множества, имеющие один и тот же порядок симметрии S = 2*(-1)1/2. Глядя на само выражение порядка, видно, что это просто зеркальная симметрия, "умноженная на два". Действительно, базовая модальность для этого порядка выглядит как удвоение зеркальной симметрии:
Однако, тот же порядок симметрии мы получим балансировкой множеств с порядком симметрии 4 и -4. Таким образом, следующие структуры являются структурными модальностями с одним и тем же порядком симметрии:
Существуют порядки симметрии, имеющие только одну рациональную структурную модальность - одномодальные. Простые примеры - единичная симметрия и зеркальная симметрия: порядок симметрии S=(-1)1/2 возможен лишь при симметриках s(1)=1/2 и s(-1)=1/2 - это симметрики множества 1/2:-1/2.
Однако, кроме этих очевидных случаев, возможно имеется беспредельное семейство симметрий, для которых может существовать лишь одна рационально-структурная модальность, и она состоит из бесконечного количества объектов. Речь идет о трансцендентных симметриях.
В предыдущем Прологе мы показали, что любая ограниченная по количеству объектов рациональная структура (то есть, состоящая из масс, представимых рациональными числами) не может иметь трансцендентный порядок симметрии. Значит, если это вообще возможно, трансцендентному порядку симметрии может соответствовать только бесконечная рациональная структура - например, порядку симметрии e.
Но почему она должна быть единственной возможной? Доказать или опровергнуть единственность пока автору не удалось - это трудная задача, но гипотеза такова: вообще, не все трансцендентные числа могут быть порядком симметрии какой-либо рациональной структуры. Если же трансцендентное число является порядком симметрии, то обязательно бесконечной рациональной структуры и при этом единственно возможной (если мы рассматриваем не-комплексные порядки симметрии).
Может быть, признаком того, что трансцендентное число может быть порядком симметрии является так называемая мера иррациональности числа. Для трансцендентных чисел она равна 2 и более, для иррациональных, но не-трансцендентных чисел (то есть, алгебраических) она равна точно 2. Для трансцендентного числа e мера иррациональности равна точно 2, и это может быть указывает на то, что число e может быть порядком симметрии какой-то бесконечной рациональной структуры.
Характерная динамика структур
Занимаясь комплексными симметриями, и простейшей из них, зеркальной, которая соответствует множеству 1/2:-1/2 с порядком симметрии, равным мнимой единице j, мы упомянули великолепную формулу Эйлера, связывающую три математических константы - число e, число π и мнимую единицу j:
Но само открытие этой формулы случилось благодаря другой:
Формула Эйлера получается при x = π.
Если рассматривать только реальную часть числа ejx, то она неотличима от простого косинуса:
Благодаря этому во многих прикладных физических задачах, связанных с анализом колебаний, косинус, представляющий периодический процесс, заменяют по формуле Эйлера:
что эквивалентно выделению реальной части от ejx. Такая замена упрощает многие вычисления и стала вполне привычной.
Снова посмотрим на эту формулу, заменив в ней x на привычное обозначение времени t:
Это уравнение элементарного периодического процесса. Заметим мнимую единицу в показателе. Но мнимая единица - показатель симметрии зеркально-симметричной структуры. Предположим, что это не просто совпадение.
Есть какая-то интуитивно понятная связь между зеркальной симметрией и простым периодическим колебанием. Если зеркально-симметричная структура переживает собственную динамику, находится во внутренне обусловленном движении, то почти наверняка это - колебательное, периодическое движение. Любое другое будто бы не согласуется, противоречит зеркальной симметрии системы.
