КОГНИТИВИСТИдейное ядро²ПрологиПролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Просто о колебаниях и анализе спектра, часть 2
Прологи: наука о сознании становится точной
Манифест когнитивиста
.
Узелки на распутку
.
Прологи
Пролог 1. Когнитивный порядок
Пролог 2. Сигнатура характерного масштаба
Пролог 3. Степенной закон
Пролог 4. Три типа степенных распределений
Пролог 5. Закон Зипфа, сигнатура β = 1
Пролог 6. Цветные шумы, сигнатура α = 1
Просто о колебаниях и анализе спектра
Просто о колебаниях и анализе спектра, часть 2
Пролог 7. Розовый шум и модель Бака-Снеппена
Пролог 8. Розовый шум и модель релаксации
Пролог 9. Розовый шум: шипелки и фрактальное блуждание
Пролог 10. Население городов и закон Зипфа
Пролог 11. Масштабно-инвариантные сети
Пролог 12. Фракталы и закон Зипфа
Пролог 13. Дробление континуума
Пролог 14. Социально-географические волокна
Пролог 15. Закон Зипфа в случайных текстах
Пролог 16. Тексты как фракталы
Пролог 17. Когнитивные фракталы
Пролог 18. β и размерность Хаусдорфа
Пролог 19. Образы когнитивных фракталов
Пролог 20. Когнитивные волокна
Пролог 21. Математика когнитивных фракталов
Пролог 22. Стохастические когнитивные фракталы
Пролог 23. Сравниваем Россию и Польшу
Пролог 24. От Швейцарии до Афганистана
Пролог 25. Гармониум
Пролог 26. Шум когнитивных фракталов
Пролог 27. Шум когнитивных процессов
Пролог 28. Розовый шум в поведении людей
Пролог 29. Шум в динамике зрительного внимания
Пролог 30. Изображения и двухмерный розовый шум
.
Пролог 31. Физическая и когнитивная релаксация
Пролог 32. Когнитивная релаксация и цветные шумы
Пролог 33. ВТОРОЙ ЦИКЛ. Дробление времени
Пролог 34. Когнитивное дробление времени
Пролог 35. Время как текст
Пролог 36. События и причинность
Пролог 37. Четыре причины Аристотеля
Пролог 38. Экзогенные причины
Пролог 39. Генеративные модели причинности
Пролог 40. Генеративные модели причинности, часть 2
Пролог 41. Гештальт-причинность
Пролог 42. Тау-модель
Пролог 43. Я-состояния и тироны
Пролог 44. Параметры тау-модели
.
Пролог 45. Параметры тау-модели, часть 2
Пролог 46. Параллельный тирон
.
Пролог 47. Параллельный тирон, часть 2
Пролог 48. Свойства тирона
.
Пролог 49. Свойства тирона, часть 2
.
Пролог 50. Семейства тирона
Пролог 51. Эволюция как тирон
Пролог 52. Я-состояния и девиации
Пролог 53. Эволюция и морфогенез
Пролог 54. Волокна и легенды
Пролог 55. Волокна и легенды, часть 2
Пролог 56. ТРЕТИЙ ЦИКЛ. Я-состояния и их структура
Пролог 57. Я-состояния и их структура, часть 2
Пролог 58. Спиральная структура
.
Пролог 59. Информация и её типы
Пролог 60. Информация и симметрия
Пролог 61. Информация и закон Вебера-Фехнера
Пролог 62. Натуральная пропорция
Пролог 63. Апекс Я-состояний
.
Пролог 64. Генеративные модели Я-состояния
Пролог 65. Нейрон
Пролог 66. Критические случайные графы
.
Пролог 67. Блохи и табакерки
Пролог 68. Чаши, табакерки и прочее
.
Пролог 69. Интерлюдия
Пролог 70. Гештальт числа e
.
Пролог 71. Гештальт числа e, часть 2
Пролог 72. ЧЕТВЁРТЫЙ ЦИКЛ. Тиронный рост
Пролог 73. Обобщённые процессы
Пролог 74. Обобщённые процессы, часть 2
Пролог 75. Обобщённые процессы и энтропия Реньи
Пролог 76. Дельта-процессы
.
Пролог 77. Дельта-аддитивные процессы
Пролог 78. Дельта-мультипликативные процессы
Пролог 79. Дельта-мультипликативные процессы, часть 2
Пролог 80. Дельта-мультипликативные процессы, часть 3
Пролог 81. Структурно-временной изоморфизм
Пролог 82. Тау-процесс и время
Пролог 83. Знаки состояний
Пролог 84. Мерные знаки и случайное блуждание
.
