КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Просто о колебаниях и анализе спектра
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Просто о колебаниях и анализе спектра
Просто о колебаниях и анализе спектра, часть 2
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Просто о колебаниях и анализе спектра
 
Роман Уфимцев
12 февраля 2011 года, Калининград
В наших планах - глубокое погружение в тему розового шума, но не все читатели Прологов имеют математическое или техническое образование. И мне не хочется, чтобы для таких читателей ценные детали наших рассуждений оставались малопонятными только из-за того, что они никогда не изучали методы получения спектров периодических процессов или само понятие периодического процесса является для них чем-то только "примерно ясным".
Поэтому мы уделим внимание элементарным вещам, твёрдые знания о которых с гордостью носит соответствующе образованный человек. Но даже таким людям (и мне самому) будет полезно ещё раз обозреть самые основы и увидеть их в предельно простом и наглядном виде. Этот пролог - наивозможно простейшее изложение основ теории колебаний и преобразования Фурье, которое лежит в основе спектрального анализа. И оно будет понятно даже людям с гуманитарным образованием - я на это рассчитываю.
Просто о периодических процессах
Мы начнём с самого начала. Все вроде бы знают, что такое периодический процесс. Это процесс, который повторяется с определенной регулярностью. Самый простой, точный и содержательный пример - вращающееся колесо. Возьмём колесо единичного радиуса (скажем, пусть его радиус равен 1 метру). В этом колесе мы одну спицу для наглядности покрасим в красный цвет. Развернем колесо так, чтобы спица смотрела прямо направо. Это будет стартовое положение:
Закрутим теперь колесо против часовой стрелки с такой скоростью, что за 1 секунду наше колесо совершает ровно 1 целый поворот. Вопрос таков: как с течением времени на некоторой вертикальной шкале меняется положение точки P, которая отражает место соединения красной спицы и обода колеса?
Подкованный читатель не сомневаясь, сообщит, что если y - положение искомой точке на шкале, а t - это время, измеряемое в секундах, то зависимость y(t) будет выглядеть так:
Эта кривая широко известна как синусоида и она является самым простым, самым базовым примером периодического процесса. Такой кривой соответствует множество самых разных периодических явлений. Кроме положения некоторой точки вращающегося колеса, ей соответствует отклонение качающегося маятника, величина тока в электронных колебательных контурах, интенсивность электромагнитного поля в точке, через которую проходит электромагнитная волна, высота волны на поверхности воды, плотность воздуха в звуковой волне и многое другое. Заметим, что во всех этих случаях за периодическим процессом стоит какая-то неизменная по строению и масштабу структура, порождающая периодическую динамику - вроде вращающегося колеса. То есть, для периодической динамики необходима неизменная структура, которая её производит.
Синус
Положение точки P на нашей вертикальной шкале зависит от угла поворота колеса относительно исходного состояния. Обозначим его как x, тогда уравнение нашей синусоиды выглядит так:
Обратим внимание, что угол поворота колеса x в математике принято измерять не в градусах, а в радианах. Полный поворот колеса это 360 градусов или 2*π радиан. (π - знаменитое число "пи", отношение длины окружности к её диаметру) Радианы - удобная мера угла, потому что для колеса, имеющего единичный радиус, длина его обода тоже равна 2*π. То есть, если мерять углы в радианах, то угол поворота просто равен длине соответствующего куска обода колеса:
В синусе нет никакого "тайного математического смысла". Он просто обозначает численную связь между уголом поворота колеса и проекцией точек на его ободе на какую-то прямую вертикальную шкалу рядом с колесом - у нас эта проекция обозначена точкой P.
Синус - периодическая функция, что заметно по его графику, он состоит из периодически повторяющихся волн. По мере вращения колеса угол х всё время растет - от 0 до 2*π (один полный оборот колеса), потом до 4*π (два полных оборота), при этом точка P возвращается в исходное состояние каждый раз, когда колесо совершает один полный оборот:
Фаза колебания
Далее, если наше колесо начинает вращаться, будучи уже повернутым на какой-то угол x0, то уравнение становится таким:
По сравнению с исходным синусом, график для изначально повёрнутого колеса сдвигается назад на расстояние, соответствующее исходному углу x0:
Принято называть этот сдвиг "сдвигом по фазе" или просто фазой периодического колебания. В данном случае мы имеем две синусоиды, два одинаковых периодических процесса, один из которых сдвинут по фазе на угол x0 относительно другого.
Косинус
Что будет, если мы будем рассматривать проекцию не на вертикальную, а на горизонтальную ось?
Ясно, что мы получим график, очень похожий на синус, только в нулевой момент времени положение проекции P на оси y будет равно не 0, как у синуса, а 1. Эта функция именуется косинусом:
Легко заметить, что косинус - это просто синус с фазой, сдвинутой назад на четверть оборота колеса, то есть, на π/2:
Или:
Ясно, что синус и косинус - тесно связанные, взаимозаменяемые математические функции.