Чтобы прояснить дело, обратимся к примерам - рассмотрим простые физические системы, для которых характерна простая периодическая динамика. Удобный пример - колебательный контур. Суть происходящего в колебательном контуре - превращение энергии из одной формы в другую: энергия, запасенная в форме электрического поля в конденсаторе превращается в энергию магнитного поля в катушке, и обратно. Однако не вполне корректно (или, во всяком случае, не очень наглядно) считать, что зеркальная симметрия, лежащая в основе колебательного контура - это симметрия между двумя видами энергии, поскольку динамика изменений запасов энергии двух сортов в колебательном контуре не зеркально симметрична:
Одна волна не является зеркальным отражением другой - они лишь сдвинуты относительно друг друга. Если бы в колебательном контуре присутствовал какой-то агент, изменяющийся точно в противофазе, например, с динамикой изменения электрического поля - вот тогда, действительно, мы могли бы говорить о зеркальной симметрии:
Но такой агент хорошо известен, и он в прямом смысле мнимый - это положительные заряды в колебательном контуре. Строго говоря, в проводниках электрических систем движутся только отрицательные заряды - электроны. Но когда на батарейках с одной стороны рисуют знак "–", а с другой - знак "+", изображают дело так, будто электрический ток может состоять из двух противоположных, зеркально-симметричных встречно движущихся потоков - потока отрицательных зарядов и потока положительных. На самом деле положительные заряды - это "дырки", места отсутствия, недостатка отрицательных. Однако, использование мнимых положительных зарядов позволяет во многих случаях упростить картину - электрические системы ведут себя так будто действительно существует два противоположных типа частиц тока. Посмотрим на эйлеровскую замену косинуса, которую часто используют в анализе электрических систем:
В правой части сумма двух экспонент: одна из них соответствует реально существующим отрицательным зарядам, а вторая - мнимым положительным.
Однако, точно также мы можем видеть присутствие мнимых агентов и в других физических системах, порождающих периодические колебания. Например, анализ классического маятника можно точно также проводить с введением мнимого "анти-маятника":
В конечном итоге, тот факт, что периодически колеблющиеся физические системы могут анализироваться с привлечением мнимых агентов обсуловлен тем самым взаимным превращением двух типов энергии друг в друга: электрической и магнитной в колебательном контуре, кинетической и потенциальной - в маятнике. И хотя сами эти пары энергий не зеркально симметричны, в совокупности они накладывают на систему зеркальную симметричность - она начинает вести себя так, будто является зеркально симметричной. Заметим, что "будто" - это не значит, что на самом деле эти системы не зеркально-симметричные. Дело, скорее, обстоит наоборот - когда мы видим в зеркале отражение, всегда присутствует два фактора: сам отражающийся предмет и зеркало, производящее отражение. Отношения между ними такие же, как между двумя перетекающими друг в друга типами энергии: скажем, электрическая энергия - предмет, а магнитная - зеркало для этого предмета, или наоборот.
Если так, то мы можем записать формулу, связывающую порядок симметрии зеркально-симметричной системы с ее внутренне обусловленной характерной динамикой во времени:
Полагаю, читатель уже понимает, к чему мы клоним: что, если величина Re(eSt) описывает характерную динамику не только зеркально-симметричной системы, но и вообще любой системы, имеющий некоторый порядок симметрии S?
Посмотрим, что из этого следует. Запишем некоторый комплексный порядок симметрии в алгебраической форме S = A + j*B. Тогда уравнение динамики:
Первый множитель задает экспоненциальную динамику - в зависимости от того, является ли A положительной или отрицательной, либо экспоненциальный рост либо экспоненциальный спад. Второй множитель задает периодическую динамику, частота которой определяется величиной B. Запишем так:
Таким образом, имеется два базовых типа динамики, которые могут между собой смешиваться, перемножаться:
Системы, содержащие только положительные массы обладают характерной динамикой экспоненциального роста. Порядок симметрии таких систем имеет только положительную реальную часть: Re(S) > 0, Im(S) = 0
Системы, содержащие только отрицательные массы обладают динамикой экспоненциального спада. Порядок симметрии таких систем имеет только положительную реальную часть: Re(S) < 0, Im(S) = 0
Системы, порядок симметрии которых имеет только мнимую часть (Re(S) = 0), например, зеркально-симметричные, обладают периодической динамикой - как мы видели выше, это сбалансированные множества - в них массовая доля отрицательных масс точно равна массовой доле положительных.