Пролог 85. Именные знаки и графы состояний
Пролог 86. ПЯТЫЙ ЦИКЛ. Простые числа
Пролог 87. Числа и их компоненты
Пролог 88. Время и простые числа
Пролог 89. Т-информация
Пролог 90. Новый прототип статистики Зипфа
Пролог 91. Новый прототип и гармоническая информация
.
Пролог 92. Не-целочисленные симметрии
Пролог 93. Спектры симметрии
.
Пролог 94. Преобразования симметрий
Пролог 95. Комплексные симметрии
Пролог 96. Cимметрии и структурные модальности
Пролог 97. Симметрии и характерная динамика
Пролог 98. Симметрия, энергия, излучения
Пролог 99. Симметрия системы
Пролог 100. Симметрия континуумов и траекторий
Пролог 101. Симметрия континуумов, часть 2
Пролог 102. Симметрия и масштаб
Пролог 103. Симметрия и вероятность
Пролог 104. Симметрия и вероятность, часть 2
.
Пролог 105. Преобразование симметрии континуумов
Пролог 106. Cимметрия многомерных континуумов
Пролог 107. Опыты с взаимодействием форм
Пролог 108. Опыты с взаимодействием форм, часть 2
Пролог 109. Омега-преобразование
Пролог 110. Омега-линзы
Пролог 110 (2). Омега-линзы, часть 2
Пролог 111. Геометрическое среднее и максимум энтропии
Пролог 112. Мультипликативные коллизии
Пролог 113. Смысл принципа максимума энтропии
Пролог 114. Варианты модели мультипликативных коллизий
Пролог 115. Свойства модели мультипликативных коллизий
Пролог 116. Геометрическая энтропия
Пролог 117. Специальные энтропии. Последний Пролог.
Степенные законы, распределения Парето и закон Зипфа
.
Когнитивный уровень
.
Мерцающие зоны
.
Органическая логика: резюме
Карта органической логики
.
Хвост ящерки. Метафизика метафоры.
.
Опус 1/F
.
Anschauung, научный метод Гёте
.
Закон серийности Пауля Каммерера
.
Ранние признаки критических переходов
.
Слабые сигналы
.
Меметика
.
Системный анализ и чувствительные точки
.
Спиральная динамика
.
Просто о колебаниях и анализе спектра, часть 2
 
Роман Уфимцев
14 февраля 2011 года, Калининград
Мы продолжаем короткий и очень простой, понятный даже гуманитариям экскурс в теорию периодических процессов и преобразований Фурье, которые используются для получения частотных спектров различных колебаний и шумов. Рекомендую почитать первую часть для полноты понимания.
Мы узнали, как получается частотный спектр изменяющейся в течении определенного времени величины (например, уровня воды в морском порту). Он строится на основе ее представления как суммы гармонических колебаний различной частоты. Зависимость амплитуды от номера соответствующей гармоники и образует частотный спектр изменений величины в заданном промежутке времени.
Как же найти амплитуды и фазы гармоник?
Приблизим условия к реальным. Пусть мы имеем изменяющуюся величину - у нас это уровень воды в морском порту в течение года, и при этом у нас есть не вся кривая, а только отдельные регулярные замеры. Для простоты пусть их будет всего 12 - то есть, замеры уровня проводились раз в месяц на протяжении года:
Как нам, имея эти данные на руках, найти гармонические составляющие этого колебательного процесса, их амплитуды и фазы, не прибегая к перебору всех возможных вариантов?
Если мы попытаемся сами найти ответ на этот вопрос, а не просто напишем готовые формулы (их можно легко найти) это будет лучший способ освоить преобразование Фурье и анализ спектра колебаний на действительно глубоком, интуитивном уровне. Поэтому поступим именно так.
Полярные координаты
Нам очень пригодится полярная система координат. В этой системе положение точки определяется не парой x,y, а расстоянием от центра координат (радиусом) r и углом θ ("тэта"):
Это очень любопытная, "склонная к эстетике" система координат. Даже простейшие и привычные функции в ней выглядят необычно. К примеру, простая линейная функция y = x/4. В обычных декартовских координатах это просто прямая линия:
А вот функция r = θ/4 выглядит весьма эстетично:
Разберемся с некоторыми свойствами этой системы координат и с тем, как мы её будем изображать:
Центр (полюс) - в центре круга. Это точка r = 0. Круг отмечает единичное расстояние от центра, для всех его точек r = 1. Кроме того, на круге нанесены значения углов θ от 0 до 2π. Мы знаем, что в математике углы принято мерять в радианах, при этом угол 0 совпадает с уголом 2π или -2π (и с углами в 4π, -4π и т.д.). Какие полярные координаты имеет красная точка? Тут много вариантов.
Во-первых, самый простой вариант:
Действительно, точка лежит на единичном расстоянии от центра и её угол π/2. Но это не единственный вариант. На эту точку можно смотреть как на имеющую отрицательный радиус –1 и тогда она "на самом деле" находится с другой стороны от полюса и её полярные координаты:
То есть, отрицательный радиус выглядит как нормальный положительный, но точка при этом оказывается с другой стороны от центра координат.
Далее, к "настоящему" углу точки π/2 мы можем прибавлять или наоборот, отнимать любое количество полных оборотов вокруг центра. Полный оборот - это угол 2π. Тогда, например красная точка может иметь координаты (добавляем один оборот против часовой стрелки):
или (добавляем один оборот по часовой стрелке):
Мы видим, что полярная система координат - циклическая система и она, можно предположить, хорошо подходит для изображения периодических и колебательных процессов. И это действительно так.
Мы знаем, как выглядит в нормальных декартовских координатах обычный косинус (изображаем его в диапазоне x от 0 до 2π, дальше он повторяется):
А вот так он выглядит в полярных координатах в диапазоне θ от 0 до 2π:
Косинус "свернулся в колечко", словно вспомнив о том, что он получается при проекции вращающегося колеса. При этом это кольцо не простое, а двойное - косинус два раза проходит по одной траектории: один раз своей верхней полуволной (отмечена желтым на обычном графике косинуса), а второй раз - нижней (отмечена голубым).
Если мы увеличим амплитуду косинуса, кольцо соответственно тоже увеличится:
Если мы сдвинем фазу косинуса, например, на π/2, кольцо тоже сдвинется на тот же угол по часовой стрелке:
Таким образом, наблюдая положение и размер этого кольца (а его радиус оказывается ровно в два раза меньше амплитуды косинуса) мы можем немедленно определить фазу и амплитуду косинуса.
Но что, если мы увеличим его частоту? Возьмем, например, вторую гармонику:
Третью:
Получаются симпатичные многолепестковые цветы, но какую бы мы не взяли гармонику, всегда центр получающегося цветка лежит в центре координат. И только для первой гармоники мы получаем кольцо, несимметрично сдвинутое от центра.
Догадливый читатель, думаю, уже подозревает, как мы это можем использовать. Если изменение уровня воды в море имеет не-нулевую первую гармонику, то отобразив колебания уровня моря в полярных координатах, мы должны получить набор точек, который в среднем сдвинут от центра координат. Оценив, насколько и куда он сдвинут, мы сможем определить амплитуду и фазу первой гармоники.
Первая гармоника
Приступим к делу. Мы имеем 12 замеров, сделанных на протяжении года:
Во-первых, нам следует откалибровать замеры так, чтобы в среднем уровень воды в течение года был равен 0 - это условие успеха преобразования Фурье. Для этого из каждого замера вычитаем среднее по всем замерам за год (среднее оказалось равным 2). Получаем кривую, которая "въётся" вокруг уровня 0, как и положено суммам гармоник:
То, что мы вычли потом, в конце, мы добавим обратно как амплитуду нулевой гармоники A0. Откалиброванные таким образом уровни воды мы будем использовать как радиусы точек r.
Далее мы должны превратить шкалу времени в шкалу уголов так, что замеру в январе соответствует уголо θ=0, а замеру в декабре - угол θ=(11/12)*2*π. Тогда все 12 точек распределятся в полярных координатах равномерно по углам θ. Строим график в полярных координатах:
В среднем точки отчетливо сдвинуты от центра координат вправо. Это говорит о том, что тут действительно есть не-нулевая первая гармоника - только она может приводить к таком сдвигу. Но как нам оценить её амплитуду и фазу?
Для этого нам нужно посчитать положение центра масс наших точек, то есть, их среднее положение на этом графике. Этот центр масс и будет центром сдвинутого кольца, который порождает первая гармоника.
Тривиальный расчет приведет нас к следующему результату. Если обозначить координаты центра масс как X и Y, то:
В нашем случае получается, что центр масс находится в точке X=0,25, Y=0:
Это центр кольца, образованного первой гармоникой и мы теперь можем нарисовать само кольцо:
Расстояние центра этого кольца от центра координат позволяет нам узнать амплитуду первой гармоники:
Тут мы просто прибегаем к теореме Пифагора, которая позволяет подсчитать длину гипотенузы (это у нас половина искомой амплитуды) по длине катетов треугольника (это у нас - это X и Y).