Амплитуда колебания
Когда колесо вращается, точка P на шкале y не может удалиться от нуля более, чем на радиус колеса. Если колесо имеет единичный радиус, как у нас, то максимальное значение y=1, минимальное значение y=-1. Так радиус колеса определяет амплитуду периодического колебания - в нашем случае амплитуда равна 1. Если мы возьмем колесо другого радиуса, мы получим колебание другой амплитуды. Для колеса с радиусом A уравнение колебания будет выглядеть так:
Частота колебания
Если колесо вращается равномерно, то мы можем переписать уравнение так:
где w - скорость вращения колеса, или угловая скорость, а t - время. Если уголовая скорость выше, то колесо быстрее совершает полный круг и чаще возвращается к исходному положению. Это приводит к тому, что график синусоиды соответственно сжимается. Например, если мы удвоим скорость вращения, то уравнение примет вид:
Это приведет к двукратному сжатию графика:
Принято говорить, что увеличение угловой скорости это увеличение частоты колебания - колесо чаще возвращается к исходному положению. Конкретно, у нас имеется два колебания, одно из которых имеет удвоенную частоту.
В принципе, это всё, что нам нужно знать о периодических колебаниях для того, чтобы разобраться в том, как анализируются спектры.
Гармоники
Возьмем некоторый промежуток времени T. Вопрос: с какой угловой скоростью должно вращаться колесо, чтобы в течение этого промежутка времени оно совершило 1 полный оборот? Поскольку за время T колесо должно повернуться на угол 2*π, угловая скорость равна:
Чтобы совершить два полных оборота, угловая скорость колеса должна быть в два раза выше:
Вообще, чтобы совершить за заданный период времени N полных оборотов, угловая скорость колеса должна быть равна:
Если первое, самое медленно вращение колеса в этом ряду соответствует графику с уравнением y = sin(x), то следующее, двукратно ускоренное - уравнению y=sin(2x), далее - у=sin(3x) и т.д. Все эти колебания отличаются тем, что они кратно укладываются в заданный промежуток времени T:
Такие колебания называются гармониками. При этом самое медленное, которое отвечает одному полному повороту колеса, именуется первой гармоникой, двухкратому повороту колеса - второй гармоникой и т.д.
В 1807 году французский учёный Жан Батист Фурье открыл, что практически любое изменение какой-то величины в заданном промежутке времени T можно представить как сумму гармоник различной амплитуды и фазы. Пусть, например, мы имеем какое-то сложное изменение уровня воды в морском порту в течение года, который мы обозначим как С. График С(t) может выглядеть, например, так:
Он мало похож на косинус или синус, но Фурье обнаружил, что подобрав как следует соответствующие амплитуды и фазы, мы можем представить C(t) как сумму гармоник:
А1, А2, А3 ... - амплитуды гармоник, B1, B2, B3 ... - их фазы.
Тут и далее мы, по принятой традиции, используем гармоники косинуса, но можем и гармоники синуса - эти функции, как мы знаем, взаимозаменяемы. Мы легко можем перейти к гармоникам синуса, просто сдвинув каждую гармонику по фазе на - π/2:
Отдельно следует сказать о слагаемом A0. Он равен среднему значению величины С на рассматриваемом промежутке времени. Нам необходимо это слагаемое, потому что среднее значение любой гармоники и их суммы равно 0. Но не всегда анализируемые величины равны в среднем 0. Например, средняя годовая температура воздуха может быть равна, например, +5 градусам. Это не позволит нам представить годовую динамику температуры как чистую сумму различных гармоник. Чтобы это нам не мешало, мы добавляем дополнительный компонент А0. Его можно понимать как амплитуду "нулевой гармоники", которая, по сути является средним значением величины в рассматриваемом промежутке времени.
Это преобразование сложной произвольной функции C(t) в набор косинус-гармоник называется косинус-преобразованием Фурье.
Амплитудный спектр колебания
Допустим, путём хитроумных переборов различных вариантов (с тем, как можно исходя из имеющейся зависимости C(t) найти амплитуды и фазы соответствующих гармоник без трудоёмких переборов мы познакомимся далее - тут есть своя симпатичная хитрость), мы обнаружили, что кривая, очень близкая кривой изменения уровня воды в течение года получается путем сложения четырех гармонических компонентов:
Обратим внимание, что присутствуют только гармоники 1, 2, 12 и 13. Будем говорить, что остальные имеют нулевую амплитуду (то есть нулевой множитель A при соответствующем косинусе) и поэтому их вклад отсутствует.
Теперь построим диаграмму, в которой по оси X - номер гармоники, а по оси Y - её амплитуда:
То, что мы получили - это и есть амплитудный спектр колебаний уровня воды в нашем морском порту.
Ось X на этом спектре подписана как "номер гармоники", но мы вполне могли бы написать "частота гармоники" - номер гармоники совпадает с её частотой. Действительно, в нашем примере первая гармоника совершает полное колебание 1 раз в год, вторая - два раза в год, то есть, имеет удвоенную частоту и т.д.