Наконец, системы, порядок симметрии которых является комплексным числом (Re(S) ≠ 0 и Im(S) ≠ 0), демонстрируют смешанную динамику: если Re(S) > 0 - экспоненциально усиливающиеся колебания, если если Re(S) < 0 - экспоненциально затухающие:
Разумеется, реальные динамические процессы в системах различной природы не исчерпываются лишь экспоненциальной и периодической динамикой. Однако, мы, говоря о внутренне обусловленной характерной динамике, имеем в виду динамику, которую феномен демонстрирует при отсутствии любых внешних ограничений или вмешательств, о собственной имманентной динамике. В реальных обстоятельствах наши наблюдения поставляют нам информацию о феноменах, развивающихся далеко не только в соответствии с их "личными предпочтениями". Как правило, имеются внешние для феномена факторы, существенно влияющие на его динамику - особенно это касается динамики экспоненциального роста, которая быстро упирается в потолок, установленный окружением феномена. Например, если бы растущая колония бактерий не достигала бы пределов возможностей среды, её рост был бы экспоненциальным. Но в реальности он является таковым лишь на первых стадиях развития колонии.
Вообще, возможные формы отношений между имманентной динамикой феноменов, которая обусловлена их собственной симметрией, и реально наблюдаемой - большая тема, которая требует исследований и размышлений. Существуют явления, демонстрирующие почти чистую периодическую динамику - например, электромагнитные волны, распространяющиеся в лишенном помех пространстве - по видимому, тут можно говорить о комплексном порядке симметрии, в котором реальная часть равна 0. Частота волны прямо пропорциональна мнимой компоненте порядка симметрии. Существует канонический пример экспоненциального спада - радиоактивный распад. Тут, вероятно, можно говорить об отрицательных не-комплексных симметриях, причем период полураспада обратно пропорционален модулю порядка симметрии. Колебания в реальных колебательных контурах, как и в реальных маятниках, экспоненциально затухают - и тут, возможно, действует симметрия, в которой кроме мнимой части имеется отрицательная реальная - и т.д. Прояснить дело поможет кибернетический взгляд на феномен и его динамику.
Мы видим, что, по сути, выделяются три динамических режима - периодический, режим экспоненциального роста и режим экспоненциального спада. Но все три могут быть описаны очень простым дифференциальным уравнением, связывающим изменяющуюся во времени величину U(t) и скороcть её изменений, то есть, производную от функции U(t):
где S - в общем случае комплексный порядок симметрии феномена. Решение этого уравнения
где C - некоторая постоянная. В таком виде U(t) - комплексная функция, и взяв её реальную часть мы получим уже знакомое нам уравнение характерной динамики:
где S = A+j*B. Таким образом, порядок симметрии феномена - это, по сути, комплексный коэффициент, который связывает некоторый характерный параметр феномена U со скоростью его изменения - интересный и неожиданный вывод.
В кибернетическом представлении порядок симметрии S характеризует обратную связь, действующую в феномене:
Если S не имеет мнимой части и положителен, обратная связь является положительной, усиливающей - и мы видим чистый экспоненциальный рост параметра U. Если S отрицателен - обратная связь является отрицательной, и мы видим экспоненциальный спад. Комплексный порядок симметрии S приводит либо к чистой периодической динамике, либо к смешанной динамике. Добавляя к схеме входной фактор I - он моделирует влияние среды на феномен - мы получим классическую и хорошо исследованную кибернетическую петлю:
Вариации входного фактора I позволяют, в принципе, получить на выходе практически любую динамику U, а не только периодическую или экспоненциальную, а сам феномен выступает в роли фильтра или трансформатора, некоторым закономерным образом преобразующим входной фактор I в выходную динамику U. Параметром, управляющим этим преобразованием, является порядок симметрии феномена S.
Что-то не видно новых "прологов", жаль, было довольно интерсно и местами познавательно. Какие-то причины не позволяют продолжить или тема перестала интересовать?