Остается фаза. Мы видим, что кольцо сдвинуто точно направо - как у функции r=cos(θ). Это значит, что первая гармоника имеет нулевую фазу.
Итак, мы установили, что амплитуда первой гармоники в колебаниях уровня моря в морском порту равна 1/2, а фаза - 0. Но если мы сравним кривую этой гармоники с исходным набором точек, мы увидим, что первой гармоники нам явно недостаточно:
Нам нужно двигаться дальше.
Вторая (и прочие) гармоники
Метод, которым мы нашли амплитуду и фазу первой гармоники был по-своему изящен, но как нам теперь найти амплитуды и фазы вторых и остальных гармоник - ведь они не дают отклонения центра масс точек от центра полярных координат?
Вторая гармоника по сравнению с первой в два раза "плотнее". Значит, если мы её растянем в два раза, мы получим кривую, точно соответствующую первой гармонике:
Такая растянутая кривая даст знакомое сдвинутое кольцо в полярных координатах:
Образно говоря, если мы растянем вторую гармонику в два раза и "намотаем" на полярные координаты в два витка, мы получим то же самое, что получаем, когда наматываем первую гармонику в один виток. Отсюда и идея: если мы возьмем замеры уровня моря и распределим их не на промежуток от 0 до 2π (то есть, на один оборот вокруг полюса), а на промежуток 0 до 4π (на два оборота) - то есть, фактически, растянем замеры в два раза по шкале уголов – мы получим возможность заметить вклад второй гармоники, потому что в этих условиях именно она будет приводить к сдвигу центра масс точек от центра координат. Пробуем:
Центр масс точек очевидно сдвинут и это нам говорит о том, что амплитуда второй гармоники тоже не нулевая. Из-за того, что мы растянули точки по шкале углов в два раза, вычисление координат центра масс X и Y делается чуть-чуть иначе, чем для первой гармоники - перед θ появляется двойка:
По этим формулам мы находим, что X=0, Y=-0,33. Отсюда мы получаем, что амплитуда второй гармоники:
Фаза второй гармоники - мы видим, что центр масс точек сдвинут прямо вниз. Это соответствует углу –π/2. Значит, фаза равна π/2. Вообще-то для любой гармоники имеется простая формула для вычисления фазы на основе координат центра масс X и Y:
Тут "arccos" - это аркосинус, функция, обратная косинусу:
Итак, мы вычислили амплитуду и фазу второй гармоники и теперь можем посмотреть, насколько первая и вторая гармоника в сумме близки к исходному набору точек:
Ах, совпадение идеальное! Значит, мы можем считать, что исходное колебание уровня моря складывается из двух найденных нами гармоник. Вспомним только, что мы изначально калибровали точки, чтобы, во-первых, избавиться от среднего (от "амплитуды нулевой гармоники" A0), а во вторых, калибровали шкалу времени, чтобы представить промежуток времени в год как угол 2π. Возвращая всё в первоначальный вид мы получаем окончательное представление колебаний уровня моря в нашем порту в виде суммы гармоник:
Тут t - время, отсчитываемое в долях года.
У нас оказалось всего две гармоники, но точно также можно было бы рассчитать и третью и четвертую... Конечно, лучше все эти кропотливые расчёты поручить компьютеру, что обычно и делают.
Итак, теперь вас никто не упрекнет в том, что вы не представляете, что такое анализ Фурье и как строятся частотные спектры – мы получили об этом весьма глубокое представление. Но осталось пара моментов, которые тоже нужно обсудить.
Сколько всего гармоник?
Сколько всего гармоник следует рассчитывать на практике? Это простой, но интересный вопрос.
Легко понять, что имея, например, 12 замеров, как это было в нашем примере, нет смысла рассчитывать слишком высокочастотные гармоники. Конкретно, последняя "осмысленная" гармоника будет иметь номер 6 - она позволяет выделить предельно мелкую структуру колебаний, которые могут содержаться в 12 замерах:
Говоря иначе, 12 замеров просто не содержат в себе достаточно информации, чтобы рассчитывать гармоники с более высоким номером. Таким образом, если у нас есть n замеров меняющейся величины, то последняя гармоника, которую мы должны рассчитывать имеет номер n/2. Если вам нравятся красивые названия, то частоту колебаний, связанных с предельной гармоникой, имеющей номер n/2 называют частотой Найквиста. В нашем примере с колебаниями уровня моря частота Найквиста у нас составляла 6 колебаний в год.
Но на практике, даже если у нас очень много замеров, чтобы заметить существенные частотные свойства явления обычно достаточно гораздо меньше гармоник, чем n/2. Дело в том, что часто природные процессы и шумы имеют быстро спадающие спектры, то есть амплитуды гармоник с ростом их номера быстро уменьшаются до пренебрежительно малых значений (это правда не относится к белому шуму, спектр которого равномерен на всех частотах). Образно говоря, природа не любит разбрасываться гармониками высоких частот. Возможно, это связано с тем, что колебания высоких частот требуют для своего порождения и поддержания больше энергии, чем низкочастотные колебания. Впрочем, это тема для отдельного разговора.
Проблема периодичности
У преобразования Фурье есть одна важная особенность, которую следует иметь в виду, когда с его помощью мы анализируем различные природные флуктуации и шумы. Представляя изменяющуюся в течение какого-то промежутка времени величину как сумму гармоник мы подспудно полагаем, что за пределами рассматриваемого промежутка времени наша величина ведет себя периодически, повторяется. Это понятно, если вспомнить, что каждая из гармоник полностью повторяется за пределами промежутка 0-2π, а значит, и повторяется любая их комбинация. В нашем примере эти ожидания повторения выглядят так:
Иногда - как в случае уровня моря, это оправданное предположение, поэтому преобразование Фурье ещё в 19-м веке активно использовалось для предсказания морских приливов. Но иногда колебания изучаемой величины практически не повторяются или претерпевают резкие нерегулярные скачки. В этих случаях преобразование Фурье и анализ частотного спектра может дать нам только некоторое статистически усредненное, обобщенное представление о частотных компонентах флуктуаций и шумов, но не возможность предсказывать динамику флуктуаций. Например, это относится к колебаниям биржевых курсов, частотный анализ которых не позволяет как-то прогнозировать движение котировок. Это же верно и для многих других природных и социальных флуктуаций и шумов. По этой причине говорят, что преобразование Фурье пригодно только для анализа выраженно периодических процессов. Это не вовсем так, потому что частотные спектры шумов, которые являются не-периодическими процессами, как мы увидим, тоже несут в себе ценную информацию.
На этом мы завершаем наше простое знакомство с колебаниями и методом анализа спектра по методу Фурье. Теперь у вас есть достаточно знаний, чтобы понимать всё, что мы будем говорить о шумах.
1
***
Потрясающая статья, очень хорошо написано! Браво автору!
Алексей leksejka@bk.ru (23.11.2012 17:23)
2
А вот в этой части уже становится непонятно. Начиная с того момента, когда переходим к полярным координатам. Первый рисунок косинуса в полярных координатах, судя по всему, мной не до конца уяснен, потому и возникает проблема в дальнейшем.
Вроде кажется, что логика ясна: каждую точку можно охарактеризовать не только x и y, но и длиной вектора и углом, соответственно задаем вместо оси х - ось тета, а вместо y - ось r. И на основе имеющихся данных строишь функцию, поправьте меня если я не прав.
Алексей  leksejka@bk.ru (23.11.2012 18:41)
3
А нет, уже разобрался))
Алексей leksejka@bk.ru (23.11.2012 18:48)
4
Роман, прочитал несколько ваших статей. Такого простого и доступного изложения сложных вещей из мира математики, я не встречал еще ни у кого.
Вы просто обязаны написать книгу с доступным изложением сложной математики, у вас уникальный талант.
Nayjest mail@vitaliy.in (24.02.2017 17:48)
Ваш комментарий
image Поля, отмеченные звездочкой, нужно обязательно заполнить
Заголовок комментария:
image Текст комментария: (не более 2000 символов, HTML-разметка удаляется)
image Ваше имя:
Ваш E-mail:
image Сколько будет дважды два? (ответьте цифрой, это проверка от спам-рассылок)
Отправить комментарий
Главные темы
Внимание (8)Геогештальт (1)Гештальт (16)Динамика внимания (5)Инсайт (5)Интуиция (2)Кибернетика (5)Когнитивное управление (6)Когнитивный анализ (4)Когнитивный словарь (5)Культура наблюдения (5)Мерцающие зоны (7)Метафизика (3)Метафора (13)Механизмы восприятия (15)Мифы и парадигмы (7)Органическая логика (5)Прогнозирование (6)Роль языка (4)Симметрии (5)Синхронизмы (5)Сложные системы (10)Степенной закон (8)Творческое мышление (5)Три уровня систем (4)Управление знаниями (3)Фазы развития (7)Фракталы (18)Цветные шумы (9)
КОГНИТИВИСТ: когнитивные методы и технологии © Роман Уфимцев, при поддержке Ателье ER