Какая информация содержится в спектре, как мы его можем истолковать? Примем, что за каждой из гармоник лежит вращение какого-то гипотетического колеса. Тогда оказывается, что колебания уровня воды производятся суммарным влиянием четырёх колес разного размера, вращающихся с разной скоростью:
Первое колесо вращается раз в год и оно порождает первую гармонику колебания. Амплитуда этой гармоники равна 1/2, значит такой условный радиус имеет это колесо.
На колебания, порождаемые первым колесом, накладывается колебание второго колеса. Оно совершает два полных оборота за год - это вторая гармоника - и его размер (амплитуда) равна 2/3.
Наконец, у нас есть еще пара колес поменьше. Они соответствуют 12-ой и 13-й гармоникам, а значит, совершают по 12 и 13 полных оборотов за год соответственно. Их радиус равен амплитудам этих гармоник, то есть 1/20.
Мы имеем следующую картину "механической системы", которая порождает колебания уровня воды:
Таким образом, преобразование Фурье позволяет разобрать исследуемое сложное колебание на отдельные "колёса", на отдельные элементарные периодические процессы. Например, мы можем теперь думать, какую природу имеет колесо, совершающее один оборот за год (наверное, это сама Земля), что за колеса совершают 12-13 оборотов за год (наверное, это Луна) - в общем, спектр несет содержательную и не всегда очевидную информацию о строении системы, которая порождает исследуемое колебание. В этом ценность анализа спектра методом Фурье.
Спектр мощности
На практике, однако, принято использовать не амплитудные спектры, а спектры мощности. Спектр мощности получается из амплитудного спектра просто возведением в квадрат амплитуды каждой гармоники, например, для нашего примера он будет выглядеть так:
Почему принято использовать спектры мощности и почему они так называются? Всё дело в том, что, как установили физики, количество энергии (мощности), заключённой в периодическом процессе - например, в качающемся маятнике или в волне на поверхности воды - пропорционально именно квадрату амплитуды соответствующего колебания. Например, если раскачать в два раза сильнее маятник (удвоить его амплитуду), то в нем будет накоплено в 4 раза больше энергии. Или если взять два колеса, один - радиусом в 1 метр, второй - радиусом в 2 метра, и раскрутить их до одинаковой угловой скорости, то в маленьком колесе будет накоплено в 4 раза меньше энергии, чем в большом. То есть, спектры мощности лучше отражают энергетические, физические особенности нашего мира, и поэтому, говоря о спектрах периодических процессов, обычно имеют в виду именно спектры мощности. И мы не будет отступать от этой традиции кроме особо оговоренных случаев.
Фазовый спектр
При преобразовании Фурье кроме амплитуд каждой гармоники (обозначенных как А1, А2, А3 ...) мы получаем и фазу каждой гармоники (обозначены как B1, B2, B3 ...). Значит, если мы можем построить спектр амплитуд, то точно также можно построить и фазовый спектр.
Действительно, это можно сделать, но на практике фазовые спектры используются редко. Принято считать, что фазы гармоник несут мало полезной информации. Они конечно определяют точную форму кривой, но "частотно-энергетическая структура" исследуемого явления от фаз не зависит - она зависит только от амплитуд гармоник.
Обратимся к примеру с изменяющимся в течение года уровнем воды в морском порту:
Сверху - исходная кривая. А ниже - кривые, которые имеют точно такой же частотный спектр, то есть амплитуды гармоник, но другие фазы. От этого форма кривых меняется (хотя в них, тем не менее, остается что-то общее, какое-то общее "настроение"). Если бы нас интересовало предсказание уровня воды в порту на конкретный день - то есть, для нас была бы важна точная форма кривой - нам нужно было бы учитывать фазы гармоник обязательно. Но если мы стремимся понять только общие механизмы, порождающие изменения уровня моря, то фазы нам бы, возможно, не понадобились - ведь и без них мы бы установили, что источником колебаний уровня воды являются какие-то четыре отдельных периодических процесса разной частоты, то есть, четыре "колеса" разного размера и разной скорости вращения.
1
***
Потрясающая статья, очень хорошо написано! Браво автору!
Алексей leksejka@bk.ru (23.11.2012 17:23)
2
А вот в этой части уже становится непонятно. Начиная с того момента, когда переходим к полярным координатам. Первый рисунок косинуса в полярных координатах, судя по всему, мной не до конца уяснен, потому и возникает проблема в дальнейшем.
Вроде кажется, что логика ясна: каждую точку можно охарактеризовать не только x и y, но и длиной вектора и углом, соответственно задаем вместо оси х - ось тета, а вместо y - ось r. И на основе имеющихся данных строишь функцию, поправьте меня если я не прав.
Алексей  leksejka@bk.ru (23.11.2012 18:41)
3
А нет, уже разобрался))
Алексей leksejka@bk.ru (23.11.2012 18:48)
4
Роман, прочитал несколько ваших статей. Такого простого и доступного изложения сложных вещей из мира математики, я не встречал еще ни у кого.
Вы просто обязаны написать книгу с доступным изложением сложной математики, у вас уникальный талант.
Nayjest mail@vitaliy.in (24.02.2017 17:48)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER